第一章 2.1 第2课时 充要条件-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“充要条件”核心知识点，在充分条件、必要条件基础上，通过典型命题实例引入概念，系统梳理定义法、集合法、等价法、传递法等判断方法，结合证明与参数范围应用，构建完整的条件关系知识支架。 以问题链驱动概念生成，如通过三角形全等、方程实根问题引导学生观察条件双向关系，培养数学眼光。证明例题与变式探究强化逻辑推理，发展数学思维。集合法判断和参数范围应用训练数学语言表达，课中例题助力教师教学，课后分层评价帮助学生查漏补缺。

第2课时　充要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.　2.会判断一些简单的充要条件问题并能对充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　充要条件 给出以下两个“若p，则q”形式的命题： (1)若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等； (2)若m≤，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根. 问题1.你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：(1)、(2)都是真命题. 问题2.你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：(1)逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题. (2)逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根，则m≤，是真命题. 问题3.以上两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件. 1.一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”. 2.条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件. 3.充分、必要、充要条件的分类与传递性 分类 ①如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件； ②如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ③如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充要条件； ④如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件 续表 传递性 ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件 [微提醒]　充要条件与集合的关系：A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q} A＝B p是q的充要条件 A⫋B p是q的充分不必要条件 B⫋A p是q的必要不充分条件 学生用书⬇第17页 (链教材P17例3)在下列各题中，判断p是q的什么条件. (1)p：｜x｜＝｜y｜，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，q：△ABC中，BC＞AC； (4)p：m＞0，q：关于x的方程x2＋x－m＝0有实根. 解：(1)由｜x｜＝｜y｜可得x＝y或x＝－y，即由p推不出q，但由q可以推出p，所以p是q的必要不充分条件. (2)由△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，由△ABC是等腰三角形推不出△ABC是直角三角形，所以p是q的既不充分也不必要条件. (3)因为在三角形中，大角对大边，大边对大角，所以在△ABC中，若∠BAC＞∠ABC，有BC＞AC；若BC＞AC，有∠BAC＞∠ABC，故p是q的充要条件. (4)由m＞0，可得1＋4m＞0，从而得方程x2＋x－m＝0有实根， 但由方程x2＋x－m＝0有实根，可得1＋4m≥0，即m≥－，即由p可以推出q，但由q不可以推出p，所以p是q的充分不必要条件. 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 定义法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假 集合法 即利用集合之间的包含关系判断 等价法 利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，运用等价法 传递法 充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 对点练1.(1)(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)给出下列各组条件： ①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜；③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1. 其中p是q的充要条件的有(　　) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立；所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. (2)①由ab＝0，即a，b中至少有一个为0，又由a2＋b2＝0，可得a＝0且b＝0，即a，b同时为0，即pq，q⇒p，所以ab＝0是a2＋b2＝0的必要不充分条件.②由＝｜x｜＋｜y｜，可得＝，即x2＋y2＋2xy＝x2＋y2＋2，所以xy＝，可得xy≥0，即p⇒q，q⇒p，所以xy≥0是＝｜x｜＋｜y｜的充要条件.③方程x2－x－m＝0有实数根的充要条件是Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，所以p⇒q，qp，所以m＞0是x2－x－m＝0有实数根的充分不必要条件.④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1，所以pq，q⇒p，所以x＞2或x＜－1是x＜－1的必要不充分条件.故选A. 任务二　充要条件的证明 (链教材P46A组T5)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0. 证明：充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b， 代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0. 充要条件的证明策略 1.要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2.在证明的过程中也可以转化为集合间的关系来证明，即证明p与q的解集相同. [注意]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 对点练2.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 证明：必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 学生用书⬇第18页 任务三　充分、必要、充要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 设A＝{x｜－2≤x≤10}， B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}(m＞0)， 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，所以B⫋A， 故有 解得m≤3. 又m＞0， 所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. [变式探究] 1.(变条件)若将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A⫋B. 所以 解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m｜m≥9}. 2.(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)， 若p是q的充要条件，则m不存在. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 　　利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 对点练3.(1)集合A＝，集合B＝，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝(　　) A.0 B.－1 C.3 D.5 (2)已知集合A＝与集合B＝[1－m，1＋m].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充要条件，所以A＝B，又A＝，B＝，所以a＝－1.故选B. (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集，则等号不同时成立，解得0＜m≤1，所以实数m的取值范围是.故选C. 任务 再现 1.充要条件概念的理解.2.充要条件的证明与应用 方法 提炼 分类讨论、转化的思想 易错 警示 1.条件和结论辨别不清.2.充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒 1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.故选C. 2.“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是(　　) A.m≥1 B.m≤1 C.m≥2 D.m≥0 答案：A 解析：若x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4－4m＞0⇒m＜1，故方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解时，m≥1，故“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是m≥1.故选A. 3.已知集合M和集合N，那么M∩N＝N的充要条件是(　　) A.M⊆N B.N⫋M C.M⊇N D.M＝N 答案：C 解析：对于A，若M⊆N，则M∩N＝M，故A错误；对于B，若M＝N，则不能得到N⫋M，故B错误；对于C，若M∩N＝N⇔M⊇N，故C正确；对于D，M∩N＝N，当N是M的真子集时，不能得到M＝N，故D错误.故选C. 4.已知集合A＝{x｜1＜x＜3}，集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为　　　　　. 答案： 解析：A是B的必要不充分条件，则B⫋A.当B＝∅，2m≥1－m时，即m≥时，B⫋A，满足题意；当B≠∅，即m＜时，要使B⫋A，则且等号不同时成立，解得m≥，又m＜，故无解.综上所述，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为. 课时分层评价6　充要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.“x＝1”是“x2＝1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若x＝1，则x2＝1，反过来，若x2＝1，则x＝±1，不一定x＝1，所以“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件.故选A. 2.三角形中有两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：当三角形中有两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形；当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以三角形中有两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件.故选C. 3.下列不等式中，可以作为x＜3的一个充分不必要条件的是(　　) A.2＜x＜4 B.3＜x＜4 C.x＜2 D.x＜4 答案：C 解析：因为可以作为x＜3的一个充分不必要条件对应的集合为{x｜x＜3}的真子集.集合{x｜2＜x＜4}，{x｜3＜x＜4}，{x｜x＜4}都不是{x｜x＜3}的真子集，只有集合{x｜x＜2}是{x｜x＜3}的真子集.故选C. 4.若“m－2＜x＜m＋2”是“1＜x＜3”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.1≤m≤2 B.1＜m＜3 C.－1＜m＜2 D.1≤m≤3 答案：D 解析：“m－2＜x＜m＋2”是“1＜x＜3”的必要不充分条件，则解得1＜m≤3或1≤m＜3，则1≤m≤3，所以实数m的取值范围是1≤m≤3.故选D. 5.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　) A.Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B.Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C.Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件 D.Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件 答案：ABD 解析：A正确，Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；B正确，Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；C错误，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根Δ＝b2－4ac＞0；D正确，Δ＝b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根.故选ABD. 6.(多选题)已知集合A＝，B＝{x｜x＜－2，或x≥7}，则A∩B＝∅的必要不充分条件可能是(　　) A.a＜7 B.a＜6 C.a≤5 D.a＜4 答案：AB 解析：若A∩B＝∅，当A＝∅时，a＋1≥2a－3，即得a≤4；当A≠∅时，解得4＜a≤5；综上可得a≤5.所以a≤5的必要不充分条件可能是a＜7或a＜6.故选AB. 7.在△ABC中，“∠A＋∠B＞90°”是“△ABC为锐角三角形”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：必要不充分 解析：若∠A＋∠B＞90°，则∠A，∠B可能有一个大于90°，故充分性不成立；若△ABC为锐角三角形，则任意两内角和必大于90°，故必要性成立.故答案为：必要不充分. 8.(开放题)若集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜x＜b，b∈R}，试写出A∪B＝R的一个必要不充分条件　　　　　　. 答案：b＞1(答案不唯一) 解析：由A∪B＝R，则b＞2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件是b＞1.(答案不唯一). 9.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　　　　. 答案：m＝±2 解析：因为A∩B＝{4}，所以4∈A，又－2≠4，故m2＝4，解得m＝±2.即A∩B＝{4}⇒m＝±2.当m＝±2时，m2＝4，所以A＝{－2，4}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，即m＝±2⇒A∩B＝{4}.综上所述，“A∩B＝{4}”的充要条件是m＝±2. 10.(10分)已知集合A＝，B＝{x｜x＜－1，或. (1)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解：(1)因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，可得A是B的真子集， 则满足解得a＞2，所以实数a的取值范围为(2，＋∞). (2)因为x∈B是x∈A的充分不必要条件，可得B是A的真子集， ①当1－a≥1＋a，即a≤0时，此时A＝R，符合题意； ②当1－a＜1＋a，即a＞0时，则满足解得0＜a＜1， 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，1). (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(新情境)“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》.意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由题意，其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件.故选C. 12.已知p：x＞a，q：x＜－2或x＞0，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤－2 B.a≤0 C.a＞0 D.a≥0 答案：D 解析：令A＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)，B＝(a，＋∞)，因为p是q的充分不必要条件，所以B⫋A，所以a≥0.故选D. 13.(多空题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是　　　　　　； (2)“a，b都不为0”的充分条件是　　　　； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是　　　　　　　. 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或④ab＞0⇔则a，b都不为0. (1)“a，b都为0”的必要条件是①②③. (2)“a，b都不为0”的充分条件是④. (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是①. 14.(10分)设x，y∈R. (1)求证：｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜成立的充要条件是xy≥0. (2)直接写出｜x＋2y｜＝｜x－2y｜成立的充要条件(不要求证明). 解：(1)证明：先证充分性：因为xy≥0，讨论： (ⅰ)当xy＝0，继续讨论： ①x＝0，y≠0时，｜x＋2y｜＝2｜y｜，｜x｜＋2｜y｜＝2｜y｜，所以｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜； ②y＝0，x≠0时，｜x＋2y｜＝｜x｜，｜x｜＋2｜y｜＝｜x｜，所以｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜； ③y＝0，x＝0时，｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜＝0； 所以当xy＝0时，有｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜成立. (ⅱ)当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， ①当x＞0，y＞0时，｜x＋2y｜＝x＋2y＝｜x｜＋2｜y｜； ②当x＜0，y＜0时，｜x＋2y｜＝－x－2y，｜x｜＋2｜y｜＝－x－2y，所以｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜. 再证必要性：因为｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜，两边平方有： x2＋4y2＋4xy＝x2＋4y2＋4｜x｜｜y｜，所以｜xy｜＝xy，所以xy≥0. 综上：｜x＋2y｜＝｜x｜＋2｜y｜成立的充要条件是xy≥0. (2)因为｜x＋2y｜＝｜x－2y｜⇔(x＋2y)2＝(x－2y)2⇔8xy＝0⇔xy＝0， 所以｜x＋2y｜＝｜x－2y｜成立的充要条件是xy＝0. 15.(5分)(新角度)甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：A＝{x｜0＜Δx＜2}，B＝{x｜－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“Δ”中的数字可以是(　　) A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 答案：C 解析：因为此数为小于5的正整数，故A＝＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故＞≤5，解得Δ∈，故“Δ”中的数字可以是1或2.故选C. 16.(15分)(开放题)在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由. 问题：已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜1－a≤x≤1＋a}(a＞0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　？ 解：由题意知A＝{x｜0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a＞0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a｜a≥3}. 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a＞0，解得0＜a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a｜0＜a≤1}. 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a＞0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 学生用书⬇第19页 学科网（北京）股份有限公司 $