第一章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，通过具体问题引入，梳理出“改变量词、否定结论”的否定规则，明确全称命题否定为存在命题、存在命题否定为全称命题的转化关系，并结合例题、对点练及参数范围应用，构建“概念-规则-应用”的学习支架。 资料以问题驱动培养逻辑推理素养，如通过对比简单命题否定引入，引导学生自主总结否定规律，体现数学思维。应用环节通过“命题p假求参数范围”等实例，渗透转化思想，课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾强化，有效弥补知识盲点。

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.　3.通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　全称量词命题的否定 问题1.你能说出命题s“3的相反数是－3”和t“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？ 提示：命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题. 问题2.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)∀x∈R，x＋1＞0； (3)被7整除的数都是奇数. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示：三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，也就是说，存在一个正比例函数不是一次函数. 命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x＋1＞0成立”，也就是说，∃x∈R，x＋1≤0. 命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 学生用书⬇第22页 1.命题的否定 当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题. 2.全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微提醒]　(1)简记“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.(2)一个命题和它的否定真假性相反. (链教材P21例6)写出下列全称量词命题的否定： (1)任意奇数的平方还是奇数； (2)∀x∈R，x2＋x＋1＞0； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 解：(1)存在一个奇数的平方不是奇数. (2)∃x∈R，x2＋x＋1≤0. (3)存在一个三角形的三个内角不都是锐角. 对全称量词命题进行否定的两个步骤 第一步：改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； 第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式. 对点练1.(1)命题“∀x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x2＋4x＋4≥0 B.∃x∈R，x2＋4x＋4＜0 C.∀x∈R，x2＋4x＋4＞0 D.∀x∈R，x2＋4x＋4＜0 (2)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是(　　) A.对角线相等的四边形不是等腰梯形 B.有的对角线相等的四边形不是等腰梯形 C.任何对角线相等的四边形都是等腰梯形 D.有的对角线相等的四边形是等腰梯形 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)命题“∀x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是：∃x∈R，x2＋4x＋4＜0.故选B. (2) 命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”为全称量词命题，其否定为：有的对角线相等的四边形不是等腰梯形.故选B. 任务二　存在量词命题的否定 问题3.类比全称量词命题的否定，写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈N，x2的个位数字等于3. 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式. 其中命题(1)的否定是“不存在一个凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°”，也就是说，所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和都不等于720°. 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形. 命题(3)的否定是“不存在x∈N，x2的个位数字等于3”，也就是说，∀x∈N，x2的个位数字都不等于3. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题的否定 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微思考]　如何对省略量词的命题进行否定？ 提示：若省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然. (链教材P22例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； (2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0； (3)∃x，y∈Z，x＋y＝3. 解：(1)命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0. 因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以命题的否定为真命题. (2)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0. 因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以命题的否定为假命题. (3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，所以命题的否定为假命题. 对存在量词命题进行否定的两个步骤 第一步：改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； 第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式. 学生用书⬇第23页 对点练2.(1)命题“∃x＞0，x＋≥3”的否定是(　　) A.∃x＞0，x＋＜3 B.∀x≤0，x＋＜3 C.∀x＞0，x＋＜3 D.∃x≤0，x＋≥3 (2)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)任意一个偶数都不是素数 解析：(1)命题“∃x＞0，x＋≥3”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“∃x＞0，x＋≥3”的否定是∀x＞0，x＋＜3.故选C. (2)由命题“有一个偶数是素数”，可得此命题为存在量词命题，则命题的否定为“任意一个偶数都不是素数”. 任务三　全称量词命题与存在量词命题否定的应用 若命题p：“∃x∈R，x2－x＋a≤0”为假命题，求实数a的取值范围. 解：因为命题p为假命题， 所以命题p的否定：“∀x∈R，x2－x＋a＞0”为真命题， 所以Δ＝1－4a＜0，解得a＞. 所以实数a的取值范围是. [变式探究]　(变条件)把命题p改为“∀x∈R，x2－x＋a≥0”，若p为假命题，求实数a的取值范围. 解：因为命题p为假命题，则命题p的否定：“∃x∈R，x2－x＋a＜0”为真命题， 所以Δ＝1－4a＞0， 解得a＜. 所以实数a的取值范围是. 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1.命题和它的否定的真假性相反. 2.在解决实际问题时，通常采用“正难则反”的间接法求参数的取值范围，且范围相同. 3.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题. 对点练3.已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围. 解：命题p的否定是假命题，即p是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 任务 再现 1.全称量词命题、存在量词命题的否定.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断以及应用 方法 提炼 转化的思想方法 易错 警示 1.对含量词命题的否定，除了否定结论，还应改变量词.2.命题与其否定的真假性相反，不会利用正难则反的方法把命题进行转化 1.命题“∀x＞y，x2＞y”的否定是(　　) A.∃x＞y，x2≤y B.∃x＞y，x2＞y C.∀x＞y，x2≤y D.∃x≤y，x2≤y 答案：A 解析：命题“∀x＞y，x2＞y”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“∀x＞y，x2＞y”的否定是“∃x＞y，x2≤y”.故选A. 2.命题“∃x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为(　　) A.∃x＜2 025，x2≤4 050 B.∀x≥2 025，x2＜4 050 C.∀x＜2 025，x2≤4 050 D.∀x≥2 025，x2≤4 050 答案：D 解析：命题“∃x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为“∀x≥2 025，x2≤4 050”.故选D. 3.(多选题)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有(　　) A.有理数是实数 B.有些四边形不是菱形 C.∀x∈R，x2－2x＞0 D.∃x∈R，2x＋1为奇数 答案：ABD 解析：由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题；∀x∈R，x2－2x＞0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题；∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题.故选ABD. 4.已知命题“∃x∈，使得等式3x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案：(－∞，－6]∪[9，＋∞) 解析：由题意得“∀x∈，使得3x－m≠0成立”是真命题，故m∉，所以实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[9，＋∞). 课时分层评价8　全称量词命题与存在量词命题的否定 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.已知命题p：∀x＞0，x2＞0，那么命题p的否定为(　　) A.∀x＞0，x2≤0 B.∀x≤0，x2≤0 C.∃x≤0，x2≤0 D.∃x＞0，x2≤0 答案：D 解析：因为命题p：∀x＞0，x2＞0，所以命题p的否定为：∃x＞0，x2≤0.故选D. 2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为(　　) A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B.锐角三角形的三个内角都相等 C.锐角三角形的三个内角都不相等 D.锐角三角形的三个内角不都相等 答案：D 解析：命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”.故选D. 3.(新角度)十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为(　　) A.对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解 B.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至多存在一组正整数解 C.存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 答案：D 解析：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”的否定为：存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解.故选D. 4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A.p：平面内所有四边形的内角和都是360° B.q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C.r：∃x∈{x｜x是无理数}，x2是无理数 D.s：对所有实数a，都有｜a｜＞0 答案：BD 解析：对于A，p的否定：平面内有的四边形的内角和不是360°，是假命题；对于B，q的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立；对于C，r的否定：∀x∈{x｜x是无理数}，x2不是无理数，是假命题；对于D，s的否定：存在实数a，使｜a｜≤0，是真命题.故选BD. 5.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1” B.命题“∃x∈R，x2≤2”的否定是“∀x∈R，x2＞2” C.命题“存在x∈Q，使得2x2＋x＋1＝0”是真命题 D.若命题“∃x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则实数n的取值范围是 答案：ABD 解析：对于A，命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A正确；对于B，命题“∃x∈R，x2≤2”的否定是“∀x∈R，x2＞2”，故B正确；对于C，对于方程2x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×2×1＝－7＜0，所以关于x的方程2x2＋x＋1＝0无实数解，所以命题“存在x∈Q，使得2x2＋x＋1＝0”是假命题，故C错误；对于D，若命题“∃x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则Δ＝4－4×4n＝4－16n＜0，解得n＞，所以实数n的取值范围是，故D正确.故选ABD. 6.已知命题p：∃x，y∈Z，2x＋4y＝3，则(　　) A.p是假命题，p的否定是∀x，y∈Z，2x＋4y≠3 B.p是假命题，p的否定是∃x，y∈Z，2x＋4y≠3 C.p是真命题，p的否定是∀x，y∈Z，2x＋4y≠3 D.p是真命题，p的否定是∃x，y∈Z，2x＋4y≠3 答案：A 解析：由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题.原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定是“∀x，y∈Z，2x＋4y≠3”.故选A. 7.命题“∀x∈，－＜”的否定是　　　　　　　　　. 答案：∃x∈，－≥ 解析：由 “∀x∈，－＜”可得其否定为：∃x∈，－≥. 8.已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　. 答案：5 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5，则实数m的最大值为5. 9.(新情境)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　(填“是”或“否”) 答案：是 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 10.(10分)写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由. (1)p：∃x∈R，x2＝－1； (2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根； (3)p：有的平行四边形的对角线相等； (4)p：有些实数的绝对值是正数. 解：(1)命题p的否定为：∀x∈R，x2≠－1.命题p为假命题，所以p的否定为真命题. (2)命题p的否定为：存在实数m，关于x的方程m2x2＋x－1＝0没有实数根. 当m＝0时，方程x－1＝0有实根；当m≠0时，方程m2x2＋x－1＝0的判别式Δ＝1＋4m2＞0，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题. (3)命题p的否定为：所有平行四边形的对角线都不相等.命题p是真命题，命题p的否定是假命题. (4)命题p的否定为：所有实数的绝对值都不是正数.命题p为真命题，命题p的否定是假命题. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.命题p：∃x＞0，使得x2－6x－12＝0，则p的否定：∀x＞0，x2－6x－12≠0 B.命题p：∀x＞0，x(x－4)＞0，则p的否定：∃x≤0，x(x－4)≤0 C.命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题 D.命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题 答案：AD 解析：对于A，p的否定：∀x＞0，x2－6x－12≠0，故A正确；对于B，p的否定：∃x＞0，x(x－4)≤0，故B错误；对于C，其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题，故C错误；对于D，其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题，故D正确.故选AD. 12.(多选题)集合A＝{x｜x－1＞2}，集合B＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则下列命题的否定为假命题的是(　　) A.∀x∈B，x∈A B.∃x∈B，x∉A C.∃x∈A，x∉B D.∀x∈A，x∈B 答案：BD 解析：因为A＝，B＝{x，或x＞2}，则A⊆B.对于A，原命题的否定为“∃x∈B，x∉A”，当x＜－1时，满足x∈B，x∉A，即原命题的否定为真命题，故A错误；对于B，原命题的否定为“∀x∈B，x∈A”，当x＜－1时，x∈B，x∉A，即原命题的否定为假命题，故B正确；对于C，原命题的否定为“∀x∈A，x∈B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为真命题，故C错误；对于D，原命题的否定为“∃x∈A，x∉B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为假命题，故D正确.故选BD. 13.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案：{a｜a≤1} 解析：因为命题p的否定是假命题，所以命题p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，则实数a的取值范围是{a｜a≤1}. 14.(10分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围. 解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以 解得m≥3，故实数m的取值范围是{m｜m≥3}. 15.(5分)命题“∃x∈，x2－x－a＞0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≤－ B.a≤0 C.a≥6 D.a≥8 答案：D 解析：若命题“∃x∈，x2－x－a＞0”为假命题，则命题的否定“∀x∈，x2－x－a≤0”为真命题，即a≥x2－x，x∈恒成立，y＝x2－x＝－，x∈，当x＝－2时，取得最大值y＝6，所以a≥6，选项中只有的真子集，所以命题“∃x∈，x2－x－a＞0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.故选D. 16.(15分)设命题p：∀x≥1，x2－x＋1－m＞0，命题q：∀x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0. (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围. 解：(1)由∀x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0，得关于x的方程4x2＋(4m－2)x＋1＝0无实根，因此Δ＝(4m－2)2－16＜0，解得－＜m＜， 所以实数m的取值范围是(－，). (2)由p为假命题，则命题p的否定为：∃x≥1，x2－x＋1－m≤0为真命题，即∃x≥1，m≥x2－x＋1，而当x≥1时，x2－x＋1＝x(x－1)＋1≥1，当且仅当x＝1时取等号，因此m≥1，由(1)知，－＜m＜，则1≤m＜， 所以实数m的取值范围是［1，). 学生用书⬇第24页 学科网（北京）股份有限公司 $