1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型1 两条直线的方向向量的应用 4 题型2 平面法向量的相关问题 6 题型3 用空间向量证明平行关系 9 考点1 利用空间向量证明线线平行 9 考点2 利用空间向量证明线面平行 11 考点3 利用空间向量证明面面平行 15 题型4 用空间向量证明垂直关系 17 考点1 利用空间向量证明线线垂直 17 考点2 利用空间向量证明线面垂直 21 考点3 利用空间向量证明面面垂直 25 知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．点的位置向量 如图所示，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 2．直线的方向向量 用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. 如图，是直线的方向向量，在直线上取,设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得,即 3．空间直线的向量表示式 如图，取定空间中的任意一点，可得到点在直线上的充要条件是存在实数，使,① 将代入①式，得 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4．用向量表示空间平面的位置 空间中平面可以由内两条相交直线确定.如图1，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点. 进一步地，如图2，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 知识点二 平面的法向量 1．平面的法向量的定义 已知平面(如图所示)，直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 2．平面法向量的性质 (1)如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量. (2)如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行. (3)如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一定与向量垂直，即从而可知平面的位置可由和唯一确定. 3．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法： 方法一直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可. 方法二待定系数法：在几何体中没有现成的有向线段，这时一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下： (1)设平面的法向量为. (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，, (3)根据法向量的定义建立关于，，的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个，因此可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量. 知识点三 空间中直线、平面的平行 1．直线与直线平行 如图1，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以,使得 2．直线与平面平行 如图2，设是直线的方向向量，是平面的法向量，,则 3．平面与平面平行 如图3，设，分别是平面，的法向量，则,使得 知识点四 空间中直线、平面的垂直 1．直线与直线垂直 如图1，如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判断两直线是否垂直，如图，设直线的方向向量分别为，，则有,则有 由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明 (1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，表示两直线的方向向量的坐标，证明 (2)基向量法：选定基底，利用向量的加减运算律，结合图形将两直线的方向向量用基向量表示，然后利用数量积运算求解为0即可. 2．直线与平面垂直 如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则,使得 3．平面与平面垂直 如图3，设平面，的法向量分别为,则. 题型1 两条直线的方向向量的应用 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 平面法向量的相关问题 5．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 7．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 8．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 题型3 用空间向量证明平行关系 考点1 利用空间向量证明线线平行 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    考点2 利用空间向量证明线面平行 12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 13．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 14．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 考点3 利用空间向量证明面面平行 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    16．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.求证：平面平面.（使用向量方法）    题型4 用空间向量证明垂直关系 考点1 利用空间向量证明线线垂直 17．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：． 18．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 19．（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 考点2 利用空间向量证明线面垂直 20．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    21．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 22．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    考点3 利用空间向量证明面面垂直 23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 24．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 25．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 26．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； ②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； ③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； ④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量．以上四个命题中，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 6．（24-25高二上�湖南郴州�阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25高二上�山东�阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 二、多选题 9．（24-25高二上�湖南邵阳�期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 10．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（    ） A． B． C．4， D．4， 11．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 三、填空题 12．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数 . 13．（24-25高二上�山东�阶段练习）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；       ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；       ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 14．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 16．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 17．（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 18．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 能力提升 1．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则 ． 2．（24-25高二上�重庆�期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 3．（24-25高二上�广东江门�阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上�安徽池州�期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 5．（多选）已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（    ） A．当时，为锐角 B．当时， C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，∥平面 6．（多选）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是(    ) A．当为线段的中点时，平面 B．当为线段的三等分点时，平面 C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D．不存在点，使与平面垂直 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； ②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； ③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； ④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量． 以上四个命题中，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据零向量、直线方向向量、平面法向量的性质和定义依次判断各项的正误，即可得. 【详解】直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，①正确； 当时，是零向量，不是直线的方向向量，②错误； 由坐标平面与轴垂直，故是该平面的一个法向量，③正确； 若直线平面，结合法向量的定义，直线的方向向量平行于平面的法向量，④错误． 故选：B 2．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 3．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间位置关系的向量证明 【分析】根据向量共线，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】依题意得，所以，即可求解． 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 6．（24-25高二上�湖南郴州�阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 7．（24-25高二上�山东�阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 8．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明 【分析】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【详解】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上�湖南邵阳�期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、求直线的方向向量（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断BD的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判断C的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断A的正误. 【详解】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以共线，所以，故D错误； 故选：AC． 10．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（    ） A． B． C．4， D．4， 【答案】BD 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，利用求解方程组，得到法向量． 【详解】设平面是坐标原点的一个法向量是y，， 则即得， 令，解得 令，解得 故或，． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查空间平面法向量的计算方法，考查计算能力与方程思想，属于基础题． 11．（23-24高二上·山西运城·期中）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】应用空间向量数量积公式计算判断A，B，应用线面垂直判定定理结合法向量定义判断C，应用向量减法及模长公式计算判断D. 【详解】对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项正确； 对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确； 对于D：因为，所以，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数 . 【答案】4 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ． 【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0）， （0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0）， ∵λ，∴﹣2，∴b， ∴N（0，，0），（，，），（，0）， ∵MN⊥AD，∴10， 解得实数λ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 13．（24-25高二上�山东�阶段练习）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】平面法向量的概念及辨析、求平面的法向量、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 14．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】/ 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量 【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得. 【详解】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 16．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 17．（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【详解】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． 18．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 能力提升 1．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则 ． 【答案】2：3：（-4） 【知识点】求平面的法向量 【详解】试题分析：由得 因为为平面的法向量，则有，即 由向量的数量积的运算法则有解得 所以 故正确答案为 2．（24-25高二上�重庆�期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 设，， 则， 因为直线平面，则， 可得，解得， 则， 可得 当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25高二上�广东江门�阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量共线设求出点坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可； 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 4．（23-24高二上�安徽池州�期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据长方体的性质，可得判定A正确；求得的法向量为，结合，可判定B正确；求得平面的法向量为，结合，可判定C正确；由时，结合， 所以与不垂直，所以D错误. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 对于A中，当时，即为对角线的中点， 连接，在矩形中，可得也是的中点， 所以三点共线，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 所以，所以平面，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以， 设平面的法向量为，且， 则，取，可得，所以， 则，所以平面，所以C正确； 对于D中，当时，，由， 解得，则, 所以与不垂直，所以D错误. 故选：D. 5．（多选）已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（    ） A．当时，为锐角 B．当时， C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，∥平面 【答案】BD 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的坐标运算并结合平面法向量的求法解得答案. 【详解】如图，设该三棱柱棱长为2，易得AD⊥BC，，以D为坐标原点，分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系.    于是，，，则. 对A，若，则，所以，正负不定，不一定为锐角，故错误； 对B，若，，则，故正确； 对C，若，，，若，则，而，则或，则点P不唯一，故错误； 对D，，设平面ADE的法向量为，则，取b=1，则，，所以，由可知，，则，而平面，所以∥平面.故正确. 故选：BD. 6．（多选）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是(    ) A．当为线段的中点时，平面 B．当为线段的三等分点时，平面 C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D．不存在点，使与平面垂直 【答案】ABC 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易知，，，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 假设平面，且， 则. 因为也是平面的法向量， 所以与共线， 所以成立， 但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确. 故选：ABC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型1 两条直线的方向向量的应用 4 题型2 平面法向量的相关问题 6 题型3 用空间向量证明平行关系 9 考点1 利用空间向量证明线线平行 9 考点2 利用空间向量证明线面平行 11 考点3 利用空间向量证明面面平行 15 题型4 用空间向量证明垂直关系 17 考点1 利用空间向量证明线线垂直 17 考点2 利用空间向量证明线面垂直 21 考点3 利用空间向量证明面面垂直 25 知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．点的位置向量 如图所示，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 2．直线的方向向量 用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. 如图，是直线的方向向量，在直线上取,设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得,即 3．空间直线的向量表示式 如图，取定空间中的任意一点，可得到点在直线上的充要条件是存在实数，使,① 将代入①式，得 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4．用向量表示空间平面的位置 空间中平面可以由内两条相交直线确定.如图1，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点. 进一步地，如图2，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 知识点二 平面的法向量 1．平面的法向量的定义 已知平面(如图所示)，直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 2．平面法向量的性质 (1)如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量. (2)如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行. (3)如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一定与向量垂直，即从而可知平面的位置可由和唯一确定. 3．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法： 方法一直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可. 方法二待定系数法：在几何体中没有现成的有向线段，这时一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下： (1)设平面的法向量为. (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，, (3)根据法向量的定义建立关于，，的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个，因此可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量. 知识点三 空间中直线、平面的平行 1．直线与直线平行 如图1，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以,使得 2．直线与平面平行 如图2，设是直线的方向向量，是平面的法向量，,则 3．平面与平面平行 如图3，设，分别是平面，的法向量，则,使得 知识点四 空间中直线、平面的垂直 1．直线与直线垂直 如图1，如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判断两直线是否垂直，如图，设直线的方向向量分别为，，则有,则有 由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明 (1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，表示两直线的方向向量的坐标，证明 (2)基向量法：选定基底，利用向量的加减运算律，结合图形将两直线的方向向量用基向量表示，然后利用数量积运算求解为0即可. 2．直线与平面垂直 如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则,使得 3．平面与平面垂直 如图3，设平面，的法向量分别为,则. 题型1 两条直线的方向向量的应用 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、null 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 2．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由向量垂直即可解题. 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值、求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 题型2 平面法向量的相关问题 5．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 【答案】9 【知识点】空间向量数量积的应用、平面法向量的概念及辨析 【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 7．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 8．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) 【知识点】求平面的法向量 【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量； （2）利用求解平面的法向量的方法进行求解. 【详解】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为正方体的棱长为3，， 所以M，B，的坐标分别为，，， 因此，， 设是平面的法向量，则 ，， 所以， 取，则，．于是是平面的一个法向量． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，求出，，再由线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2， 则，，，，， 于是，，， 所以，， 所以，，所以，． 因为，平面，平面， 所以平面．所以是平面的一个法向量． 题型3 用空间向量证明平行关系 考点1 利用空间向量证明线线平行 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    考点2 利用空间向量证明线面平行 12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 【答案】详见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题意，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，平面EFG的法向量，利用法向量与的数量积，即可得到判定，得到结论. 【详解】∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． ∴＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)， 设平面EFG的法向量为，则即 令，则＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量， ∵＝(2，0，－2)，∴·＝0，∴ ， ∵PB面EFG，∴PB∥平面EFG. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何线面位置关系的判定中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用平面法向量的性质和空间向量的共面定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 13．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 14．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】解法一：以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明； 解法二：取的中点为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明. 【详解】解法一： 以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得，， 因为，所以 即，即， 所以，所以， 又因为面的一个法向量为，所以，所以， 又因为面，所以面. 解法二： 取的中点，连接，因为为的中点， 所以，所以平面， 过作，交BC于， 以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为为中点，设， 则， 设点的坐标为. 因为，所以. 因为为的中点，故，又为的中点，故， 所以， 又平面的一个法向量为，故，所以， 又平面，所以平面. 考点3 利用空间向量证明面面平行 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 16．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.求证：平面平面.（使用向量方法）    【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； 【详解】证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. 题型4 用空间向量证明垂直关系 考点1 利用空间向量证明线线垂直 17．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：． 【答案】证明见解析. 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，依次写出坐标，再求解出坐标，求得其数量积为0，证明其垂直即可. 【详解】    以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图 设,则 因此 所以，故. 18．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】用基底表示向量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2）由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. 19．（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】方法一：几何法，根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；方法二：空间向量法，利用向量垂直的坐标表示证明；方法三：利用向量的四则运算和数量积的运算律证明. 【详解】方法一：几何法 因为，，所以， 又因为，，所以平面， 又因为，构造正方体，如图所示， 过作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为分别为和的中点，所以是的中点， 由于，故≌，则, 又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 方法二：空间向量法 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面， 所以， 因为，，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，， 由题设（）， 因为， 所以，所以，则. 方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解 因为，，所以， 故，， 所以 ， 所以，则． 考点2 利用空间向量证明线面垂直 20．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 21．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 22．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、空间向量数量积的应用、用空间向量求点的坐标、求平面的法向量 【分析】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面． 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，    设， 则，，，，． 所以，，． 法一：因为，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面． 法二：设，则，． 因为，所以， 即．① 又因为，可设，所以，，．② 由①②可知，，，，所以． 设为平面的法向量， 则有，即，所以，取，则． 所以，所以平面． 考点3 利用空间向量证明面面垂直 23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 24．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 25．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 26．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $