第一章 1.2 集合的基本关系-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，从具体实例引入子集、真子集、集合相等的概念，结合Venn图直观表示，系统梳理定义、符号及性质，延伸至子集个数计算（2ⁿ）和含参数问题的分类讨论，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过表格归纳子集个数规律培养数学抽象，用Venn图、数轴发展直观想象，例题变式覆盖数集、点集等情境，助力课中逻辑推理训练，课后分层练习可帮助学生巩固概念、查漏补缺。

1.2　集合的基本关系 学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等的概念.　2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象的核心素养.　3.掌握列举有限集的所有子集的方法. 任务一　集合的基本关系 问题1.观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}. 提示：(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A. 1.Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图. 2.子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子 集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或 集 合 相 等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B 真 子 集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 3.子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)规定：空集是任何集合的子集. [微提醒]　(1)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显.(2)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，且A≠B.(3)若出现A⊆B时，应讨论A＝∅和A≠∅两种情形.(4)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. (1)(多选题)下列表述正确的是(　　) A.{2，1，0}⊆{0，1，2} B.{(2，4)}＝{(4，2)} C.∅⊆{0，1，2} D.0⊆{0} 答案：AC 解析：对于A，因为任何集合是本身的子集，所以{2，1，0}⊆{0，1，2}，故A正确；对于B，{(2，4)}≠{(4，2)}，故B错误；对于C，因为∅是任何集合的子集，故C正确；对于D，因为元素与集合间的关系是“∈”与“∉”，故D错误.故选AC. (2)(链教材P7练习T2)判断下列各组中两个集合之间的关系： ①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； ②A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}； ③A＝(－1，4)，B＝{x｜x－5＜0}； ④M＝{x｜x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N＋}. 解：①集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. ③集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⫋B. ④由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N⫋M. 学生用书⬇第6页 判断集合基本关系的常用方法 对点练1.(1)能正确表示集合M＝{x∈R｜0≤x≤2}和集合N＝{x∈R｜x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) (2)(多选题)若集合A＝，集合B＝，则A，B的关系不成立的是(　　) A.A⊆B B.A＝B C.A⫋B D.B⫋A 答案：(1)B　(2)ABC 解析：(1)由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示. (2)由B＝{x｜x＝2(2n－1)＋1，n∈Z}，而A＝，所以B⫋A，故不成立的有A，B，C.故选ABC. 任务二　子集、真子集的个数 问题2.填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 {a，b} 2 {a，b，c} 3 {a，b，c，d} 4 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ (2)如果一个集合的元素的个数为n，你能用n表示出这个集合的子集、真子集的个数吗？ 提示： 集合 元素 个数 所有子集 子集 个数 {a} 1 ∅，{a} 2 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 (1)能.(2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1. 　　如果一个集合的元素的个数为n，那么这个集合的子集的个数为2n个；真子集的个数为2n－1个；非空子集的个数为2n－1个；非空真子集的个数为2n－2个. (链教材P7例4)已知集合A＝{x｜ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集. 解：依题意得4a－10＋6＝0，解得a＝1. 则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 所以A＝{2，3}. 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{2，3}，共4个.真子集有∅，{2}，{3}，共3个. 求有限集合的子集或真子集个数的思路 对点练2.已知集合A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集. 解：因为A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x∈N，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， 所以A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}， {(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}. 学生用书⬇第7页 任务三　由集合间的关系求参数(范围) 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3≤m≤4} 解析：因为A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围为{m｜3≤m≤4}. [变式探究] 1.(变条件)将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜m＜－5} 解析：①当B＝∅时，有m－6＞2m－1，则m＜－5，此时B⊆A成立；②当B≠∅时，B⊆A，此时满足不等式组的解集为∅.由①②可知，实数m的取值范围为{m｜m＜－5}. 2.(变条件)将“A＝{x｜－2≤x≤5}”改为“A＝{x｜－2＜x＜5}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3≤m≤4} 解析：因为A＝{x｜－2＜x＜5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4.所以实数m的取值范围为{m｜3≤m≤4}. 3.(变条件)将“B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}”改为“B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3＜m＜4} 解析：因为A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}，且A⊆B，所以解得3＜m＜4. 所以实数m的取值范围为{m｜3＜m＜4}. 由集合间的关系求参数的方法 1.当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论. 2.当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. [注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 对点练3.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 (2)(双空题)已知集合A＝{x｜－2＜x＜1}，集合B＝{x｜－m＜x＜m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是　　　　　；若B⊆A，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案：(1)B　(2)[2，＋∞)　 解析：(1)因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B. (2)由集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜－m＜x＜m}，若A⊆B，则满足解得m≥2，所以实数m的取值范围为[2，＋∞).若B⊆A，若B＝∅时，则满足－m≥m，即m≤0；若B≠∅时，则满足解得0＜m≤1，所以实数m的取值范围为. 任务 再现 1.子集、真子集、集合相等的概念.2.子集、真子集的个数 方法 提炼 1.集合间关系的判断：列举观察法、集合元素特征法、数形结合法.2.求给定集合的子集、真子集的个数：定义法、分类讨论思想.3.集合间关系的应用：分类讨论思想、数形结合法 易错 警示 1.忽略对集合是否为空集的讨论.2.求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误 1.(多选题)已知集合A＝{x｜－1－x＜0}，则下列各式正确的是(　　) A.0⊆A B.{0}∈A C.0∈A D.{0}⊆A 答案：CD 解析：集合A＝{x｜－1－x＜0}＝{x｜x＞－1}，所以0∈A，{0}⊆A，CD正确. 2.设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P 答案：B 解析：正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则Q⊆M⊆N⊆P.故选B. 3.集合M＝{x∈N｜0≤x＜3}的子集的个数是(　　) A.16 B.8 C.7 D.4 答案：B 解析：集合M＝{x∈N｜0≤x＜3}＝，集合M含有3个元素，所以集合M的子集个数是23＝8.故选B. 4.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}，且满足Q⊆P，则a可能取的一切值组成的集合为　　　　. 答案： 解析：因为P＝＝，Q＝，且Q⊆P.当a＝0时，Q＝∅⊆P，符合题意；当a≠0时，Q＝＝，因为Q⊆P，则－＝－3或－＝2，解得a＝或a＝－.综上所述，实数a的取值集合为. 课时分层评价2　集合的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{x｜x＋3＝3} B.{(x，y)｜y2＝－x2，x，y∈R} C.{x｜x2≤0} D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R} 答案：D 解析：因为x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，所以{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅.故选D. 2.下列各式中，正确的个数是(　　) ①∈；②⊆；③∅⊆；④＝{(0，1)}. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：对于①，两个数集不能用∈符号，应为⊆，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合是数集，有2个元素，集合{(0，1)}是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选B. 3.已知集合A＝{x∈Z｜0＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则(　　) A.A∈B B.A＝B C.A⫋B D.B⊆A 答案：C 解析：集合A＝{x∈Z｜0＜x＜5}＝，B＝，则A⫋B.故选C. 4.(多选题)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A.{1，8} B.{2，3} C.{1} D.{2} 答案：AC 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意.故选AC. 5.已知集合A＝，B＝，若A，B关系如图所示，则实数a 的取值范围是(　　) A.a≥2 B.a＜2 C.a≤2 D.a＞2 答案：D 解析：由集合A＝＝{1，2}，B＝，由给定A，B关系图，可得A⊆B，所以a＞2.故选D. 6.(多选题)已知集合M＝{x｜x＝m＋，m∈Z}，N＝{x｜x＝2n－，n∈Z}，P＝{x｜x＝，p∈Z}，则(　　) A.N⊆P B.P⊆M C.N⊆M D.M⊆N 答案：AC 解析：由题意得，集合M＝{x｜x＝，m∈Z}，P＝{x｜x＝，p∈Z}，N＝{x｜x＝＝，n∈Z}＝＝，所以N⫋M⫋P，结合选项，可得A，C正确，B，D错误.故选AC. 7.设x，y∈R，A＝{(x，y)｜y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是　　　　. 答案：B⫋A 解析：因为B＝＝{(x，y)｜y＝x，且x≠0}，故B⫋A. 8.(双空题)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}. (1)若A＝B，则y的值为　　　　； (2)若A⊆C，则实数a的取值范围为　　　　　　　. 答案：(1)1或3　(2){a｜3＜a＜5} 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x｜2＜x＜5}，A⊆C，所以所以3＜a＜5. 9.(开放题)已知集合A＝，B＝{x｜y＝＋}，若A⊆B，则实数a的值可以是　　　　.(写出一个满足条件的值即可) 答案：1(a≤0，或a＝1均可，答案不唯一) 解析：根据题意得B＝，因为A⊆B，若A＝∅，则a≤0，满足题意；若a＞0，则＝4，得a＝1，故实数a的值满足a≤0，或a＝1均可. 10.(10分)已知A＝{x｜1＜x＜5}，B＝{x｜a－1＜x＜a}，a∈R. (1)当x∈N时，写出集合A的所有子集，共有多少个？ (2)若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：(1)当x∈N时，A＝{2，3，4}， 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，所以共有8个子集. (2)因为B⊆A，且B不可能是空集，所以解得2≤a≤5， 所以实数a的取值范围为[2，5]. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)下列命题中，是真命题的有(　　) A.集合的所有真子集为， B.若＝(其中a，b∈R)，则a＋b＝3 C.{x｜x是等边三角形}⊆{x｜x是等腰三角形} D.{x｜x＝3k，k∈N}⊆{x｜x＝6z，z∈N} 答案：BC 解析：集合的真子集是∅，，共3个，所以A为假命题；由＝，知a＝2，b＝1，则a＋b＝3，则B为真命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；{x｜x＝6z＝3×2z，z∈N}，所以⊆，所以D为假命题.故选BC. 12.已知集合M＝，N＝，若M⊆A⊆N，则满足条件的集合A的个数为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 答案：A 解析：由M⊆A，所以集合A里的元素必须有1，2，3，又因为A⊆N，所以A＝，，，，共4个.故选A. 13. (多选题)已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，下列结论正确的是(　　) A.不存在实数a使得A＝B B.存在实数a使得A⊆B C.当0≤a≤4时，B⊆A D.存在实数a使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，故A正确；对于B，由A⊆B，得此不等式组无解，故B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合B⊆A，当a＜1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，故C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，故D正确.故选AD. 14.(10分)已知集合A＝{x｜1－a≤x≤1＋a}，B＝{x｜－4＜x＜2}. (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围. 解：(1)因为B⊆A，所以所以a≥5. 所以实数a的取值范围是[5，＋∞). (2)因为A⊆B， 若A＝∅，此时1－a＞1＋a，解得a＜0， 若A≠∅，此时解得0≤a＜1， 综上，实数a的取值范围是(－∞，1). 15.(5分)(新定义)已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为S. (1)若S＝3，则这样的集合A共有　　　个； (2)若S为偶数，则这样的集合A共有　　个. 答案：(1)2　(2)13 解析：(1)若S＝3，据“累积值”的定义，得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个.(2)因为集合M的子集共有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个. 16.(15分)(新角度)集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{－4，－1，1}. (1)若b＝4，存在集合M使得P⊆M⫋Q，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求实数b的取值或取值范围；若不能，请说明理由. 解：(1)若b＝4，则P＝{x｜x2－3x＋4＝0，x∈R}＝∅， 因为P⊆M⫋Q，所以M＝∅，，，，，，. (2)方程x2－3x＋b＝0的判别式为Δ＝(－3)2－4b＝9－4b， 当Δ＜0，即b＞时，P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}＝∅，此时显然P是Q的一个子集； 当Δ＝0，即b＝时， P＝＝， 此时显然P不是Q的一个子集； 当Δ＞0，即b＜时，要使P是Q的一个子集，－4，－1，1中必有两个元素是集合P中的元素，根据一元二次方程x2－3x＋b＝0根与系数的关系，这两个根之和为3，显然－4，－1，1中没有两个数的和为3，所以此时P不可能是Q的一个子集. 综上所述，P能成为Q的一个子集，此时实数b的取值范围为. 学生用书⬇第8页 学科网（北京）股份有限公司 $