4.4探索三角形相似的条件（第2课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过温故知新环节，引导学生回忆相似定义、已学判定及全等SAS定理，类比猜想新知，搭建前后知识衔接的学习支架。 以探究式教学为特色，学生动手画图测量验证定理，结合反例辨析（如“两边成比例且非夹角相等”的错误案例）培养推理意识，例题与中考真题联系生活情境与考点，发展几何直观与应用意识，助力学生深化理解，提升教师教学效率。

4.4 探索三角形相似的条件（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.4 探索三角形相似的条件（2），内容包括：理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，能够运用该定理判断两个三角形是否相似，并解决相关的几何问题. 2.内容解析 本节课教材以学生认知规律为出发点，通过“具体实例感知 — 关键条件辨析 — 分层应用巩固”的设计，既清晰呈现“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的定理内容，又注重知识的衔接与思维的进阶，既落实基础知识与基本技能，又渗透核心数学思想，为学生后续深入学习相似图形及综合几何问题提供了扎实的知识与能力支撑。此前学生已学习三角形相似的定义、“平行线分线段成比例”相关推论，以及“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，本节课的“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是对相似判定方法的重要补充，既与三角形全等判定中的“边角边（SAS）”定理形成类比，又为后续学习“三边成比例的两个三角形相似”及复杂图形的相似证明奠定基础，是衔接“基础判定”与“综合应用”的关键环节. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，能够正确运用该定理进行三角形相似的证明和计算. 1.教学目标 （1）理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. （2）能够运用该定理判断两个三角形是否相似，并解决相关的几何问题. （3）在探究判定定理，解决实际问题的过程中，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学探究能力和逻辑推理能力，提高应用数学的意识. 2.目标解析 （1）学生要掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，能准确表述定理内容，区分“两边成比例且夹角相等”与“两边成比例且非夹角相等”的差异，明确后者不能判定三角形相似； （2）学生会运用该判定定理证明两个三角形相似，并能解决与相似相关的计算，提升逻辑推理与几何运算能力。经历分析“想一想”中的反例的过程，培养举反例验证猜想、辨析定理适用条件的批判性思维能力； （3）学生在经历“观察例题→猜想定理→反例验证→应用定理”的过程的同时，渗透类比思想和数形结合思想；并在解决综合问题时，体会转化思想. 九年级学生在学习本节课前，已掌握三角形相似的定义、“平行线分线段成比例”及推论，且学过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，同时对三角形全等的“边角边（SAS）”判定有深刻认知——这是本节课类比学习“两边成比例且夹角相等”判定定理的重要基础. 1. 学生对关键条件的严谨性把握不足，容易忽略定理中“夹角”的必要性，可能误将“两边成比例且非夹角相等”当作相似判定依据。比如文档“想一想”中，学生可能难以快速发现“非夹角相等的两个三角形不相似； 2. 综合应用能力欠缺，面对需要主动分析“对应边、对应角”的问题时，容易出现对应关系混淆或条件遗漏的情况. 3. 最后，部分学生在处理比例关系时计算能力较弱，需进一步巩固。教学中应注重通过典型例题辨析、变式训练和合作探究，帮助学生建立定理的结构化理解，发展几何直观和推理能力. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在复杂图形中识别并应用“两边成比例且夹角相等”的条件；区分该定理与其它相似判定定理的适用情境，避免混淆理解“夹角”的必要性. 1.温故知新 本节课将学习探索三角形相似的条件（2），先回答以下问题： (1) 你还记得三角形相似的定义吗？ 答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形. (2) 我们已经学过了哪种三角形相似的判定定理？ 答：两角分别相等的两个三角形相似. (3) 三角形全等的“边角边（SAS）”判定定理具体内容是什么？ 答：两边及其夹角相等的两个三角形全等. 通过以上问题，猜测一下：类比三角形全等“边角边”的判断定理，还有什么条件能判断两个三角形相似？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 学校教学楼的西侧有几扇造型特别的三角形窗户，总务处想让咱们班帮忙制作一批缩小版的模型用于校园文化展示。已知原三角形窗户的其中两条邻边长度分别是 40cm 和 30cm，这两条边的夹角（也就是窗框的一个内角）是 60°；现在要求模型与原窗户的相似比是 1:10，所以大家需要先确定模型三角形的对应边长 —— 按照比例，模型的两条邻边应该是 4cm 和 3cm。 不过在制作过程中有两个疑问：第一，我们画的模型三角形，两条邻边确实是 4cm 和 3cm，夹角也和原窗户一样是 60°，这样能保证我的模型三角形和原窗户三角形相似吗？第二，如果有同学不小心把夹角画成了 50°，但两条边还是 4cm 和 3cm，这时候模型和原窗户的三角形还能相似吗？ (设计意图：用实际生活中的问题来引入本节课的教学内容，体现本节数学内容的实用性，也为本节课的内容作了良好的铺垫，同时发学习兴趣与探究欲.) 探究点1　“两边成比例且夹角相等”的三角形相似性探究 问题展示：上节课我们学了‘两角相等的两个三角形相似’，那如果两个三角形只有两边成比例，它们一定相似吗？ 例：△ABC中AB=2cm，AC=3cm；△DEF中DE=4cm，DF=6cm，但∠A=60°，∠D=120°，这两个三角形相似吗？由此可以得出两边成比例的两个三角形一定相似吗？ 答：这两个三角形不相似，由此可以得出两边成比例的两个三角形不一定相似. 我们已经知道“仅两边成比例，两个三角形不一定相似”。若增加一组角相等的条件，结合边与角的位置关系，会有哪两类可能？今天我们先聚焦第一种情况——两边成比例且夹角相等时，两个三角形是否相似. 活动：验证两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 1.工具：直尺、圆规、量角器 2.  ① 画∠A=∠A'=60°（教师统一要求）；  ② 在∠A的两边上取AB=4cm，AC=6cm；在∠A'的两边上取A'B'=2cm（AB的），A'C'=3cm（AC的）；  ③ 连接BC、B'C'，得到△ABC和△A'B'C'； ④ 测量∠B与∠B'的度数、BC与B'C'的长度，记录数据. 3. 改变比例k：如k=3（AB=6cm，AC=9cm；A'B'=2cm，A'C'=3cm），重复上述步骤； 4. 改变夹角大小：如∠A=∠A'=90°，重复实验. 5.知识小结 教师引导学生总结：“当两个三角形有两边成比例（==k）且夹角相等（∠A=∠A'）时，对应角相等（∠B=∠B'，∠C=∠C'），对应边成比例（=k），因此这两个三角形相似. 6. 即时训练 1. 在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1． 求证：△ABC∽△EDC． 解：已知，，则； 已知，（在上），故 是的公共角（即），满足“夹角相等”的条件 △ABC中，的两边为、； △EDC中，的两边为、 因此，（两边对应成比例） 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 可得： （设计意图：本探究环节是从直观到抽象，从感性到理性，通过“操作—思考—归纳—证明”的流程，让学生主动建构“两边成比例且夹角相等的三角形相似”的判定定理） （教学建议：教学中，教师需关注学生的参与度、思维深度和生成性问题，通过规范指导、合作交流和分层设计，实现“知识目标”与“素养目标”的统一） 探究点2　三角形相似的实验验证与定理巩固 问题展示：我们已掌握‘两边成比例且夹角相等的两个三角形相似’。若把‘夹角’换成‘其中一边所对的角’，即满足“两边成比例，且其中一边所对的角相等”，两个三角形一定相似吗？ 1. 小明画的三角形两边长分别为、，其中长度为的边所对的角为； 小颖画的三角形两边长分别为、，其中长度为的边所对的角为，计算这两个三角形两边的比例，比例分别是多少？ 计算比例：，；因此两个三角形两边成比例 2. 这两个三角形相似吗？为什么？ 答：它们的形状明显不同，因此不相似. 3. 根据上面的探索结果，你能得出什么结论？ 答：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似. 4. 知识小结 只有 “两边成比例且夹角相等” 才能判定相似，“非夹角相等” 不能作为相似的判定依据。因此，只有 “两边成比例且夹角相等” 才能判定相似，“非夹角相等” 不能作为相似的判定依据 5.即时训练 小明试图证明△ABC∽△DEF，给出以下步骤： “∵ AB=4cm，AC=6cm，DE=2cm，DF=3cm，∴； 又∵ ∠B=∠E=50°，∴△ABC∽△DEF（两边成比例且角相等）。” （1）小明的证明是否正确？若不正确，指出错误之处； （2）请你补充一个条件，使△ABC∽△DEF（写出一种即可） 解：（1）不正确。错误在于：∠B是AC的对角，∠E是DF的对角，“两边成比例且对角相等”不能判定相似（SSA不成立） （2）补充条件：∠A=∠D（夹角相等） （设计意图：通过合作画图、数据对比的活动，让学生参与定理生成的过程，避免被动接受，激发对几何探究的兴趣；同时两人分工的任务设计，培养学生的团队合作意识.） （教学建议：提前规定“合作角色”（如“画图者”“测量者”“记录者”），避免有的学生“只看不动”；例如：“画图者负责画△ABC，测量者负责测量△A'B'C'的边长，记录者负责填写表格.） 例题导析 例1 如图，、分别是的边、上的点，已知，，，且，求的长。 【分析】本题核心是利用 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判断三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，建立比例式求解DE的长度。 【解答】解： ，， 。 ， 。 又（公共角） （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 。 ， 【点评】本题是两边成比例且夹角相等的三角形相似判定定理的经典应用，核心思路是“判定相似→利用相似性质求边长”.解题亮点在于精准识别 “公共夹角”，结合边的比例关系，快速证明三角形相似. （设计意图：已知边的比例、公共角→判定三角形相似→利用相似性质求未知边长为核心流程，完整呈现了两边成比例且夹角相等的两个三角形相似定理的应用闭环.） （教学建议：教学时避免直接讲解解题步骤，可按 “条件分析→相似判定→性质应用” 分步提问，让学生同步“说依据”） 1. 能判定的条件是（ D ） A． B． C． D． 2. 如图，△ABC中，，，，△DEF中，，，，则△ABC与△DEF的相似比为（ B ） A. 1:2 B. 2:1 C. 3:1 D. 1:3 3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（ A ） A． B． C． D． 4．若△ABC∽△DEF，且，，则的长为（ A ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 5. 下列各组三角形中，不一定相似的是（ D ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形（两边成比例，夹角90°） C. 两个等腰三角形，腰长比为2:1，顶角均为30° D. 两个等腰三角形，腰长比为2:1，底角均为30° 6.△ABC与△DEF，，，，，补充条件，可使△ABC∽△DEF（填一个即可） 7. 8.如图、已知，，，，，．则CE=15. 9. 如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． （1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：直接用“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似 1. （2023·年河南郑州模拟）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE，AB = 6，AD = 4，AC = 9，AE = 6。判断△ABC与△ADE是否相似，并说明理由。 【分析】确定相等夹角：∠BAC与∠DAE是两个三角形的公共夹角（或对应角）；△ABC中夹∠BAC的边为AB、AC，△ADE中夹∠DAE的边为AD、AE；验证AB/AD与AC/AE是否相等，若相等则满足SAS相似. 【解答】已知∠BAC=∠DAE（夹角相等）； 计算夹边比例： ， ； 根据相似三角形的SAS判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得△ABC∽△ADE 【点评】本题是SAS相似的典型例题，强调“夹角”与“对应边比例”的结合，解题时需严格遵循定理条件，避免主观臆断 2. 如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题是SAS相似的典型例题，解题时要注意对应边成比例，不可找错了对应边. 3. （2024·江苏扬州期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【解答】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 【点评】本题将“SAS”判断三角形相似的知识点与正方形结合，在解题时要注意利用好正方形的相关知识点. 4.（2024·湖南衡阳期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【点评】利用“两边对应成比例以及夹角相等”，在找到对应线段之后，可快速证明此题. 题型二： 用 “两边成比例且夹角相等” 证相似后求线段长度 5. (2023·广东深圳模拟）) 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，，。求的长。 【分析】点在上，点在上，故（公共角）；给出，即夹公共角的两边对应成比例；需求的与已知的是相似三角形的对应边（若相似成立）。 【解答】已知在中，点在上，点在上： ，，故； （公共角）。 根据相似三角形的SAS判定定理，可得。 由于，相似比为。 根据相似三角形对应边成比例的性质，有： 代入，得： 【点评】本题是相似三角形基本应用的典型题型，体现了“线段成比例”与“三角形相似”的转化关系，是中考、模考中的高频考点。解题时需严格遵循定理条件，确保逻辑严密。 6. (2022·江苏苏州模拟) 如图，∠1=∠2，，，，。求的长 【分析】利用平行线的性质找出相等的对应角，从而得出相似的三角形 【解答】 ，设，，则。 相似比为。 利用相似性质求： 对应边成比例，代入得，解得。 【点评】本题考查相似三角形的基础应用，且本题还可通过“平行线分线段成比例定理”直接求解 得，即，解得，故 7. （2023·四川成都模拟）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB = ∠COD，AO = 4，CO = 6，BO = 3，DO = 4.5，AB = 5。求CD的长。 【分析】两个三角形有公共顶点O，且∠AOB=∠COD（相等夹角）；夹相等角的两边分别为△AOB中的AO、BO和△COD中的CO、DO，需验证其比例是否相等；若相似成立，AB与CD为对应边（均为第三边），其比值等于相似. 【解答】已知：∠AOB=∠COD（相等夹角）；   因此，（夹相等角的两边对应成比例）。 根据相似三角形的SAS判定定理可得： 相似三角形的对应边成比例，即： 代入AB=5，得： 【分析】本题是SAS相似判定的经典例题，强调“夹角”与“夹边比例”的结合，体现了相似三角形在求未知线段长度中的应用。解题时需严格遵循“判定相似→确定相似比→求对应边”的逻辑，确保每一步都有定理支撑 8．（2023·浙江杭州模拟）如图，点P在△ABC的边AB上，，∠ACP=∠B，AC=10。求AB的长。 【分析】通过两个角相等（AA判定）证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程，求解未知线段AB的长度． 【解答】在△ACP和△ABC中：∠PAC=∠CAB（公共角）；∠ACP=∠B（已知）。 根据相似三角形的AA判定定理，可得： AC对应AB（△ACP的边AC对应△ABC的边AB）； AP对应AC（△ACP的边AP对应△ABC的边AC）。 因此，比例式为： 交叉相乘得： 设AB的长为，则AP= AB= x（由AP/AB=2/5）。 代入AC=10，得： 化简得： 【点评】本题是AA相似判定的典型案例，强调“角的组合”与“代数方程”的结合，体现了相似三角形在求未知线段长度中的重要作用。解题时需严格遵循“找角→证相似→列比例→解方程”的逻辑，确保每一步都有定理支撑. 题型三 “两边成比例 + 非夹角相等” 的相似辨析题 9．（2023·山东济南模拟）下列条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（ C ） A. ，∠B=∠E B. ，∠A=∠D C. ，∠A=∠D D. ，∠C=∠F 【分析】相似三角形的判定需严格遵循定理条件，关键在于对应边的比例关系与对应角的相等关系是否匹配。本题需逐一验证选项是否符合判定定理，重点关注“夹边”与“夹角”的对应性 【解答】选项A：（边对应成比例），∠B=∠E（角相等）。 分析：AB与AC的夹角是∠A，DE与DF的夹角是∠D，而选项中给出的是∠B=∠E（非夹角），不符合SAS判定定理（需夹边的夹角相等），不能判定相似。 选项B：（边对应成比例），∠A=∠D（角相等）。 分析：AB与BC的夹角是∠B，DE与EF的夹角是∠E，选项中给出的是∠A=∠D（非夹角），不符合SAS判定定理，不能判定相似。 选项C：（边对应成比例），∠A=∠D（角相等）。 分析：AB与AC的夹角是∠A，DE与DF的夹角是∠D（对应顶点的夹角），且∠A=∠D（夹角相等），完全符合SAS判定定理（两边对应成比例且夹角相等），能判定相似。 选项D：（边对应成比例），∠C=∠F（角相等）。 分析：AB与BC的夹角是∠B，DE与EF的夹角是∠E，选项中给出的是∠C=∠F（非夹角），不符合SAS判定定理，不能判定相似。 【点评】本题是相似三角形判定的基础题型，强调对定理条件的精准理解，避免“想当然”的主观判断。解题时需“逐点核对”定理条件，确保每一步都有严格的逻辑支撑 10.（2023·浙江宁波中考）已知△ABC和△A'B'C'中，，∠B = ∠B'，则△ABC与△A'B'C'的关系是（ C ） A.一定相似 B.一定不相似 C.可能相似 D.无法确定 【分析】本题考查三角形两边对应成比例且夹角相等的两个三角形全等． 【解答】题中的∠B和∠B`不是夹角，不能作为判断两三角形相似的依据，但相似也是有可能的，A和B都太过于角度． 【分析】本题考查学生对于夹角和非夹角的在判定定理中的理解. 11. （2023·湖北襄阳模拟）判断下列说法是否正确:“在△MNP和△M′N′P′中, 若, 且∠N = ∠N′, 则△MNP～△M′N′P′”, 并说明理由。 【分析】要判断“在△MNP和△M′N′P′中，若且∠N=∠N′，则△MNP～△M′N′P′”是否正确，需严格依据相似三角形判定定理，并验证“对应边比例”与“对应角相等”的匹配性。 明 【解答】说法错误。 理由： 相似三角形的判定需满足对应边成比例且夹角相等（SAS）、两角分别相等（AA）或三边对应成比例（SSS）。题目中： 比例边MN/M′N′与MP/M′P′的夹角是∠M（△MNP）和∠M′（△M′N′P′），而非题目中相等的∠N=∠N′；因此存在反例，满足题目条件但不相似 【点评】判定相似时，需明确“对应边”与“对应角”的匹配性． 题型四 相似中的动点问题 12.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？ 【分析】本题考查直角三角形相似的判定（直角边对应成比例）。由于△AOB和△POQ均为直角三角形（∠AOB=∠POQ=90°），因此相似的条件为直角边对应成比例。需考虑两种对应方式 【解答】点P移动秒后，OP = （cm）； 点Q移动秒后，BQ = （cm），因此OQ = OB - BQ = （cm）。 由于△AOB和△POQ均为直角三角形（∠AOB=∠POQ=90°），相似需满足直角边对应成比例，分两种情况： 情况1：△POQ∽△AOB 对应边：OP→OA，OQ→OB，比例为： 代入数值： 解方程： 验证：在0≤t≤6范围内，有效。 情况2：△POQ∽△BOA 对应边：OP→OB，OQ→OA，比例为： 代入数值： 解方程： 验证：在0≤t≤6范围内，有效。 结论 当秒或秒时，△POQ与△AOB相似。 【点评】本题是运动型相似问题的典型案例，强调“动态线段表示”与“对应关系分析”的重要性。解题时需严格遵循相似判定条件，结合运动规律列方程，确保逻辑严密 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 相似三角形的判定定理2： （1）文字描述：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （2）符号语言：若，且，则。 设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.6 第4题. 4.4探究三角形相似的条件（第二课时） 1.相似定义：对应角相等，对应边成比例 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.两边成比例且非夹角相等，两个三角形不一定相似 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $