6.5 相似三角形的性质（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 6.5 相似三角形的性质 第六章 图形的相似 章节导读 学 习 目 标 1 2 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方 了解相似多边形的性质定理 3 了解相似三角形对应线段的比与相似比之间的关系 旧知回顾 如图，△ABC∽△A'B'C′，你能得到什么结论？ C A' C' A B B' 解：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'， = = 。 新知探究 相似三角形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有什么性质？ 观 察 1. 如图，已知△ABC。 图中分别是边长为1、2、3的等边三角形： 图1与图2的相似比 = __________；图2与图3的相似比 = __________； 图1与图2的周长比 = __________；图2与图3的周长比 = __________。 3 1 2 图1 图2 图3 1：2 2：3 1：2 2：3 【猜想1】图中相似三角形周长的比等于相似比。 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k。 我们可以用如下方法证实 = k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B = ∠B'， = = = k， ∴AB = kA′B′，BC = kB′C′，CA = kC′A′， ∴ = = k，即 = k。 C A' C' A B B' 新知探究 观 察 2. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为，对应高的比 = __________。 【猜想2】图中相似三角形对应高的比等于相似比。 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B = ∠B'， = k， ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB = ∠A'D'B'， ∴△ABD∽△A'B'D'，∴ = = k。 C A' C' A B B' D D′ 新知探究 观 察 3. 图中分别是边长为1、2、3的等边三角形： 图1与图2的相似比 = __________；图2与图3的相似比 = __________； 图1与图2的面积比 = __________；图2与图3的面积比 = __________。 3 1 2 图1 图2 图3 1：2 2：3 1：4 4：9 【猜想3】图中相似三角形 面积的比等于相似比的平方。 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k。 我们可以用如下方法证实 = k2。 证明：如图， 作AD⊥BC交BC于点D，A′D′⊥B′C′交B′C′于点D′， ∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = k ( 前证 )， ∴ = · = k·k = k2，即 = k2。 C A' C' A B B' D D′ 新知探究 相似三角形的性质定理 ( 一 )： 相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形的性质定理 ( 一 )： 类似地，相似多边形周长的比等于相似比。 知识要点 新知探究 相似三角形的性质定理 ( 二 )： 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形的性质定理 ( 二 )： 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识要点 典例分析 解：如果把实际三角形地块记为△A'B'C′， 那么△ABC∽△A'B'C′，且相似比k = ， ∴ = ( 相似三角形周长的比等于相似比 )， = ( 相似三角形面积的比等于相似比的平方 )。 典例1 在比例尺为1：500的地图上，测得三角形地块ABC的周长为12cm， 面积为6cm2。求这个地块的实际周长和面积。 典例分析 ∴△A'B'C′的周长 = 12 × 500 = 6000 ( cm ) = 60m， △A'B'C′的面积 = 6 × 5002 = 1500000 ( cm2 ) = 150m2。 答：这个地块的实际周长为60m，面积为150m2。 典例1 在比例尺为1：500的地图上，测得三角形地块ABC的周长为12cm， 面积为6cm2。求这个地块的实际周长和面积。 新知探究 思 考 在探索“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的过程中，我们发现了“相似三角形对应高的比等于相似比”。类似地，相似三角形对应中线、对应角平分线等对应线段的比是否也等于相似比呢？ 新知探究 观 察 1. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为，对应中线的比 = __________。 【猜想1】图中相似三角形对应中线的比等于相似比。 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，D、D′分别为BC、B′C′的中点， 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B = ∠B'， = = k， ∵D、D′分别为BC、B′C′中点， ∴BD = BC，B′D′ = B′C′， ∴ = = = k = ， C A' C' A B B' D D′ 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，D、D′分别为BC、B′C′的中点， 求证： = k。 ∵∠B = ∠B'， = = k， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴ = = k。 C A' C' A B B' D D′ 新知探究 观 察 2. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为，对应角平分线的比 = __________。 【猜想2】图中相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的平分线，求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠BAC = ∠B'A'C'，∠B = ∠B'， = k， ∵AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的平分线， ∴∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'， ∴∠BAD = ∠B'A'D'， C A' C' A B B' D D′ 新知探究 如图，已知△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的平分线，求证： = k。 ∵∠B = ∠B'，∠BAD = ∠B'A'D'， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴ = = k。 C A' C' A B B' D D′ 新知探究 相似三角形的性质定理 ( 三 )： 相似三角形对应线段的比等于相似比。 对应线段包括：对应高、对应中线、对应角平分线。 知识要点 新知探究 知识要点 相似三角形 的性质定理 面积的比 等于相似比的平方 周长的比 等于相似比 对应线段的比 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 典例分析 解：∵DE // BC，∠AFB = 90°，∴AGD = 90°，即AG⊥DE。 ∴AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离。 ∵DE // BC，∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。 ∴△ADE∽△ABC，∴ = ，即 = 。 解得：AG = 7.5，AF = AG + 5 = 12.5， 即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5。 典例2 如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE // BC， DE交AF于点G。设DE = 6，BC = 10，GF = 5，求点A到DE、BC的距离。 题型探究 【例1】已知△ABC与△A'B'C'相似，相似比为2：3；△A'B'C'与△A''B''C''相似，相似比为5：4，那么△ABC与△A''B''C''的相似比为（　　） A．5：6 B．6：5 C．15：8 D．8：15 相似比的传递性 题型一 解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3 = 10：15， △A′B′C′与△A″B″C″的相似比为5：4 = 15：12， ∴△ABC与△A″B″C″相似比为10：12 = 5：6。 A 题型探究 【例2】如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD = ∠ABC，若AC = ，AD = 1，求DB的长。 相似三角形对应边有关的性质 题型二 解：∵∠ACD = ∠ABC，∠A = ∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴ = ， ∵AC = ，AD = 1， ∴ = ，解得：AB = 3， ∴DB = AB - AD = 3 - 1 = 2。 C A B D 题型探究 【例3】如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE = 1，AB = 4，则AD =（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 相似多边形对应边有关的性质 题型三 解：∵矩形ABCD∽矩形ADFE， ∴ = ， ∵AE = 1，AB = 4， ∴ = ，解得：AD = 2。 A D C B E A F 解：∵两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm， ∴两个相似三角形的周长的比为5：3， 设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm， 由题意可得：5x + 3x = 48，解得：x = 6， ∴3x = 18，即小三角形的周长为18cm。 题型探究 【例4】两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之和为48cm，那么小三角形的周长为（　　） A．12cm B．18cm C．24cm D．30cm 相似三角形的性质定理 题型四 B 解：∵△ABC∽△A'B'C'， AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高， AD = 2，A'D' = 3， ∴ = = ， ∴△ABC与△A'B'C'的面积的比 = ( )2 = 。 题型探究 【例5】如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD = 2，A'D' = 3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 相似三角形的性质定理 题型四 A C' A' B' D' A C B D 解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为， ∴△ABC与△DEF的相似比为 = ， ∴△ABC与△DEF的对应角平分线的比为。 题型探究 【例6】若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为________。 相似三角形的性质定理 题型四 题型探究 【例7】若两个相似多边形的面积之比为1：4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是__________。 相似多边形的性质定理 题型五 6， 12 解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4， ∴两个相似多边形的周长之比为1：2， 设两个多边形的周长分别为x，x + 6， 则x + 6 = 2x，解得：x = 6， ∴这两个相似多边形的周长分别是6，12。 课堂小结 相似多边形的性质定理 面积的比 等于相似比的平方 周长的比 等于相似比 相似三角形 的性质定理 面积的比 等于相似比的平方 周长的比 等于相似比 对应线段的比 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 感谢聆听! $