4.4探索三角形相似的条件(2)　导学案　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件(2) 【新知探究】 ★知识点一：相似三角形的判定定理 1. 相等的两个三角形相似. 2.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 符号语言： 例1.如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 变式训练一： 1.．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，＝，可得出△ABC　 　△A1B1C1，理由是　 　． 2.如图，已知． （1）添加条件　 　（答案不唯一，写出一个即可），使得△ABC∽△ADE； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 例2.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是两条高，求证：△ADE∽△ABC． 变式训练二： 3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形. （1） 求证：△ACF∽△GCA； （2） 求∠1+∠2的度数. 【典例精析】 ★题型一：旋转型（∠1=∠2) 例3.如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE. ★题型二：子母型(∠ACD=∠B) 例4.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD， CE是两条高，求证：△ADE∽△ABC． ★题型三：双垂直相似 例5.已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证： （1）AQ⊥QP； （2）△ADQ∽△AQP． 例6.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 【挑战自我】 1.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ） A． B.C． D. （1题图 ） （2题图） 2.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A．B．C． D． 3.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=9，CD=1，BD=6，点E在BD上移动，当E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE= . 4.如图，正方形ABC的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当MC= 时，△ADE与△MNC相似． (3题图) (4题图) 5.如图，在等边△CDE中，A、B分别是ED、DE延长线上的点，且DE2＝AD•EB，求∠ACB的度数． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB. 7.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，AC ＝6cm，在线段BC上，动点P以2cm/s的速度从点B 向点C匀速运动；同时在线段CA上，点Q以acm/s 的速度从点C向点A匀速运动，当点P到达点C（或 点Q到达点A）时，两点运动停止，在运动过程中． （1）当点P运动s时，△CPQ与△ABC第一次相似，求点Q的速度a； （2）当△CPQ与△ABC第二次相似时，求点P总共运 动了多少秒？ 学科网（北京）股份有限公司 $$