第一章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“必要条件与充分条件”核心知识点，从命题真假入手，通过性质定理理解必要条件，结合判定定理掌握充分条件，构建从具体到抽象的逻辑关系学习支架。 资料以问题链驱动探究，设微提醒、微思考深化概念理解，通过例题变式与分层练习培养逻辑推理与数学表达能力。课中助力教师引导学生思维，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.　2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　必要条件与性质定理 问题1.请同学们观察下列性质定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　菱形的对角线互相垂直. 定理2　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 定理3　如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等. 提示：在这三个性质定理中，每个定理的条件都能推出结论；但由结论不一定能得到定理的条件. 1.命题的概念及结构形式 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q. 2.必要条件 必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的 性质定理 与必要条 件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 [微提醒]　(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后.(2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”.(3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. (链教材P15T1)用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若∁RA⊆∁RB，则B⊆A； 学生用书⬇第14页 (2)正方形的对角线互相平分且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等. 解：(1)B⊆A是∁RA⊆∁RB的必要条件. (2)四边形的对角线互相平分且相等是该四边形为正方形的必要条件. (3)两条直线被第三条直线所截，内错角相等是两条直线平行的必要条件. 必要条件的两种判断方法 1.定义法 2.命题判断法 (1)如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； (2)如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 对点练1.下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：a＞b，q：ac＞bc； (4)若xy为无理数，则x，y为无理数. 解：(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. (2)由A⊆B，可得A∩B＝A，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. (3)当c＝0时，a＞b推不出ac＞bc，故pq，所以q不是p的必要条件. (4)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，可得pq，所以 q不是p的必要条件. 任务二　充分条件与判定定理 问题2.观察下面的判定定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　若a＞0，b＞0，则ab＞0. 定理2　对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理3　在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 提示：由判定定理中的条件均能得到结论，反之由结论不一定能得到条件，也就是说条件是结论的充分条件，而不一定是必要条件. 充分条件 充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件 判定定理 与充分条 件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 必要条件 与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件 [微提醒]　(1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序.(2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. [微思考]　(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件. (2)这五种表述形式是等价的. (链教材P16例2)下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB； (2)已知x∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (3)已知x∈R，p：x＞1，q：x＞2. 解：(1)在△ABC中，∠B＞∠C⇒AC＞AB，即p⇒q，所以p是q的充分条件. (2)由于x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)法一：由x＞1x＞2，即pq，所以p不是q的充分条件. 法二：设集合A＝，B＝，则B真包含于A，所以p不是q的充分条件. 学生用书⬇第15页 充分条件的两种判断方法 1.定义法 2.命题判断法 (1)如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 对点练2.(1)(多选题)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0 B.p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等 C.p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4 D.已知a，b为正实数，p：a＞b＞1，q：a2＞b2＞0 (2)集合A＝，B＝{x｜－a＜x－b＜a}.若“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件，则实数b的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)CD　(2)∪ 解析：(1)对于A，因为(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分条件，故A错误；对于B，因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件，故B错误；对于C，由a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，所以p是q的充分条件，故C正确；对于D，因为a＞b＞1⇒a2＞b2＞0，所以p是q的充分条件，故D正确.故选CD. (2)由A＝{x｜－1＜x＜1}，当a＝1时，B＝{x｜－a＜x－b＜a}＝{x｜b－a＜x＜b＋a}＝{x｜b－1＜x＜b＋1}，由“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件，则b＋1≤－1或b－1≥1，解得b≤－2或b≥2，所以实数b的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞). 任务三　充分条件与必要条件的应用 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，其中a＜0， 即集合A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}， q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以 所以－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是. [变式探究] 1.(变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解：p：a＜x＜3a，其中a＞0， 即集合A＝{x｜a＜x＜3a，a＞0}， q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以所以a∈∅. 2.(变条件)将本例中的条件q改为“实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，其中a＜0， 即集合A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}， q：－3≤x≤0，即集合B＝{x｜－3≤x≤0}. 因为p是q的充分条件， 所以p⇒q，所以A⊆B， 所以 所以－1≤a＜0. 所以实数a的取值范围是[－1，0). 充分条件与必要条件的应用及求解技巧 1.应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 对点练3.已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a≠0. (1)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解：根据题意，设命题p对应的集合为A＝{x｜x＞2}，命题q所对应的集合为B＝{x｜ax－4＞0}， (1)若p是q的充分条件，则A⊆B，则解得a≥2，则实数a的取值范围为[2，＋∞). (2)若p是q的必要条件，则B⊆A， ①当a＞0时，由B⊆A，得≥2，得0＜a≤2， ②当a＜0时，则＜0，则B＝{x｜x＜}⊈A，不满足题意. 综上，实数a的取值范围为(0，2]. 任务 再现 1.必要条件、充分条件的概念.2.必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系 方法 提炼 定义法、命题判断法、化归思想 易错 警示 1.必要条件、充分条件不唯一.2.求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误 学生用书⬇第16页 1.(多选题)使x＞1成立的一个必要条件可以是(　　) A.x＞0 B.x＞－1 C.x＞2 D.x＜2 答案：AB 解析：只有x＞1⇒x＞0，x＞1⇒x＞－1，其他选项均不可由x＞1推出.故选AB. 2.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要条件 B.“x＝3”的必要条件是“x2－2x－3＝0” C.“m是实数”的充分条件是“m是有理数” D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件 答案：ABC 解析：对于A，由A∩B＝B得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，故A正确；对于B，解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要条件是“x2－2x－3＝0”，故B正确；对于C，“m是有理数”可以推出“m是实数”，故C正确；对于D，解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则由“｜x｜＝1”不能推出“x＝1”，故D错误.故选ABC. 3.“a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的　　　　条件.(用“充分”“必要”填空) 答案：必要 解析：因为当a＋b是偶数时，a，b可以都是奇数，所以“a＋b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”⇒“a＋b是偶数”.所以“a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件. 4.设α：2＜x≤5，β：x＞m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：由题意可得m≤2. 课时分层评价5　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.使x＞2 025成立的一个充分条件是(　　) A.x＞2 026 B.x＞2 024 C.x＞2 023 D.x＜2 026 答案：A 解析：只有x＞2 026⇒x＞2 025，其他选项均不可推出x＞2 025.故选A. 2.两个三角形全等的充分条件是(　　) A.两个三角形的两角对应相等 B.两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C.两个三角形的三边对应成比例 D.两个三角形的两边对应相等且夹角相等 答案：D 解析：根据全等三角形的判定定理可得，当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等.故选D. 3.下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：a＝－1，q：｜a｜＝1 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1 C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1 答案：D 解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒p：a＞b符合题意.故选D. 4.(多选题)对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题的是(　　) A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：ACD 解析：对于A，a＞b，若c≤0，则ac≤bc，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的必要条件，A错误；对于B，a＝b⇒a－b＝0⇒(a－b)c＝0⇒ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件，B正确；对于C，ac＞bc，若c＜0，则a＜b，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的充分条件，C错误；对于D，ac＝bc，若c＝0，则a＝b不成立，因此“ac＝bc”不是“a＝b”的充分条件，D错误.故选ACD. 5.已知P＝{x｜2a－4＜x＜a＋5}，Q＝{x｜2＜x＜3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，5] B.(－1，5] C.[－2，3] D.[－2，3) 答案：C 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以解得－2≤a≤3.故选C. 6.(多选题)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A.若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B.若x＞5，则x＞10 C.若ac＝bc，则a＝b D.若0＜x＜5，则｜x－1｜＜1 答案：BCD 解析：对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确；对于B，x＞10能推出x＞5，故B正确；对于C，由a＝b能推出ac＝bc，故C正确；对于D，若｜x－1｜＜1，则0＜x＜2，能推出0＜x＜5，故D正确.故选BCD. 7.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　　　　条件.(填“充分”或“必要”) 答案：充分 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“AC⊥BD”成立；而若“AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定是菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 8.下列说法中正确的有　　　　(填序号). ①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； ②x＞1是x＞2的充分条件； ③x＋y＞2是x＞1，y＞1的必要条件. 答案：①③ 解析：①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②错误，因为x＞1不能推出x＞2；③正确，因为x＞1，y＞1⇒x＋y＞2. 9.设条件p：｜x｜≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为　　　　. 答案： 1 解析：因为｜x｜≤m(m＞0)，所以－m≤x≤m(m＞0)，由p是q的充分条件，得解得0＜m≤1，所以m的最大值为1. 10.(10分)已知命题p：实数x满足a＜x＜4a，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x＜4. (1)若a＝1，则p是q的什么条件？(充分、必要) (2)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解：(1)由a＝1，得p：1＜x＜4，记集合A＝{x｜1＜x＜4}， q：2＜x＜4，记集合B＝{x｜2＜x＜4}. 因为B是A的真子集，所以p是q的必要条件. (2)p：a＜x＜4a，其中a＞0，记集合A＝{x｜a＜x＜4a，a＞0}， q：2＜x＜4，记集合B＝{x｜2＜x＜4}， 因为p是q的必要条件， 所以B⊆A，即所以1≤a≤2. 所以实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件 C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件 答案：AD 解析： 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙不能推出丙，如图.综上，有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选AD. 12.已知p：x∈A＝{x｜x＜－1，或x≥3}，q：x∈B＝}，若p是q的必要条件，则实数a的范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：A 解析：由题意知：B⊆A，①当a＜0时，B＝＝，B⊆A，故－≥3，解得a≥－，故－≤a＜0；②当a＝0时，B＝＝∅，满足B⊆A；③当a＞0时，B＝＝，B⊆A，故－＜－1，解得a＜1，故0＜a＜1.综上所述：a∈.故选A. 13.(多选题)已知a＞b＞0，则使得＞成立的充分条件可以是(　　) A.c＝－2 B.c＝－1 C.c＝1 D.c＝2 答案：AB 解析：＞可化为1＋＞1＋，即＞，由a＞b＞0，故bc＞ac，即(a－b)c＜0，即c＜0，故A，B正确；C，D错误.故选AB. 14.(10分)设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤5}，非空集合B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围. 解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以A⊆B，所以 所以a≥2， 故实数a的取值范围是{a｜a≥2}. (2)因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件， 所以B⊆A.则 解得≤a≤1. 故实数a的取值范围是. 15.(5分)(新情境) (多选题)设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件的图为(　　) 答案：BC 解析：对于A，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，所以A是B的充分条件；对于B，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，所以A既是B的充分条件也是B的必要条件；对于C，因为灯亮必须S1和S2同时闭合，所以A是B的必要条件；对于D，灯一直亮，跟开关没有关系，所以A是B的既不充分也不必要条件.故选BC. 16.(15分)(开放题)已知集合A＝{x｜－2≤x≤6}，B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，m＞0.请在①充分条件，②必要条件，这两个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，若问题(2)中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. (1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B的　　　　条件，判断实数m是否存在？ 解：(1)若A∪B＝A，则B⊆A，则 解得0＜m≤3， 所以实数m的取值范围是(0，3] . (2)若选择条件①，即x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B， 所以解得m≥5， 所以实数m的取值范围是[5，＋∞). 若选择条件②，即x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A， 所以解得0＜m≤3. 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $