精品解析：江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

南昌中学2025-2026学年度上学期10月考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设直线方程为，代入原点即可. 【详解】设与垂直于直线的直线方程为， 若直线过原点，则， 所以所求直线方程为. 故选：B. 3. 已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 4. 已知表示圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 5. 若过点可作圆的切线有两条，则有（ ） A. B. 或 C. D. 上述均不对 【答案】D 【解析】 【分析】 由圆的标准方程知，又点应在已知圆的外部，得到 求解即可. 【详解】由， 得， 解得：， 又点应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得： ， 解得：或， 则实数的取值范围是：. 故选：D. 【点睛】关键点睛：圆的标准方程知，利用点应在已知圆的外部，得到把点坐标代入圆的标准方程其值大于. 6. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式表达出的面积，并利用基本不等式求出面积的最大值为，此时圆心到直线的距离为，从而得到方程，求出的值. 【详解】的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离， 故， 则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得. 故选：A 8. 已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解． 【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点， 圆的圆心，则， 若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r， 根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长， 在中，，当时，为等边三角形，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足， 即，解得， 综上所述，． 故选：C． 9. 已知，，，且四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量 C. 边的垂直平分线与直线交于点 D. 四边形的面积为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由求出的坐标，进而求出直线方程判断A；由方向向量和斜率的关系判断B；求出边的垂直平分线方程，再解方程组判断C；求出平行四边形的面积判断D. 【详解】对于A，设，在中，，则， 解得，即，直线的方程为，即，A正确； 对于B，直线斜率，则是直线的一个方向向量，B正确； 对于C，BC的中点坐标为，直线斜率， 边BC的垂直平分线方程为，即，由，得点，C正确； 对于D，点到直线的距离，， 因此的面积为，D错误. 故选：ABC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 10. （多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段的长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知A正确；对于B，根据定义直接计算即可判断；对于C，由定义得，即等号至少有一个成立，可得动点R的轨迹为正方形即可判断；对于D，设， 则，接着分情况讨论得到最值即可． 【详解】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误； 对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行列式，由此求得. 【详解】由于，所以， 解得. 故答案为： 13. 一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为求，最后利用切线长公式计算即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 圆心，半径， 则． 故答案为： 14. 设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求解圆的圆心与半径，当异号时，两圆不可能相切，再结合已知得，进而根据两圆外切列式求得. 【详解】由得， 其圆心为，半径为．故圆与坐标轴相切， 若异号，则两圆心距离， 两圆的半径和为，显然，故圆和圆外离； 若同号，因为，所以且． 则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为． 两圆心距离， 两圆的半径和为，两圆半径差为，显然， 故圆和圆不可能内切，只能外切， 所以，解得． 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用圆与圆的位置关系求解参数，解题的关键是根据圆与坐标轴相切，进而分析出两圆的位置关系，从而利用两圆关系求解即可. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【小问1详解】 由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． 【小问2详解】 （i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 16. 设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 17. 已知的三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1） （2），轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【小问1详解】 设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 【小问2详解】 设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）略 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆方程求得圆心和半径，根据两圆相交的判断方法建立不等式，解之即得； （2）将直线方程与圆方程联立整理成一元二次方程，计算，写出韦达定理，由题设等式化简计算求出值，并检验即得； （3）设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，分别写出直线和的方程，依题，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，列出方程并化简整理成或，根据题设要求可得关于的两个方程组，解之即得点的坐标. 【小问1详解】 由配方得，则其圆心，半径， 由，则其圆心，半径 圆与圆相交， ， 即，解得， 的取值范围是. 【小问2详解】 设，， 联立，消去得 由，可得， 则有， ， 解得， 因为，所以． 【小问3详解】 如图，设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线、的方程分别为：，， 即：， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等． 故有：， 化简得：， 即或， 整理得：，或， 依题存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解， 从而有或， 解得或， 所以点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2025-2026学年度上学期10月考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知表示圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若过点可作圆的切线有两条，则有（ ） A. B. 或 C. D. 上述均不对 6. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，且四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量 C. 边的垂直平分线与直线交于点 D. 四边形的面积为3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 10. （多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段的长为 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则实数______． 13. 一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长______． 14. 设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则______． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 16. 设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 17. 已知的三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $