1.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

数学　选择性必修 第二册 第2课时　等差数列的性质及实际应用 (教师独具内容) 课程标准：1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.理解等差数列的性质.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 教学重点：等差数列的性质及其应用． 教学难点：等差数列性质的应用． 核心素养：1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养． 知识点一　等差数列的函数特性 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d． 当d>0时，数列{an}为递增数列(如图(1))； 当d<0时，数列{an}为递减数列(如图(2))； 当d＝0时，数列{an}为常数列(如图(3))． 知识点二　等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．这三个数满足关系式A＝． 1．等差数列的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1)d＝＝(m，n，k∈N＋)． (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． (3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq. (4)若＝k(m，n，k∈N＋)，则am＋an＝2ak. (5)数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. (6)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列． (7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列． (8)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn＋b}(k，m，b为常数)也是等差数列． 2．等差数列项的运算性质可推广到三项的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N＋⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，还可以推广至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的图象为分布在一条直线上的一群孤立的点．(　　) (2)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N＋，则am＋an＝ar.(　　) (3)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．(　　) (4)两个等差数列的和仍是等差数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．30 B．15 C．5 D．10 (2)若等差数列{an}中，a5＝a，a10＝b，则a15＝________． (3)已知直角三角形的三条边的长度成等差数列，则它们长度的比等于________． 答案：(1)B　(2)2b－a　(3)3∶4∶5 题型一　等差数列的函数特性 例1　已知(2，5)，(3，3)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性． [解]　(1)因为(2，5)，(3，3)是等差数列{an}图象上的两点， 所以a2＝5，a3＝3， 故d＝a3－a2＝3－5＝－2，a1＝a2－d＝5－(－2)＝7. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝7＋(n－1)×(－2)＝－2n＋9，故数列{an}的图象是直线y＝－2x＋9上一些等间隔的点，如图所示． (3)由(1)知d<0，所以数列{an}是递减数列． 【感悟提升】等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N＋) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N＋，图象是一系列孤立的点(在一条直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 【跟踪训练】 1．(1)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 答案：A 解析：由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4. (2)已知点(4，2)，(6，4)是等差数列{an}图象上的两点，据此你能判断数列{an}的增减性吗？ 解：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝1>0，则直线呈上升趋势，故数列{an}是递增数列． 题型二　等差中项及灵活设项的应用 例2　(1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数． [解]　设这三个数为a－d，a，a＋d. 则 解得或 所以这三个数为5，7，9或9，7，5. (2)已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？ [解]　因为a，b，c成等差数列， 所以a＋c＝2b. 又因为a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)． 所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 【感悟提升】 1．等差中项的性质 若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 2．常见设元技巧 (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 【跟踪训练】 2．(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1和7的等差中项， ∴b＝＝3. a是－1和3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5， ∴该数列为－1，1，3，5，7. (2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数． 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则 解得或 ∴这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2. 题型三　等差数列性质的应用 例3　(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．－8 [解析]　解法一：由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24. 解法二：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. [答案]　C (2)等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝________． [解析]　∵7＋21＝14＋14，∴a7＋a21＝2a14，∴a21＝2a14－a7＝2n－m. [答案]　2n－m [变式探究]　若本例(1)中条件不变，求a3＋a13的值又如何？ 解：由本例(1)解析知，a8＝24，由等差数列的性质知a3＋a13＝2a8＝48. 【感悟提升】等差数列性质的应用技巧 (1)适用情景 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质 利用已知m，n，p，q，r∈N＋，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq或若m＋n＝2r，则am＋an＝2ar将题目条件转化． 【跟踪训练】 3．(1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10 B．－10 C．15 D．－15 答案：B 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10，而a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________． 答案：18 解析：解法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此a5＋a8＝18. 解法二：根据等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 题型四　等差数列的实际应用 例4　我国历史上对数列概念的认识起源于公元前几百年前．在公元前一百年前成书的《周髀算经》里提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算)，请问9尺5寸应是二十四节气中从冬至开始的第几个节气？ [解]　用{an}表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列，则a1＝135，an＝95以及公差d＝－10，由an＝a1＋(n－1)d，得n＝＋1＝5， 即9尺5寸应是二十四节气中从冬至开始的第5个节气． 【感悟提升】解决等差数列实际问题的步骤 (1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中． 【跟踪训练】 4．如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前3项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 解：(1)设公差为d(d>0)，BC＝x， 则AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得 解得或(舍去)． 所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)． (2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}， 所以a10＝3＋(10－1)×4＝39，a＝392＝1521(cm2)． 所以所求正方形的面积为1521 cm2. 1．方程x2＋4x＋1＝0的两根的等差中项为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：D 解析：∵x1＋x2＝－4，∴x1，x2的等差中项A＝＝－2. 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14 B．12 C．28 D．36 答案：C 解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为________钱． 答案： 解析：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d.又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，则a－d＝a＋＝a＝. 4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________． 答案：100 解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，∴(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴a37＋b37＝100. 5．已知f(x＋1)＝x2－2x，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝－f(x)，求数列{an}的通项公式． 解：∵f(x＋1)＝x2－2x，∴f(x)＝(x－1)2－2(x－1)＝x2－4x＋3.又2a2＝a1＋a3，则－1＝(x－1)2－4(x－1)＋3－x2＋4x－3，即－2x＋5＝－1，∴x＝3，∴a1＝f(x－1)＝f(3－1)＝f(2)＝－1，d＝a2－a1＝－－(－1)＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝－1＋(n－1)×＝. 课后课时精练 一、选择题 1．已知数列{an}是等差数列，a6＝5，a3＋a8＝15，则a5的值为(　　) A．15 B．－15 C．10 D．－10 答案：C 解析：因为a6＋a5＝a3＋a8＝15，且a6＝5，故可得a5＝10.故选C. 2．已知等差数列的前3项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为(　　) A．2n－5 B．2n＋1 C．2n－3 D．2n－1 答案：C 解析：由等差中项的定义，得2(a＋1)＝a－1＋2a＋3，解得a＝0，故等差数列{an}的前3项依次为－1，1，3，故数列{an}是以－1为首项，2为公差的等差数列，故通项公式为an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.故选C. 3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 答案：C 解析：∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0，故C正确，A，D错误；∵a2＋a101＝a1＋a101＋d＝2a51＋d＝d，而等差数列中d∈R，故B错误．故选C. 4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20，由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝.故选A. 5．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则(　　) A．数列{an}的公差为－ B．an＝－n＋ C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列 D．a1a7＋a4＝－1 答案：ABC 解析：由题意知，a2＋a4＝2a3＝2.又a2a4＝，数列{an}为递减数列，∴a4＝，a2＝，∴公差d＝＝－，故A正确；又a1＝a2－d＝2，∴an＝2＋(n－1)×＝－n＋，故B正确；由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×＝－1，当n＝1时，a＝4，∴数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确；∵a1an＝4－(n－1)＝5－n，∴a1a7＋a4＝5－7＋＝－，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________． 答案：27 解析：在等差数列{an}中，设a3＋a6＋a9＝x　①，已知a2＋a5＋a8＝33　②，a1＋a4＋a7＝39　③，②－③得3d＝－6，①－②得3d＝x－33，∴x＝33＋3d＝33－6＝27. 7．设{an}是递增的等差数列，前3项和为12，前3项积为48，则数列{an}的首项为________． 答案：2 解析：设数列{an}的公差为d，d>0，前3项分别为a－d，a，a＋d，因为前3项和为12，前3项积为48，所以a－d＋a＋a＋d＝12且(a－d)·a·(a＋d)＝48，所以a＝4，d＝2，所以数列{an}的首项为a－d＝4－2＝2. 8．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________． 答案：0 解析：解法一：设{an}的公差为d，∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.∵p≠q，∴d＝－1.∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0. 解法二：∵数列{an}为等差数列，∴点(n，an)在一条直线上．不妨设p<q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k＝＝－1.如图所示，由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0. 三、解答题 9．我国北方某地区为了防止沙漠流动，缓解沙尘暴的侵蚀，决定建立若干条防沙林带，其中最前面一条长133 km，最后面一条长293 km，各条的长度成等差数列且公差为40 km.试求该防沙林带的条数． 解：用{an}表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列， 由已知条件，有a1＝133，an＝293，d＝40. 由通项公式，得293＝133＋(n－1)×40， 解得n＝5. 故该防沙林带一共有5条． 10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝0. (1)求a2，a3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列？请说明理由． 解：(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)， 所以a2＝＝＝，a3＝＝＝. (2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列， 则，，成等差数列， 所以＝＋， 所以＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－ ＝－＝＝－， 又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列． 1．设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N＋都有2bn＝an＋an＋1且a＝bnbn＋1. (1)求证：数列{}是等差数列； (2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由a＝bnbn＋1， 得an＋1＝. ∴当n≥2时，an＝，代入2bn＝an＋an＋1，得2bn＝＋， ∴2＝＋， ∴数列{}是等差数列． (2)由a1＝1，a2＝2，得b1＝＝. 又由a＝bnbn＋1，得a＝b1b2. ∴b2＝＝， ∴＝＝，＝＝. ∴数列{}的公差d＝－＝， ∴＝＋(n－1)·＝(n＋2)， ∴bn＝(n＋2)2， ∴当n≥2时，a＝bn－1bn＝(n＋1)2·(n＋2)2， ∴an＝(n＋1)(n＋2)． 当n＝1时，a1＝1，符合上式， ∴an＝(n＋1)(n＋2)． 2．设数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an＋1an＋2－a，n＝1，2，…. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)设数列{an}，{bn}的公差均是d(d≠0)，并且存在正整数s，t，使得as＋bt是整数，求|a1|的最小值． 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差是d，则 bn＋1－bn＝(an＋2an＋3－a)－(an＋1an＋2－a) ＝an＋2(an＋3－an＋1)－(an＋1＋an)(an＋1－an) ＝an＋2·2d－(an＋1＋an)·d ＝(2an＋2－an＋1－an)·d＝3d2. 所以数列{bn}是等差数列． (2)由已知条件及(1)的结论知3d2＝d. 因为d≠0，所以d＝， 则bn＝an＋1an＋2－a＝(an＋d)(an＋2d)－a＝3dan＋2d2＝an＋. 若正整数s，t满足as＋bt∈Z， 则as＋bt＝as＋at＋＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＋＝2a1＋＋∈Z. 设l＝2a1＋＋， 则l∈Z，且18a1＝3(3l－s－t＋1)＋1是一个非零的整数，故|18a1|≥1，从而|a1|≥. 又当a1＝时，有a1＋b3＝＋＝1∈Z. 故|a1|的最小值为. 13 学科网（北京）股份有限公司 $