1.1.2 数列的函数特性-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦“数列的函数特性”，核心知识点包括数列与函数的内在联系、表示方法及增减性判断，通过“判一判”“做一做”等基础题导入，衔接数列基本概念，搭建从函数视角理解数列的学习支架，为后续应用铺垫。 资料特色在于融合定义法、作差法等多种增减性判断方法，例题与跟踪训练梯度分明，结合函数图象与二次函数性质分析，有效提升学生数学抽象和直观想象素养，培养逻辑推理的数学思维，助力系统掌握数列函数特性及应用。

数学　选择性必修 第二册 1.2　数列的函数特性 (教师独具内容) 课程标准：1.了解数列是一种特殊函数.2.会用图象法表示数列． 教学重点：1.掌握判断数列增减性的方法.2.会画数列的图象． 教学难点：1.从函数的观点理解数列.2.数列增减性的判断与应用． 核心素养：通过学习数列的函数特性，提升数学抽象和直观想象素养． 知识点一　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的表示方法 (1)图象法； (2)列表法； (3)通项公式法． 3．数列的增减性 与函数类似，数列也有增减性． 知识点二　数列的分类 按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 1．从函数角度看数列：数列与函数的关系为 ，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 2．一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列是自变量为离散的数的函数．(　　) (2)数列的图象一定是有限个孤立的点．(　　) (3)数列{an}中若存在相邻两项an＋1，an满足an＋1>an，则该数列为递增数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－，则此数列为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上均不正确 (2)数列{an}中，an＝－n2＋4n＋5，则此数列中的最大值是________． 答案：(1)A　(2)9 题型一　数列增减性的判断 例1　(1)已知下列数列： ①2，22，222，2222； ②0，，，…，，…； ③1，，，…，，…； ④1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； ⑤－1，1，－1，1，…； ⑥a，a，a，a，…. 其中，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________，摆动数列为________．(将正确的序号填在横线上) [解析]　①是递增数列，②是递增数列，③是递减数列，④是摆动数列，⑤是摆动数列，⑥是常数列． [答案]　①②　③　⑥　④⑤ (2)已知数列{an}中，an＝3n2－n，判断数列{an}的增减性． [解]　解法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N＋)， 即an＋1>an，故数列{an}是递增数列． 解法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 则＝＝·>1. 又an>0，故an＋1>an， 即数列{an}是递增数列． (注：作商法比较大小时要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小) 解法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝<1， 则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列． 【感悟提升】判断数列的增减性的方法 (1)定义法 直接利用数列的增减性的定义判断． (2)作差法 数列{an}是递增数列⇔an＋1－an＞0； 数列{an}是递减数列⇔an＋1－an<0. (3)作商法 数列{an}各项都是正数，则数列{an}是递增数列⇔>1；数列{an}是递减数列⇔0<<1. (4)函数法 设an＝f(n)，n∈N＋，若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列；若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则数列{an}是递减数列． (5)图象法 利用数列的图象直观地判断． 【跟踪训练】 1．根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，作出它们的图象，并判断其增减性． (1)an＝n－1； (2)an＝sin. 解：(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－，0，，1，. 图象如图所示． 由图象可知，该数列为递增数列． (2)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－1，0，1，0，－1. 图象如图所示． 由图象可知，该数列从a1到a3递增，从a3到a5递减，因此，它既不是递增的，也不是递减的． 题型二　求数列中的最大(小)项 例2　已知数列{an}，an＝－2n2＋9n＋3，求{an}的最大项． [解]　解法一：假设an是最大项， 则有 即 解得≤n≤. 因为n是正整数，所以n＝2. 所以{an}的最大项是a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋. 因为n为正整数，故当n取2时，an取到最大值． 所以{an}的最大项为a2＝13. 解法三：画出该数列的图象，如图所示． 结合图象及数列通项公式的特点，可知当n＝2时，an取到最大值， 所以{an}的最大项为a2＝13. 【感悟提升】求数列中最大(小)项的方法 (1)利用确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减(或先减后增)型数列求最大(小)项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)利用二次函数的性质求最大(小)项，如本例中的解法二实质就是利用了二次函数y＝－2x2＋9x＋3的图象关于直线x＝对称这一性质，但应注意an的最大项是当n＝2时取得，而不是当n＝时取得，这是因为n∈N＋，不要因忽视n∈N＋而致误． (3)利用数列的图象及通项公式的特点，直观判断数列的最大(小)项． 【跟踪训练】 2．数列的通项公式为an＝n2－7n＋12，求数列中的最小项． 解：解法一：∵an＝n2－7n＋12＝－， ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小， 即最小项为a3＝32－7×3＋12＝0，a4＝42－7×4＋12＝0. 解法二：设数列{an}中的第n项最小， 则 即 解得 ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项a3＝a4＝0. 解法三：画出该数列的图象，如图所示． 结合图象及数列通项公式的特点，可知当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项a3＝a4＝0. 1．下面有四个结论，其中叙述正确的是(　　) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案：B 解析：数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 答案：C 解析：对于A，an＝，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－，它既是无穷数列又是递增数列． 3．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：A 解析：据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足． 4．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数．则an＝________，a2024＝________． 答案：2n＋1　4049 解析：设an＝kn＋b，则 ∴∴an＝2n＋1，∴a2024＝2×2024＋1＝4049. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2或3， ∴数列中有两项是负数． (2)∵an＝n2－5n＋4＝－，二次函数y＝－的图象的对称轴为直线x＝＝2.5. 又n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 课后课时精练 一、选择题 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin，sin，sin，sin，… C．－1，－，－，－，… D．1，2，3，4，…，30 答案：C 解析：数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin，sin，sin，sin，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． 2．已知an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是(　　) A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．a10或a11 答案：C 解析：an是关于n的二次函数，图象的对称轴为直线x＝.因为n∈N＋，所以a12或a13是最大项． 3．如下表定义函数f(x)： x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2026的值是(　　) A．1 B．2 C．5 D．4 答案：A 解析：a1＝4，当n≥2时，an＝f(an－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期为4的周期数列，又2026＝506×4＋2，所以a2026＝a2＝1. 4．在数列{an}中，已知an＝n2＋λn，n∈N＋，则“a1<a2”是“{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：在数列{an}中，已知an＝n2＋λn，n∈N＋，a1<a2，则1＋λ<4＋2λ，解得λ>－3.若数列{an}是递增数列，则对任意的n∈N＋都满足an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0，所以λ>－1－2n，即λ>(－1－2n)max＝－3.因此，“a1<a2”是“{an}是递增数列”的充要条件．故选C. 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝，则(　　) A．数列{an}为递增数列 B．a4＋a8＝2a6 C．a5为最小项 D．a6为最大项 答案：CD 解析：对于A，a1＝－，a2＝－，a1>a2，故数列{an}不是递增数列，A错误；对于B，数列{an}的通项公式为an＝，a4＝＝－1，a8＝＝1，a6＝＝3，B错误；对于C，D，由于an＋1－an＝－＝，易得当1≤n≤4时，an＋1－an＜0，有a5＜a4＜a3＜a2＜a1＜0，当n>5时，an＋1－an＜0，有a6＞a7＞a8＞…＞an＞0，则a5为最小项，a6为最大项，C，D正确．故选CD. 二、填空题 6．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N＋)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案：(－∞，3) 解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1>an，∴(n＋1－λ)2n＋1>(n－λ)2n，即λ<n＋2，又n∈N＋，∴λ<3. 7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________． 答案：1－ 解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an的最小值为________，此时n的值为________． 答案：　3 解析：依题意，an＝当n≤3且n∈N＋时，{an}单调递减，所以最小值为a3＝；当n≥4且n∈N＋时，{an}单调递增，所以最小值为a4＝.综上，an的最小值为，此时n的值为3. 三、解答题 9．写出下列数列的前5项，并作出它们的图象． (1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； (2)通项公式为an＝－n＋1的数列． 解：(1)前5项为2，3，5，7，11，该数列的图象如图1所示． (2)前5项为0，－1，－2，－3，－4，该数列的图象如图2所示． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求证：数列{an}是递增数列； (2)求从第几项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 解：(1)证明：∵an＋1－an＝－ ＝ ＝， 由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列． (2)∵an＝＝1－， ∴|an－1|＝＝. 由<，得n2＋1>10000. 满足上式的n至少取n＝100. ∴从第100项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 1．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解：解法一：作差比较an＋1与an，判断数列{an}的增减性． 因为an＋1－an＝(n＋3)－(n＋2)·＝×. 当0<n＜5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 即最大项为a5＝a6＝. 解法二：作商比较an＋1与an，判断数列{an}的增减性． ＝＝. 令>1，解得0＜n<5； 令＝1，解得n＝5； 令<1，解得n>5. 故有a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 且最大项为a5＝a6＝. 解法三：解不等式． 假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6. 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6， 且a5＝a6＝. 2．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递增数列． 解：(1)由已知，得log22an－＝2n， 即an－＝2n， 所以a－2nan－1＝0， 解得an＝n±， 因为0<x<1，即0<2an<1， 所以an<0，所以an＝n－. (2)证明：因为＝ ＝<1， 而an<0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1>an， 所以数列{an}是递增数列． 13 学科网（北京）股份有限公司 $