2.3 导数的计算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案围绕导数的定义、导函数概念及基本初等函数导数公式展开，通过回顾导数定义的“一差二比三极限”步骤，衔接导函数概念的形成过程，结合导数公式表构建知识体系，提供求导步骤分解、概念辨析及例题示范作为学习支架。 资料特色在于定义推导与公式应用紧密结合，例题涵盖数学切线方程、物理瞬时速度等场景，分层练习从基础判断到综合应用，帮助学生深化理解并提升数学运算素养，培养用数学思维解决实际问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的导数.2.会使用基本初等函数的导数公式表． 教学重点：1.导函数的概念.2.基本初等函数的导数公式． 教学难点：基本初等函数的导数公式的运用． 核心素养：通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养． 知识点一　求导步骤 计算函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)通过自变量在x＝x0处的改变量Δx，确定函数值在x0处的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)确定函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx处的平均变化率＝． (3)当Δx趋于0时，得到导数f′(x0)＝． 知识点二　导函数的概念 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有f′(x)＝，那么f′(x)也是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′． 知识点三　导数公式表 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln__a 特别地(ex)′＝ex y＝logax (a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sinx y′＝cosx y＝cosx y′＝－sinx y＝tanx y′＝ “函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”与“导函数”的区别与联系 区别：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量；而函数的导函数f′(x)是关于x的函数，是相对于一个区间而言的． (2)导函数f′(x)反映了随着x的变化，函数值的变化快慢的规律；f′(x0)反映了函数f(x)在x＝x0处变化的快慢，表现为曲线f(x)在这个点处切线的斜率． 联系：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即函数f(x)的导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.(　　) (3)若f(x)＝，则f′(x)＝x.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)(ln 1)′＝________． (2)(5x)′＝________． (3)曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________． (4)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝________． 答案：(1)0　(2)5xln 5　(3)x＋y－6＝0　(4)e 题型一　利用定义求函数的导数 例1　已知函数y＝f(x)＝－3x2＋2x－1. (1)利用导数的定义求f′(x)； (2)利用f′(x)分别求函数y＝f(x)在x＝0和x＝1处的导数． [解]　(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2， ∴＝＝2－6x－3Δx， 当Δx趋于0时，可以得到导数f′(x)＝ ＝ (2－6x－3Δx)＝2－6x. (2)由(1)得f′(x)＝2－6x， 则f′(0)＝2－6×0＝2，f′(1)＝2－6×1＝－4. 【感悟提升】利用定义求函数y＝f(x)的导数的步骤 (1)求Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (2)求； (3)计算 ＝f′(x)． 这些步骤可以概括为“一差、二比、三极限”． 【跟踪训练】 1．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数． (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y＝kx(k≠0)增加(减少)的快慢与什么有关？ 解：函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，它们的导数分别为 y′＝ ＝2， y′＝ ＝3， y′＝＝4. (1)y′＝2表示函数y＝2x图象上每一点处的切线的斜率都为2. y′＝3表示函数y＝3x图象上每一点处的切线的斜率都为3. y′＝4表示函数y＝4x图象上每一点处的切线的斜率都为4. (2)函数y＝4x增加得最快，函数y＝2x增加得最慢． (3)函数y＝kx(k≠0)增加(减少)的快慢与k有关． 函数的导数的绝对值的大小反映了函数增加(减少)的快慢情况，导数的绝对值越大，函数值增加(减少)得越快，否则就越慢． 题型二　利用公式求函数的导数 例2　求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝log5x. [解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝′＝x＝. (4)y′＝(log5x)′＝. 【感悟提升】求简单函数的导函数的方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练】 2．求下列函数的导数： (1)y＝3x；(2)y＝x2；(3)y＝2－x； (4)y＝cos2－sin2. 解：(1)y′＝(3x)′＝3xln 3. (2)y′＝(x2)′＝(x)′＝x＝x. (3)∵2－x＝， ∴y′＝′＝ln ＝－ln 2. (4)∵y＝cos2－sin2＝cosx， ∴y′＝(cosx)′＝－sinx. 题型三　导数运算的应用 例3　(1)求过曲线y＝tanx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． [解]　∵y＝tanx， ∴y′＝，曲线在点P处的切线斜率是＝4. ∴过点P且与在这点的切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即3x＋12y－12－π＝0. (2)已知某质点的运动方程为s(t)＝t2(s的单位：m，t的单位：s)，求质点在t＝10时的①瞬时速度；②加速度；③动能；④动量(设物体的质量为m kg)． [解]　①s′(t)＝2t，则vt＝10＝20(m/s)． ②a＝v′＝(2t)′＝2(m/s2)． ③Ek＝mv2＝m×202＝200m(J)． ④动量＝mv＝20m(kg·m/s)． 【感悟提升】 (1)求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”．前者的切线有且只有一条，而后者可能有一条或多条． (2)导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数的概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容． 【跟踪训练】 3．(1)已知曲线C：f(x)＝x3，求过点(1，1)与曲线f(x)＝x3相切的直线方程． 解：设切点为P(x0，x)， ∵f′(x)＝3x2，∴切线的斜率k＝f′(x0)＝3x， 故切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 又点(1，1)在切线上，将其代入切线方程， 得1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－. 故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y－1＝(x－1)，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. (2)若质点运动的方程是s(t)＝(s的单位：米，t的单位：秒)，求s′(2)，并解释它的实际意义． 解：s(t)＝＝t－5，s′(t)＝－5t－6， ∴s′(2)＝－，它的实际意义为质点在t＝2时的速度为－米/秒． 1．给出下列运算： ①(sinx)′＝－cosx；②′＝；③(log3x)′＝.其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 解析：∵(sinx)′＝cosx，′＝－，(log3x)′＝，∴所给三个运算都不正确． 2．若f(x)＝ex，则 ＝(　　) A．e B．－e C．2e D．－2e 答案：A 解析：∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴＝f′(1)＝e. 3．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，则点P0的坐标可以为(　　) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 答案：AC 解析：f′(x)＝3x2，设P0(x0，y0)，因为曲线f(x)＝x3在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，所以f′(x0)＝3x＝3，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选AC. 4．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________． 答案：－ 解析：y′＝(x)′＝－x，∴当x＝1时，y′＝－，∴倾斜角的正切值为－. 5．从时刻t＝0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)． 解：由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin5安、－sin7安． 课后课时精练 一、选择题 1．若函数f(x)＝x2025，则f′＝(　　) A．0 B．1 C．2024 D．2025 答案：B 解析：∵f(x)＝x2025，∴f′(x)＝2025x2024，∴f′＝2025×＝2025×＝1.故选B. 2．给出下列结论： ①若y＝，则y′＝－； ②若y＝，则y′＝； ③若y＝6x，则y′＝6xln 6； ④若y＝ln 5，则y′＝. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－，①正确；②y＝＝x，则y′＝x≠，②错误；③y＝6x，则y′＝6xln 6，③正确；④y＝ln 5，则y′＝0≠，④错误． 3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2e2 C．e2 D. 答案：D 解析：∵y′＝ex，y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1.∴S＝×1×e2＝. 4．如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，水波面的圆面积的瞬时膨胀率是(　　) A．5 m2/s B．5π m2/s C．10 m2/s D．10π m2/s 答案：D 解析：设时间为t，因为水波的半径以v＝1 m/s的速度向外扩张，水波面的圆面积S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)＝ ＝ ＝2πt0.当半径为5 m时，t＝5 s，所以S′(5)＝2π×5＝10π，即半径为5 m时，水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π m2/s. 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案：BC 解析：设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．对于A，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故A中的函数具有T性质；B，C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为－1，故B，C中的函数不具有T性质；对于D，y′＝2x，则2x1·2x2＝4x1x2＝－1，当x1＝，x2＝－时满足，故D中的函数具有T性质．故选BC. 二、填空题 6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________． 答案： 解析：∵y′＝′＝－，∴当x＝1时，y′＝－1，∴倾斜角为. 7．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值为________． 答案：3 解析：由已知，得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，则f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 8．已知f(x)＝2x，则f′＝________． 答案：eln 2 解析：∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2. 三、解答题 9．某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) 解：由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年． 10．求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程． 解：∵Δy＝2(x＋Δx)－(x＋Δx)3－(2x－x3)＝－(Δx)3－3x(Δx)2＋(2－3x2)Δx， ∴＝－(Δx)2－3xΔx＋2－3x2， 当Δx趋于0时，可得导数y′＝ ＝2－3x2. 设切点坐标为(x0，2x0－x)，则切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0)． 又切线过点(－1，－2)， ∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)， 即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－. ∴切点坐标为(0，0)或. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k＝＝2， 切线方程为y＝2x； 当切点坐标为时， 切线斜率k＝＝－， 切线方程为y＋2＝－(x＋1)， 即19x＋4y＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0. 1．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意，可知与直线x＋y＋2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最短． 设切点坐标为(x0，x)， 则y′|x＝x0＝2x0＝－1， 所以x0＝－，所以切点坐标为，切点到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝. 所以抛物线y＝x2上的点到直线x＋y＋2＝0的最短距离为. 2．已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：不存在．理由如下： ∵y1＝sinx，y2＝cosx， ∴y′1＝cosx，y′2＝－sinx. 设这两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)， ∴这两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0. 若两条切线互相垂直， 则cosx0·(－sinx0)＝－1， 即sinx0cosx0＝1，　 ∴sin2x0＝2，显然不成立， ∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直． 11 学科网（北京）股份有限公司 $