第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“全称量词与存在量词”第1课时，系统梳理全称量词命题与存在量词命题的概念、判断方法及真假辨析。通过实例观察引入，从“任何”“所有”等词语抽象出全称量词，从“有一个”“存在”等抽象出存在量词，结合集合观点理解命题，再通过辨析、真假判断及参数范围应用，构建“实例-概念-辨析-应用”的学习支架。 资料以实例驱动培养数学眼光，如通过实数、三角形等实例引导学生抽象量词含义；通过命题真假判断和参数范围转化训练逻辑推理（数学思维），用“∀”“∃”符号规范数学语言表达。设计对点练、变式探究及分层评价，课中助力教师突破重难点，课后帮助学生巩固概念、查漏补缺，提升数学运算与逻辑推理核心素养。

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 学习目标 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.　2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.　3.通过对含量词的命题的应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　全称量词命题 问题1.观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)任何一个实数乘以0都等于0； (2)所有的自然数都是正整数； (3)每一个有理数都可以写成分数形式； (4)一切三角形的内角和都等于180°. 提示：(1)(3)(4)是真命题，(2)是假命题；命题中的“任何”“所有的”“每一个”“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义. 全称量词与全称量词命题 全称量 词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 全称 量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的” [微提醒]　(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. (链教材P19例4)判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断其真假： (1)凸n边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2＞0； (3)矩形的对角线相等. 解：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题. (2)是，有全称量词“∀”，假命题. (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题. 全称量词命题的辨析及其真假的判断 对点练1.(1)下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在x，y∈R，使得3x＋y＝5；④任意一个菱形都是平行四边形. 其中全称量词命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(多选题)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.矩形的对角线互相平分且相等 B.对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C.有些菱形不是平行四边形 D.对任意实数x，不等式x2－3x＋7≥0恒成立 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)常见的“任意”“所有”“一切”等均为全称量词，所以命题①②④为全称量词命题，③不是全称量词命题.故选C. (2)对于A，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，故A正确；对于B，对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b，为全称量词命题，且是真命题，故B正确；对于C，有些菱形不是平行四边形不是全称量词命题，故C错误；对于D，对任意实数x，不等式x2－3x＋7≥0恒成立，为全称量词命题，因为Δ＝－4×7＜0，故不等式x2－3x＋7≥0恒成立，为真命题，故D正确.故选ABD. 学生用书⬇第20页 任务二　存在量词命题 问题2.观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)有一个偶数是素数； (2)有些三角形是直角三角形； (3)存在实数x，使得x2＋x－1＝0. 提示：(1)(2)(3)都是真命题；命题中的“有一个”“有些”“存在”都有表示个别或一部分的含义. 存在量词与存在量词命题 存在量 词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 存在 量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在” [微提醒]　(1)常见的存在量词还有“对某些”“有的”等.(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来. (链教材P20例5)判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断其真假： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数. 解：(1)不是. (2)是；存在量词是“有些”；真命题. (3)是；存在量词是“存在”；真命题. (4)是；存在量词是“存在”；假命题. 存在量词命题的辨析及其真假的判断 对点练2.(1)(多选题)下列命题既是存在量词命题又是假命题的是(　　) A.∃x∈R，x2－3x＋5≤0 B.∃x∈R，x2－3x＋＞0 C.至少存在两个质数的平方是偶数 D.有些整数既能被2整除，又能被3整除 (2)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　. 答案：(1)AC　(2)∃x＜0，使得(1＋x)(1－9x)＞0 解析：(1)对于A，是存在量词命题，是假命题，故A正确；对于B，∃x＝3，32－3×3＋＝＞0，是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题.因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.真命题，故D错误.故选AC. 任务三　依据含量词的命题的真假求参数的取值范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围. 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得2≤m≤3. 即实数m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. [变式探究] 1.(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 解：由于命题p：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，即m≥2. 所以 解得2≤m≤4. 即实数m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 学生用书⬇第21页 2.(变条件，变设问)把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 解：若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 则A⊆B，B≠∅，所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 1.根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意. 2.根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围问题. 对点练3.若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围. 解：因为命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， 所以方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 即实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 任务 再现 1.全称量词命题、存在量词命题的概念.2.含量词的命题的真假判断以及含量词的命题的真假的应用 方法 提炼 转化的思想方法 易错 警示 有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分” 1.下列命题是全称量词命题的是(　　) A.∃x∈R，x2＞ B.存在一个菱形的四条边不相等 C.偶数的平方是偶数 D.至少有两个合数小于7 答案：C 解析：对于A，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意；对于B，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意；对于C，命题可表述为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称量词命题，符合题意；对于D，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意.故选C. 2.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　) A.所有正方形都是菱形 B.∃x∈R，使x2＋2x＋2＝0 C.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 D.∃x∈R，使x2－x＋＜0 答案：C 解析：对于A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误；对于B，∃x∈R，使x2＋2x＋2＝0为存在量词命题，而x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立，该命题为假命题，故B错误；对于C，至少有一个实数x，使x3＋1＝0为存在量词命题，当x＝－1时，方程成立，该命题为真命题，故C正确；对于D，∃x∈R，使x2－x＋＜0为存在量词命题，而x2－x＋＝≥0恒成立，该命题为假命题，故D错误.故选C. 3.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，｜x｜＝0 B.∀x∈R，x2＋1＞0 C.∀x∈R，x3＞0 D.∃x∈R，2x－10＝1 答案：C 解析：对于A，当x＝0时，｜x｜＝0，为真命题，故A错误；对于B，因为x∈R，所以x2≥0，则x2＋1≥1＞0，为真命题，故B错误；对于C，当x＝0时，x3＝0，为假命题，故C正确；对于D，由2x－10＝1，得x＝，为真命题，故D错误.故选C. 4.将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成　　　　　　　. 答案：∀x∈R，x2＋1≠0 解析：由题意知，“方程x2＋1＝0无实根”是全称量词命题，故可改写为：∀x∈R，x2＋1≠0. 课时分层评价7　全称量词命题与存在量词命题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.(多选题)下列命题属于存在量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2＋1＝0 答案：BD 解析：任意一个自然数都是整数中有全称量词是全称量词命题，故A错误；有的菱形是正方形有存在量词有的，故B正确；梯形有两边平行是全称量词命题，故C错误；∃x∈R，x2＋1＝0，有存在量词，是存在量词命题，故D正确.故选BD. 2.关于命题q：∀a＜b，≤，下列结论正确的是(　　) A.q是存在量词命题，是真命题 B.q是存在量词命题，是假命题 C.q是全称量词命题，是真命题 D.q是全称量词命题，是假命题 答案：D 解析：对于命题q，是全称量词命题，当a＝－3，b＝2时，a＜b，而＞，故q为假命题；所以q为全称量词命题且为假命题.故选D. 3.(多选题)已知集合A＝，B＝{x｜x＞2}，则(　　) A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：依题意集合A＝，B＝{x｜x＞2}，所以B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B；∀x∈B，x∈A；即A，D正确，B，C错误.故选AD. 4.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B.∀x∉Q，有x∉P C.∃x∉Q，使得x∈P D.∃x∈P，使得x∉Q 答案：B 解析： 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图，所以A错误，B正确，C错误，D错误.故选B. 5.(多选题)下列命题中，为真命题的是(　　) A.∀x∈Q，｜x｜∉Z B.∃x∈Z，使x同时被3和4整除 C.∀x∈R，｜x｜＞0 D.∃x∈N，x2－2x－3＝0 答案：BD 解析：当x＝1时，｜x｜＝1∈Z，故A错误；当x＝12时，x同时被3和4整除，故B正确；当x＝0时，｜x｜＝0，故C错误；当x＝3时，x2－2x－3＝0，故D正确.故选BD. 6.若“∃x∈M，0＜x＜3”为真命题，“∀x∈M，x＜2”为假命题，则集合M可以是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：若“∃x∈M，0＜x＜3”为真命题，则A错误；又“∀x∈M，x＜2”为假命题，则“∃x∈M，x≥2”为真命题，则B，D错误，则集合M可以是.故选C. 7.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案： 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是. 8.已知命题p：“∀x∈，∃y∈，使得x＞y”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案：{m｜m≥2} 解析：若命题p：“∀x∈，∃y∈，使得x＞y”是真命题，则它等价于x的最小值大于y的最小值，因为2≤x≤3，m≤y≤m＋3，则m＜2，所以当命题p为假命题时，m≥2，即实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 9.(开放题)能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　. 答案：(答案不唯一) 解析：如当a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题. 10.(10分)用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假： (1)任意实数的平方大于0； (2)有的实数的平方等于它本身； (3)两个有理数的乘积仍为有理数. 解：(1)“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为：∀x∈R，x2＞0； 当x＝0时，02＝0，不合题意，所以∀x∈R，x2＞0为假命题. (2)“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为：∃x∈R，x2＝x； 当x＝1时，12＝1，所以∃x∈R，x2＝x为真命题. (3)“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为：∀x，y∈Q，xy∈Q； 当x，y∈Q时，根据有理数的性质知xy∈Q，所以∀x，y∈Q，xy∈Q为真命题. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)下列命题中正确的有(　　) A.∃x∈R，x2＞x B.∀x∈R，x2＞x C.∃x∈Q，x2－8＝0 D.∀x∈R，x2＋2＞0 答案：AD 解析：对于A，当x＝－1时，x2＞x，故A正确；对于B，当x＝0时，x2＝x，故B错误；对于C，只有x＝±2时，x2－8＝0，此时x不是有理数，故C错误；对于D，因为x2≥0，所以x2＋2＞0，故D正确.故选AD. 12.已知“∀x∈{x｜0≤x≤2}，p＞x”为真命题；“∃x0∈{x｜0≤x≤2}，q＞x0”为真命题，那么p，q的取值范围为(　　) A.p∈{x｜x＞0}，q∈{x｜x＞0} B.p∈{x｜x＞0}，q∈{x｜x＞2} C.p∈{x｜x＞2}，q∈{x｜x＞0} D.p∈{x｜x＞2}，q∈{x｜x＞2} 答案：C 解析：“∀x∈{x｜0≤x≤2}，p＞x”为真命题，则p＞2，“∃x0∈{x｜0≤x≤2}，q＞x0”为真命题，则q＞0.故选C. 13.已知p：存在实数x，使得x，3，4能成为三角形的三边长.若p为假命题，则x的取值集合M＝　　　　　　　　. 答案：{x｜x≤1，或x≥7} 解析：当p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7，所以当p为假命题时，可得M＝{x｜x≤1，或x≥7}. 14.(10分)设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}. (1)若“∃x∈R，x∈(A∩B)”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若A∩B中有且只有三个整数，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意知A∩B＝∅. 当B＝∅时，2m≥1－m，解得m≥； 当B≠∅，即m＜时，有2m≥2或1－m≤－1，此时m无解. 综上，实数m的取值范围为. (2)因为A∩Z＝{－1，0，1，2}， 所以A∩B中只有三个整数时，可能为－1，0，1或0，1，2. 当A∩B∩Z＝{－1，0，1}时，有解得－1≤m＜－； 当A∩B∩Z＝{0，1，2}时，有无解. 综上，实数m的取值范围为. 15.(5分)(新情境)观察下面几个算式： 1＝1； 1＋2＋1＝4； 1＋2＋3＋2＋1＝9； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16； 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25； 得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：∀n∈N＋，都有1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2 解析：由题设算式的规律知：∀n∈N＋，都有1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2. 16.(15分)已知命题p：∀x∈，x2＜2a－3，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)若命题p为真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得命题p和q均为真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意得，当x∈时，可得＝3， 当命题p为真命题时，应满足2a－3＞3， 所以a＞3， 当命题q为真命题时，方程x2＋2x＋a＝0有实数根，所以Δ＝4－4a≥0，即a≤1， 因此命题q为假命题时，a＞1， 故当命题p为真命题，命题q为假命题时，有 故实数a的取值范围为. (2)由(1)知，若命题p和q均为真命题，则显然无解， 故不存在实数a，使得命题p和q均为真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $