专题02 整式的乘法与因式分解14大压轴（专项训练）数学人教版五四制八年级上册

专题02 整式的乘法与因式分解14大压轴 01 压轴导图 目录 【压轴题型】 1 压轴题型一　逆用幂的相关公式求值 1 压轴题型二　先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 4 压轴题型三　利用幂的运算比较大小 7 压轴题型四　与幂的运算有关的新定义型问题 9 压轴题型五　平方差公式中连续相乘应用 12 压轴题型六　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 16 压轴题型七　多项式乘法中的规律性问题 21 压轴题型八　平方差公式在几何图形中的应用 25 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 30 压轴题型十　利用完全平方式求代数式的最值问题 35 压轴题型十一　整式的运算中的新定义型问题 40 压轴题型十二　利用十字相乘法因式分解 46 压轴题型十三　分组分解法因式分解 52 压轴题型十四　因式分解的应用 55 【压轴题型】02 压轴题型 压轴题型一　逆用幂的相关公式求值 例题：（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 压轴题型二　先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东济宁·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 压轴题型三　利用幂的运算比较大小 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 2．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 压轴题型四　与幂的运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 巩固训练 1．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 2．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   压轴题型五　平方差公式中连续相乘应用 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 压轴题型六　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 压轴题型七　多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 压轴题型八　平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 压轴题型十　利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 压轴题型十一　整式的运算中的新定义型问题 例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 压轴题型十二　利用十字相乘法因式分解 例题：（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 巩固训练 1．十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 2．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 压轴题型十三　分组分解法因式分解 例题：阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)已知，求的值． 巩固训练 1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务. 数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：. 此种因式分解的方法叫做“分组分解法”. 任务： (1)因式分解： (2)已知，，求的值. 2．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 压轴题型十四　因式分解的应用 例题：（2024上·河南商丘·八年级统考期末）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）当，．且时，的值（   ） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合实践课上老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， ∵当时，， ∴当时，， 则，解得■． 这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法． (1)数学思考：例题中“■”处的值为________； (2)方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值； (3)深入探究：已知关于的多项式分解因式得． ①求、的值； ②________． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，， 则， ， 解得， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (2)若二次三项式可分解为，求的值； (3)若二次三项式可分解为，求的值． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：． 解：． (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请比较A、B的大小关系并说明理由； (3)如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法与因式分解14大压轴 01 压轴导图 目录 【压轴题型】 1 压轴题型一　逆用幂的相关公式求值 1 压轴题型二　先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 4 压轴题型三　利用幂的运算比较大小 7 压轴题型四　与幂的运算有关的新定义型问题 9 压轴题型五　平方差公式中连续相乘应用 12 压轴题型六　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 16 压轴题型七　多项式乘法中的规律性问题 21 压轴题型八　平方差公式在几何图形中的应用 25 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 30 压轴题型十　利用完全平方式求代数式的最值问题 35 压轴题型十一　整式的运算中的新定义型问题 40 压轴题型十二　利用十字相乘法因式分解 46 压轴题型十三　分组分解法因式分解 52 压轴题型十四　因式分解的应用 55 【压轴题型】02 压轴题型 压轴题型一　逆用幂的相关公式求值 例题：（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键． ①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解； 【详解】解：① =， 当时，原式=； ② = = =， 当，时，原式=， ∵为偶数， ∴原式=1． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 压轴题型二　先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东济宁·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运，掌握运算法则是解本题的关键； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）由可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 压轴题型三　利用幂的运算比较大小 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得，结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方运算、积的乘方运算、有理数大小比较 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 压轴题型四　与幂的运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 巩固训练 1．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：   ； 故答案为16； （2）解：由题意得：   ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键． 压轴题型五　平方差公式中连续相乘应用 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 先对原式进行变形，然后利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 压轴题型六　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 【答案】(1) (2)影A的周长为，阴影B的周长为，说明见解析 (3)阴影A的面积阴影B的面积 【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数式即可； （2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与的取值无关； （3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知： 阴影A的长为：，宽为：， ∴阴影A的周长为：， 阴影B的长为：，宽为：， ∴阴影B的周长为：， ∴阴影与阴影的周长差， ∴阴影与阴影的周长差与的取值无关； （3）解：阴影A的面积为：， 阴影B的面积为：， ∴ 把代入得：， ∴阴影A的面积阴影B的面积． 【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m； （2）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x无关可得． 【详解】（1）解： ， 其值与x的取值无关， ， 解得：， 答：当时，多项式的值与x的取值无关； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， ． 压轴题型七　多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）①根据（1）中发现的规律即可解决问题．②根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，能根据题意得出为正整数）是解题的关键． 【详解】（1）解：因为； ； ； ， 所以． 故答案为：． （2）①由（1）中结论可知， ， 所以， 则， 所以， 则． ②由（1）中结论可知， ， 所以． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 压轴题型八　平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 压轴题型九　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 压轴题型十　利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 压轴题型十一　整式的运算中的新定义型问题 例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可； （2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次项系数为． （2）解：由题意，得二次项系数为： ， 解得， 即a的值为2． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴和谐值为； （2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．． （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （4）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）29是“完美数”，即 故答案为：； （2）解：， ，， ， 故答案为：； （3）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， （4）， ， ， ， ， ， 的最大值． 压轴题型十二　利用十字相乘法因式分解 例题：（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 巩固训练 1．十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用： （1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式； （3），从而运用十字相乘法可分解因式； （4），从而运用十字相乘法可分解因式； （5），从而运用十字相乘法可分解因式； （6），从而运用十字相乘法可分解因式； （7），从而运用十字相乘法可分解因式； （8），从而运用十字相乘法可分解因式； （9），从而运用十字相乘法可分解因式； （10），从而运用十字相乘法可分解因式； （11），从而运用十字相乘法可分解因式； （12），从而运用十字相乘法可分解因式 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） （8） ； （9） ； （10） ； （11） （12） ． 2．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：    ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 压轴题型十三　分组分解法因式分解 例题：阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的新方法，及其应用． (1)根据方法，适当分组分解即可． (2)先因式分解，后代入求值即可． 【详解】（1） ． （2） ， 又， 故原式． 巩固训练 1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务. 数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：. 此种因式分解的方法叫做“分组分解法”. 任务： (1)因式分解： (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2)，8 【分析】本题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键． （1）仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解； （2）先利用“分组分解法”进行因式分解，再将，作为整体代入求值． 【详解】（1）解：， ． （2）解： . 将，代入，得： 原式． 2．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分解因式分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三项提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解； （2）先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 压轴题型十四　因式分解的应用 例题：（2024上·河南商丘·八年级统考期末）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； （3）整理后，利用“”分组，再利用完全平方公式分解得到，根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， ， ． ， ， ， 这个三角形是等边三角形． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解：，   的值总可以被11整除，即， 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）当，．且时，的值（   ） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，将因式分解为，判断即可得解． 【详解】解：， ∵，．且， ∴，即，总是为正 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，把进行因式分解，再根据产生密码的方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴产生的密码可以为：，，， 故选A． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式， ． （2）解：设， 原式 ， ； （3）证明：原式 设， 原式， ．     为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合实践课上老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， ∵当时，， ∴当时，， 则，解得■． 这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法． (1)数学思考：例题中“■”处的值为________； (2)方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值； (3)深入探究：已知关于的多项式分解因式得． ①求、的值； ②________． 【答案】(1)24 (2) (3)①；② 【知识点】因式分解的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）解方程可得出m的值； （2）依照示例即可求出n的值； （3）①由题意得，令，则，即；令，则，即，解方程组解求解； ②则由题意得，设，则得到，化简得到，使得等式恒成立，则，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：24； （2）解：设， 令，则有：， 解得，； （3）解：①由题意得， 令，则，即； 令，则，即， ∴， 解得：； ②此时关于的多项式为， 则由题意得：， 设， ∴， ， ∴， 解得：， 经检验，符合题意， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，， 则， ， 解得， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (2)若二次三项式可分解为，求的值； (3)若二次三项式可分解为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的意义． （1）设另一个因式为，得，可知，，继而求出t和k的值及另一个因式． （2）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （3）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， ， ， 解得， 另一个因式为，的值为； （2）解：， ∴， 解得； （3）解： ． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：． 解：． (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请比较A、B的大小关系并说明理由； (3)如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，过程见解析 (2)，理由见解析 (3)①，；②当时，面积的最大值为4 【知识点】列代数式、整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】（1）仿照题干根据平方差公式求解； （2）①先表示，再由三角形面积公式列代数式，由三角形边长为正求t的取值范围； ②利用配方法结合完全平方式的非负性求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴，即； （3）解：①由题意得，， ∴的面积， 由得， ②∵， ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法的应用，因式分解，完全平方式的非负性，列代数式，整式的加减，熟练掌握知识点是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $