2.1.1 平均变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“平均变化率”，系统讲解概念、公式及求法，通过概念解析、评价自测等学习支架衔接函数变化与导数预备知识，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于结合数学抽象和数学运算，通过企业治污、蜥蜴体温等实际案例培养数学建模能力，分层训练（随堂达标、课后AB级）提升学生应用意识，教师使用可高效落实教学目标，学生能深化理解并联系现实。

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 课程标准：理解函数平均变化率的概念，知道函数平均变化率的几何意义，会求函数在指定区间上的平均变化率． 教学重点：函数平均变化率的概念、函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：通过学习平均变化率，提升数学运算和数学抽象素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 x2－x1 Δx f(x2)－f(x1) Δy 核心概念掌握 5 1．对Δx，Δy的理解 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)实数x1，x2在定义域上不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零． 2．对函数平均变化率的理解 (1)函数的平均变化率可正可负，也可为零． (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 核心概念掌握 7 2 20 核心概念掌握 8 核心素养形成 核心素养形成 10 核心素养形成 11 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝x2，分别计算自变量x从1变为2与从3变为4的平均变化率，并比较它们的大小． 核心素养形成 12 题型二　平均变化率的实际应用 例2　国家环保总局对长期超标排放污染物的企业下达了限期治理的决定，且在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业的排污量进行连续检测，检测结果如图所示(其中W表示排污量)．试问哪个企业的治污效果比较好？为什么？ 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【感悟提升】W乙(t0－Δt)<W甲(t0－Δt)(Δt>0)这一结论是通过观察图象得出的，企业甲对应的曲线比企业乙对应的曲线更陡，故在相同时间段内企业甲排污量下降得更快，即企业甲的平均治污率更大． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 随堂水平达标 1．函数y＝f(x)＝2x2＋3x－5的自变量x由4改变到5时，函数值的改变量Δy为(　　) A．7 B．10 C．14 D．21 解析：Δy＝f(5)－f(4)＝(2×52＋3×5－5)－(2×42＋3×4－5)＝21. 随堂水平达标 19 2．函数y＝x2的自变量x从2变为3的平均变化率为(　　) A．2 B．3 C．5 D．4 随堂水平达标 20 随堂水平达标 21 4．为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在(t2，t3)这个时间段内，甲血管中药物浓度始终低于乙血管中药物浓度；③当时间从t2变为t3时，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④当时间从t1变为t2及从t2变为t3时，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 其中所有正确结论的序号是________． ①③④ 随堂水平达标 22 随堂水平达标 23 5．一水库的蓄水量与时间关系图象如图所示．试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？ 解：由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；9月至11月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差． 随堂水平达标 24 课后课时精练 一、选择题 1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，当时间t从2变为2.1时的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 26 2．函数f(x)＝x2＋2C(C∈R)的自变量x从－1变为2的平均变化率为(　　) A．1 B．3 C．4 D．2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 27 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示．设函数y＝f(x)从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为(　　) A．v1＞v2 B．v1＝v2 C．v1＜v2 D．不能确定 解析： 由题图可知，f(x)的图象在[1，2]上更“陡峭”，在[－1，1]上较“平缓”，所以v1＜v2.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 28 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 29 5．(多选)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．当时间t从0变为t0时，A机关的用电量的平均变化率比B机关的用电量的平均变化率小 D．A机关与B机关自节能以来用电总量一样大 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 30 解析：由题图，可知A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，当时间t从0变为t0时，用电量的平均变化率都小于0，故一定有A机关的用电量的平均变化率比B机关的用电量的平均变化率小，且A机关比B机关节能效果好．自节能以来，A机关用电总量比B机关用电总量大．故选BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 31 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x的自变量x从－2变为t的平均变化率是2，则t＝________． 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 32 7．经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率________较大．(填“第一年”或“第二年”) 第一年 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 33 8．如图所示，函数y＝f(x)的自变量x从x1变为x2，从x2变为x3，从x3变为x4，平均变化率最大的是______________． 从x3变为x4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 34 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数当自变量x从2变为3时的平均变化率，并比较它们的大小． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 37 1．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且∀x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，当自变量x从x1变为x2时，f(x)的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10. 课后课时精练 1 2 B级 38 课后课时精练 1 2 B级 39 课后课时精练 1 2 B级 40 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率＝_____________________． 通常我们把自变量的变化__________称作自变量x的改变量，记作______，函数值的变化__________称作函数值y的改变量，记作_____．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即eq \f(Δy,Δx)＝_____________． eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) 对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx可正、可负、可为零．(　　) (2)Δy可正、可负、可为零．(　　) (3)函数y＝f(x)的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq \f(f（x1＋Δx）－f（x1）,Δx).(　　) (4)函数y＝f(x)的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝eq \f(f（x2－Δx）－f（x2）,－Δx).(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数y＝eq \f(2,x)，当自变量x由2变为1.5时，相应函数值的改变量Δy＝________． (2)已知函数f(x)＝2x＋1，当自变量x从1变到2时，它的平均变化率为________． (3)一物体的运动方程为s＝5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. eq \f(1,3) 题型一　求函数的平均变化率并比较其大小 例1　已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，分别计算自变量x从1变为2与从3变为5的平均变化率，并比较它们的大小． 解　当自变量x从1变为2时，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq \f(1,2). 当自变量x从3变为5时，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq \f(14,15). 因为eq \f(1,2)<eq \f(14,15)，所以自变量x从1变为2的平均变化率小于从3变为5的平均变化率. 【感悟提升】求函数y＝f(x)平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)然后利用平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)计算即可． 解：当自变量x从1变为2时，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(22－12,1)＝3，当自变量x从3变为4时，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（4）－f（3）,4－3)＝eq \f(42－32,1)＝7.因为7>3，所以自变量x从1变为2的平均变化率小于从3变为4的平均变化率.． 解　在t0处，W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W乙(t0－Δt)<W甲(t0－Δt)(Δt>0)． 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W甲（t0）－W甲（t0－Δt）,Δt))) >eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W乙（t0）－W乙（t0－Δt）,Δt)))， 所以企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙的治污效果好． 【跟踪训练】 2．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：(1)T(10)－T(0)＝eq \f(120,10＋5)＋15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15))＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是 eq \f(T（10）－T（0）,10－0)＝eq \f(－16,10)＝－1.6， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 解析：当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝9.所以函数y＝x2的自变量x从2变为3的平均变化率为eq \f(9－4,3－2)＝5.故选C. 3．当自变量x从m变为n时，函数①y＝x2；②y＝eq \f(1,x)；③y＝2x中平均变化率为定值的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对于①，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(n2－m2,n－m)＝m＋n；对于②，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,n)－\f(1,m),n－m)＝－eq \f(1,mn)；对于③，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2n－2m,n－m)＝2.故只有③的平均变化率为定值．故选B. 解析：在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；如题图，在(t2，t3)时间段内，甲血管中药物浓度始终高于乙血管中药物浓度，故②不正确；根据平均变化率公式可知，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率都是eq \f(f（t3）－f（t2）,t3－t2)，故③正确；当时间从t1变为t2时，甲血管中药物浓度的平均变化率是eq \f(f（t2）－f（t1）,t2－t1)，当时间从t2变为t3时，甲血管中药物浓度的平均变化率是eq \f(f（t3）－f（t2）,t3－t2)，显然不相等，故④正确． 解析：平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(（3＋2.12）－（3＋22）,0.1)＝4.1. 解析：：eq \f(f（2）－f（－1）,2－（－1）)＝eq \f(（4＋2C）－（1＋2C）,3)＝1.故选A. 4．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝eq \f(1,x)，其中自变量x从2变为4的平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 解析：当自变量x从2变为4时，函数y＝x的平均变化率为eq \f(4－2,4－2)＝1，函数y＝2x的平均变化率为eq \f(24－22,4－2)＝6，函数y＝x3的平均变化率为eq \f(43－23,4－2)＝28，函数y＝eq \f(1,x)的平均变化率为eq \f(\f(1,4)－\f(1,2),4－2)＝－eq \f(1,8).故选B. 解析：因为函数f(x)＝x2－x的自变量x从－2变为t的平均变化率是2，所以eq \f(f（t）－f（－2）,t－（－2）)＝eq \f(（t2－t）－[（－2）2－（－2）],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 解析：由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是eq \f(11.25－3.75,12－0)＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是eq \f(14.25－11.25,24－12)＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大． 解析:由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)的自变量x从x1变为x2，从x2变为x3，从x3变为x4的平均变化率分别为eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq \f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq \f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的是从x3变为x4. 解：因为eq \f(f（3）－f（2）,3－2)＝eq \f(2×32＋3－（2×22＋3）,1)＝10， eq \f(g（3）－g（2）,3－2)＝eq \f(2×32＋3－（2×22＋2）,1)＝11， eq \f(h（3）－h（2）,3－2)＝eq \f(2×32－3－（2×22－2）,1)＝9， 11>10>9，因此当自变量x从2变为3时，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 10．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 计算运动员在0≤t≤eq \f(65,49)这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 解：运动员在0≤t≤eq \f(65,49)这段时间里的平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h（0）,\f(65,49)－0)＝eq \f(10－10,\f(65,49))＝0(m/s)． (1)eq \o(v,\s\up6(－))＝0只能说明veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))＝v(0)，即t＝0 s和t＝eq \f(65,49) s时刻的速度大小相等，它们的方向相反，在这一时间段内，运动员不是静止的． (2)平均速度只能粗略地描述运动员在某一时间段内的运动状态，它并不能反映运动员在某一时刻的运动状态． 证明：当自变量x从2变为4时，函数g(x)的平均变化率为eq \f(g（4）－g（2）,4－2)＝eq \f(42－4＋1－（22－2＋1）,2)＝5. 根据题意，可知函数f(x)的自变量x从2变为4的平均变化率eq \f(f（4）－f（2）,2)>5， 所以f(4)－f(2)>10. 2．气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq \f(4,3)πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝eq \r(3,\f(3V,4π)).请从数学的角度，解释下列现象：在吹气球的过程中，随着气球内空气的增多，气球的半径增加得越来越慢，吹气球的难度越来越大． 解：当V从0变为1时，ΔV＝1－0＝1(L)，Δr＝r(1)－r(0)＝eq \r(3,\f(3,4π))－0≈0.62(dm)，则气球的平均膨胀率是eq \f(Δr,ΔV)≈eq \f(0.62,1)＝0.62(dm/L)；当V从1变为2时，ΔV＝2－1＝1(L)，Δr＝r(2)－r(1)＝eq \r(3,\f(3×2,4π))－eq \r(3,\f(3,4π))≈0.16(dm)，则气球的平均膨胀率是eq \f(Δr,ΔV)≈eq \f(0.16,1)＝0.16(dm/L)．通过以上的分析可以看出，在吹气球的过程中，随着气球体积逐渐变大，即随着气球内空气的增多，气球的半径增加得越来越慢，即它的平均膨胀率变小了，所以吹气球的难度越来越大． $