3.6 圆内接四边形 课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

3.6 圆内接四边形 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 （1）理解圆内接四边形和四边形外接圆的概念. （2）掌握圆内接四边形的性质定理，并会用性质定理进行有关的计算和证明. （3）通过对圆内接四边形的性质定理的探究，培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半； 圆周角定理 复习回顾 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧也相等。 A1 A2 A3 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 复习回顾 新知学习 【问题】经过三角形各顶点的圆叫做三角形的_________. 这个三角形叫做__________________. 外接圆 圆的内接三角形 【类比】经过四边形各顶点的圆叫做四边形的_________. 这个四边形叫做__________________. 外接圆 圆的内接四边形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ⊙O是四边形ABCD的外接圆 【新知1】圆内接四边形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 判断下列四边形是否是圆的内接四边形？ A O B C D A O B C A O B C D A B C D 是 否 否 是 ① ② ③ ④ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 BD为直径 ∠A=∠C=90º ∠A+∠C=180º ∠ADC+∠ABC=180º 【探究1】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？ 【探究2】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BD不为⊙O的直径，探究1的结论是否仍然成立？ 猜想仍然成立 ∠A+∠C=180º ∠ADC+∠ABC=180º 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 已知: 如图，四边形ABCD内接于⊙O， 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° ∵∠A BCD，∠C BAD BCD + BAD=360° ∴∠A＋∠ C BCD+ BAD=( BCD+ BAD)=×360°=180° 同理可证∠B＋∠D＝180° 证明：把∠A所对的弧记作BCD，∠C所对的弧记作BAD 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º 圆内接四边形对角互补. 【新知2】圆内接四边形的性质定理： 真命题： 圆内接四边形的外角等于它的内对角 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上的一点. 求证：∠DCE=∠A ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠DCB＋∠A=180°（圆内接四边形的对角互补） ∵∠DCB＋∠DCE=180° ∴∠DCE=∠A Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E 真命题： 圆内接四边形的外角等于它的内对角 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 【例2（课内练习2）】 已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B:∠C=2：3：7， 求∠D的大小。 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 【作业题1】 已知圆内接四边形ABCD中，∠A=50°，∠D -∠B=40°， 求∠B,∠C,∠D的大小。 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴ ∠DAC=∠DAE. ∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴ ∠BAD +∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补). ∴ ∠DCB=∠DAE. 而∠DAC=∠DBC (在同圆中,同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠DCB=∠DBC， ∴ DB=DC. 【例3】如图，AD是∆ABC的外角∠EAC的平分线，与∆ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DC 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 【例4】如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 解 当原木的直径为30cm时，AO =BO =15cm， 正方形ABCD 的面积为 4× AO×BO=4× ×15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2). 所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3). 答：沿正方形ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15m，那么锯出木材的体积为0.675 m3. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 新知学习 【思考1】一个圆有多少个内接四边形？ 所有四边形都有外接圆吗？ 无数个 不是 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 新知学习 【思考2】不是所有的四边形都有外接圆，那满足什么条件的四边形会有外接圆呢？ 判定方法： （2）四边形的两个对角互补。 （1）四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等。（如∠1=∠2） 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 新知学习 【例5】如图，四边形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，则∠ACD=______。 40o 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 课堂总结 类比 概念 数学基本思想： 圆的内接三角形 圆的内接四边形 性质 特殊 应用 计算、证明 类比思想 从特殊到一般 数学建模思想 一般 四点共圆 判定 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 灵活运用 1．已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O， ∠ACB＝135°，则AB＝_______. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 新知学习 2.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠D＝______°. 60　 灵活运用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 新知学习 3.求证：判断命题“圆内接平行四边形一定是矩形”的真假，并给出证明。 灵活运用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 新知学习 4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC. 证明：连接AC. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°， 又∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. ∵C 是弧BD 的中点，∴∠EAC＝∠DAC ， ∴∠EAC ＋∠E＝∠DAC ＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D， ∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC. 灵活运用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 2eq \r(2) $