第一章 1.3 第2课时 全集与补集-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

第2课时　全集与补集 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.　2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.　3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算的核心素养. 任务一　全集与补集 U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}. 问题1.集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B. 问题2.集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中，但都不在A中. 学生用书⬇第11页 1.全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合. [微思考]　全集一定是实数集R吗？ 提示：不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2.补集 [微提醒]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同. (1)(链教材P10例7)设集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，则∁UA＝(　　) A.{0，2，3，4，5，6} B.{2，3，4，5，6} C.{0，1} D.∅ (2)已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，则∁UA＝(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5，6}，根据补集定义得∁UA＝.故选C. (2)因为U＝，A＝，所以∁UA＝∪.故选B. 求集合的补集的方法 对点练1.(1)已知集合U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}，∁UA＝{4，5，6}，则(　　) A.2∈A B.3∉A C.6∈A D.7∉A (2)设全集U＝，集合A＝，∁UA＝，则m＝(　　) A.3 B.－2 C.4 D.2 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}＝{2，3，4，5，6，7，8}，又∁UA＝{4，5，6}，所以A＝{2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6∉A，7∈A.故选A. (2) 已知A＝{2，m－1}，∁UA＝{4}，由补集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互异性知，m－1≠2，又全集U＝{1，2，m2}，因为∁UA＝{4}⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m－1∈U，则解得m＝2.故选D. 任务二　交集、并集、补集的综合运算 (链教材P10例8)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 解：因为A＝{x｜－2＜x＜3}， B＝{x｜－3≤x≤2}， U＝{x｜x≤4}， 如图所示. 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∩B＝{x｜－2＜x≤2}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 故(∁UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x｜2＜x＜3}， ∁U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 求集合交、并、补运算的方法 对点练2.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}. (1)求A∪B； (2)求∁UA，∁UB； (3)求(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B). 解：(1)U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}. (2)∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}. (3)(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，4，5，6，7，8}， 由A∩B＝{3}，得∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}. 学生用书⬇第12页 任务三　由补集的运算求参数的值(范围) 设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围. 解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得∁UA＝{x｜x＜－m}. 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅，如图所示， 所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞). 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞). [变式探究] 1.(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m＞－2，解得m＜2. 所以m的取值范围是(－∞，2). 2.(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是(－∞，－4]. 由集合的补集求解参数的方法 1.直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义直接求解. 2.数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解. 对点练3.设全集U＝R，集合A＝{x｜3－a＜x＜a}，B＝{x｜－2≤x≤6}. (1)当a＝4时，求(∁UA)∩B； (2)若A∩(∁UB)＝∅，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝4时，A＝， 所以∁UA＝∪， 所以(∁UA)∩B＝∪. (2)因为A∩(∁UB)＝∅，所以A⊆B. 当3－a≥a，即a≤时，A＝∅，此时A⊆B成立； 当a＞时，由A⊆B得：－2≤3－a＜a≤6， 所以＜a≤5. 综上，a的取值范围是{a｜a≤5}. [教材拓展1]　集合中的德摩根定律(源于教材P11：思考交流) 常用结论：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). (1)(多选题)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为(　　) A.2 B.6 C.8 D.12 (2)设U为全集，S1，S2是U的两个非空子集，且S1∪S2＝U，则下列结论正确的是(　　) A.S1∪S2＝∅ B.S1⊆(∁US2) C.(∁US1)∩(∁US2)＝∅ D.(∁US1)∩(∁US2)＝U 答案：(1)BC　(2)C 解析：(1)因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素， 设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x， 因为m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10.故选BC. (2)由题S1，S2不为空集，所以S1∪S2≠∅，故A错误；当S1⊆S2，S2＝U时，满足S1∪S2＝U，但∁US2＝∅，故B错误；因为S1∪S2＝U，所以∁US1∩∁US2＝∁U(S1∪S2)＝∁UU＝∅，故C正确，D错误.故选C. 任务 再现 1.全集和补集的概念及运算.2.并、交、补集的混合运算.3.与补集有关的参数的求解 方法 提炼 分类讨论、数形结合法 易错 警示 正难则反，求补集时易忽视全集，运算时易忽视端点的取舍 学生用书⬇第13页 1.已知集合U＝R，A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则∁UA等于(　　) A.{x｜x＜－1，或x＞2} B.{x｜x≤－1，或x≥2} C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－1≤x≤2} 答案：D 解析：由题意可得，∁UA＝.故选D. 2.设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，如图，阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x｜－1≤x≤4} B.{x｜－1≤x＜1} C.{x｜x≤1，或x＞2} D.{x｜－1≤x≤2} 答案：B 解析：由题意得，阴影部分可表示为∁U，因为M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，则M∪N＝{x｜x＜－1，或x≥1}，且U＝R，所以∁U＝{x｜－1≤x＜1}.故选B. 3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜－2＜x＜1}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由B＝{x｜－2＜x＜1}，得∁RB＝{x｜x≤－2，或x≥1}，而A＝{x｜x＜a}，A∪∁RB＝R，则a≥1，所以实数a的取值范围是.故选A. 4.(多选题)已知全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则{x｜x≤－2}＝(　　) A.M∩(∁UN) B.∁U(M∪N) C.(∁UM)∩N D.(∁UM)∩(∁UN) 答案：BD 解析：全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则∁UM＝{x｜x≤3}，∁UN＝{x｜x≤－2，或x≥4}，对于A，M∩(∁UN)＝{x｜x≥4}，故A错误；对于B，M∪N＝{x｜x＞－2}，∁U(M∪N)＝{x｜x≤－2}，故B正确；对于C，(∁UM)∩N＝{x｜－2＜x≤3}，故C错误；对于D，(∁UM)∩(∁UN)＝{x｜x≤－2}，故D正确.故选BD. 课时分层评价4　全集与补集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，则∁UA＝(　　) A.{x｜x≤－1，或x≥2} B.{x｜0＜x＜1，或x≥2} C.{x｜x＜－1，或x＞2} D.{x｜0＜x＜1，或x＞2} 答案：B 解析：因为U＝{x}，A＝{x}，所以∁UA＝{x｜0＜x＜1，或x≥2}.故选B. 2.已知集合U＝{2，4，6，8，10}，A＝{2，4}，B＝{4，6}，则∁U＝(　　) A.{4} B.{2，4} C.{8，10} D.{2，4，6} 答案：C 解析：由题意，得A∪B＝{2，4，6}，所以∁U＝{8，10}.故选C. 3.设集合A＝，B＝，A∪(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A.a＞2 B.a＜2 C.a≥2 D.a≤2 答案：C 解析：因为集合B＝{x｜x≥2}，可得∁RB＝{x｜x＜2}，又由集合A＝{x｜x≤a}，要使得A∪(∁RB)＝A，可得(∁RB)⊆A，则满足a≥2.故选C. 4.已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝(　　) A.{2，6，8} B.{4，6，8} C.{2，4，6，8} D.{1，2，4，6} 答案：C 解析：由A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，如右图所示，且U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则B＝∁U(A∩(∁UB))＝{2，4，6，8}.故选C. 5.(多选题)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x2－x＜6}，B＝{－2，0，1，3}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{－1，2} B.∁(A∪B)B C.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩(∁UB) 答案：ABC 解析：由图可知阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)B，A∩(∁UB)，故B，C正确，D错误；因为A＝{x∈Z｜x2－x＜6}＝{－1，0，1，2}，∁UB＝{－1，2，4}，所以A∩(∁UB)＝{－1，2}，故A正确.故选ABC. 6.(多选题)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　) A.(∁UB)∩(A∪C) B.∁U((A∩B)∪(B∩C)) C.A∪(C∩∁UB) D.(A∩∁UB)∪(C∩∁UB) 答案：AD 解析：对于A，(∁UB)∩(A∪C)即为题图中所示；对于B，∁U((A∩B)∪(B∩C))应为如图①； 对于C，A∪(C∩∁UB)应为如图②； 对于D，(A∩∁UB)∪(C∩∁UB)＝(∁UB)∩(A∪C)即为题图中所示.故选AD. 7.已知集合A＝{x}，B＝{x}，则A∩(∁RB)＝　　　　. 答案：{x｜－3≤x＜1} 解析：由B＝{x｜x≥1}，得∁RB＝{x｜x＜1}，而A＝{x｜－3≤x＜3}，所以A∩(∁RB)＝{x｜－3≤x＜1}. 8.(开放题)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪(∁UB)＝U，试写出一个符合要求的集合B＝　　　　　. 答案：{2}(答案不唯一) 解析：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪(∁UB)＝U，则{3，4，5}⊆∁UB⊆U，所以B＝{1}或{2}或{1，2}或∅(答案不唯一). 9.设U＝R，已知集合A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：由题设，可得∁UA＝{x｜x＜0}，因为(∁UA)∪B＝R，B＝{x｜x＞a}，所以a＜0. 10.(10分)已知集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜m＜x＜m＋9}. (1)若m＝－3，求A∪B，∁R； (2)若(∁UB)∩A＝∅，求实数m的取值范围. 解：(1)当m＝－3时，B＝{x｜－3＜x＜6}， 又A＝{x｜－2＜x＜3}， 所以A∪B＝{x｜－3＜x＜6}， A∩B＝{x｜－2＜x＜3}， 所以∁R＝{x，或x≥3}. (2)因为B＝{x｜m＜x＜m＋9}， 所以∁RB＝{x｜x≤m，或x≥m＋9}， 又A＝{x｜－2＜x＜3}，(∁UB)∩A＝∅， 所以解得－6≤m≤－2， 所以实数m的取值范围为[－6，－2]. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.设全集U＝，集合M，N满足M＝，(∁UM)∩N＝，则＝(　　) A.M∪(∁UN) B.(∁UM)∪(∁UN) C.M∩(∁UN) D.(∁UM)∩(∁UN) 答案：D 解析：U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，M＝，故∁UM＝{0，1，2，4，5，6}，又(∁UM)∩N＝，故4∈N，5∈N，0，1，2，6∉N，对于A，由题意得3，7∈M∪(∁UN)，故A错误；对于B，由于∁UM＝{0，1，2，4，5，6}，故4，5∈(∁UM)∪(∁UN)，B错误；对于C，由于0，1，2，6∉M，故0，1，2，6∉M∩(∁UN)，C错误；对于D，由于0，1，2，6∉N，故0，1，2，6∈∁UN，且4∉∁UN，5∉∁UN，又∁UM＝{0，1，2，4，5，6}，故(∁UM)∩(∁UN)＝.故选D. 12.(多选题)设全集U＝，集合A，B⊆U，若A∩B＝，A∩∁UB＝，∁UA∩∁UB＝，则(　　) A.A＝ B.B＝ C.B真子集的个数31 D.9∉ 答案：ACD 解析：由题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，作出Venn图，如图，由图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}，故A正确，B错误；所以集合B的真子集个数为25－1＝31个，故C正确；A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，故9∉(A∪B)，故D正确.故选ACD. 13.设全集U＝，A∩(∁UB)＝，B∩(∁UA)＝，(∁UA)∩(∁UB)＝，则集合B＝　　　　　. 答案： 解析：因为U＝，A∩(∁UB)＝，所以集合B中没有0，1，8，9，又B∩(∁UA)＝，所以集合B中有2，4，因为(∁UA)∩(∁UB)＝，说明集合B中没有5，7，10，所以3，6∈A∩B，综上，集合B＝{2，3，4，6}. 14.(10分)已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3]. (1)若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解：(1)集合A＝[0，2]， 则∁RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而B＝[a，a＋3]，且(∁RA)∪B＝R， 因此解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围是[－1，0]. (2)由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝∅，得a＋3＜0，或a＞2，解得a＜－3，或a＞2， 所以不存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅成立. 15.(5分)(新题型)(多选题)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是(　　) A.B⊆A B.C⊆A C.A∩(∁UB)＝A∩(∁UC) D.(∁UA)∩B＝(∁UA)∩C 答案：ABC 解析：当U＝，A＝，B＝，C＝时，满足A∪B＝A∪C，此时，B，C不是A的子集，所以A，B不一定成立；∁UB＝，∁UC＝∅，A∩(∁UB)＝，A∩(∁UC)＝∅，所以C不一定成立；对于D，若∀x∈(∁UA)∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈(∁UA)∩C，所以(∁UA)∩B⊆(∁UA)∩C，同理若∀x∈(∁UA)∩C，则x∈(∁UA)∩B，(∁UA)∩C⊆(∁UA)∩B，因此，(∁UA)∩B＝(∁UA)∩C成立，所以D成立.故选ABC. 16.(15分)(新定义)(1)对于数集A，B，定义A＋B＝，A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝，求集合(A＋A)÷A中所有元素之和. (2)设A，B是R上的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝ ①若A⊆B，则对任意x∈R，求m的值； ②若对任意x∈R，m＋n＝1，求A，B的关系. 解：(1)由A＋B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}及A＝，得A＋A＝{2，3，4}， 由A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}， 得(A＋A)÷A＝{1，，2，3，4}， 所以集合(A＋A)÷A中所有元素之和为1＋＋2＋3＋4＝. (2)①由A⊆B，得x∉A或x∈A， 当x∉A时，m＝0，m(1－n)＝0； 当x∈A时，必有x∈B，则m＝n＝1，m(1－n)＝0， 所以m(1－n)＝0. ②对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1， 则x∈A且x∉B，或x∈B且x∉A，于是A∪B＝R，且A∩B＝∅， 因此集合A，B的关系为A＝∁RB. 学科网（北京）股份有限公司 $