1.1.1 数列的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案围绕“数列的概念”展开，通过日常生活和数学实例引导学生抽象数列定义、项、表示方法及通项公式，衔接函数知识，为后续等差等比数列学习搭建基础支架。 资料亮点在于知识点深度解析结合分层题型训练，包含概念辨析、通项公式应用及观察法求通项等例题与跟踪训练，辅以课后“四基”巩固和“四能”提升精练，培养学生数学抽象与逻辑推理素养，助力自主学习与能力进阶。

数学　选择性必修 第二册 1.1　数列的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念.2.会用列表法、通项公式法表示数列． 教学重点：1.数列的有关概念.2.能由数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：观察数列的特点，写出数列的通项公式． 核心素养：从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，培养数学抽象和逻辑推理素养． 知识点一　数列及其有关概念 1．数列：按一定次序排列的一列数叫作数列． 2．项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． 知识点二　数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 知识点三　数列的分类 按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点四　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．数列的通项公式就是相应函数的解析式． 1．从定义的角度理解数列的概念 从定义角度考虑：数列的项与正整数1，2，3，…严格对应，对应的正整数是项数，数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征；再者，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． 2．对数列通项公式的理解 (1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项． (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是，是第几项． (3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式． (4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，如：数列－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前几项归纳出的数列的通项公式可能并不唯一． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．(　　) (2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　　) (3)有些数列没有通项公式．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的(　　) A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 (2)若数列{an}的前4项分别是，－，，－，则该数列的一个通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ (3)若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项． 答案：(1)C　(2)A　(3)5 题型一　数列的概念 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…是无穷数列 D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11能构成数列 [解析]　根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；因为数列是按确定的顺序排列的一列数，当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，故D错误． [答案]　AC 【感悟提升】数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． (2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． (3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键． 【跟踪训练】 1．下列叙述正确的是(　　) A．数列2，4，6，8与8，6，4，2是同一个数列 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，2，0，2，…是有穷数列 D．数列的首项是 答案：D 解析：数列2，4，6，8与数列8，6，4，2中项的排列次序不同，故不是同一个数列，A错误；数列0，1，2，3，…可以表示为{n－1}，n∈N＋，B错误；数列0，2，0，2，…中项的个数无限，故该数列为无穷数列，C错误；令n＝1，则可知数列的首项是，D正确．故选D. 题型二　数列通项公式的简单应用 例2　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解]　(1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝(舍去)． ∴－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝. ∵－2∉N＋，∉N＋， ∴68不是该数列的项． 【感悟提升】判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将所给某数代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项. 【跟踪训练】 2．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)试问和是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题意可知， a4＝＝，a6＝＝. (2)令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 由于n∈N＋，故n＝－8舍去． 所以是数列{an}中的第5项． 令＝， 则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 由于n∈N＋，所以不是数列{an}中的项． 题型三　利用观察法求数列的通项公式 例3　写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)3，5，7，9，…； (2)，，，，…； (3)，－，，－，…； (4)，3，，，3，…； (5)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (6)，1，，，…； (7)，2，，8，…. [解]　(1)因为各项减去1后为正偶数， 所以an＝2n＋1. (2)因为每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…， 所以an＝. (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝. (4)原数列可化为，，，，，…，即，，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1， 故原数列的通项公式为an＝. (5)将原数列变形为1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－. (6)将原数列变形为，，，，….对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故原数列的通项公式为an＝. (7)将数列变形为，，，，…，可知分子为n2，分母为2，所以an＝. [变式探究]　把本例(5)改为“0.6，0.66，0.666，0.6666，…”，又如何求通项公式呢？ 解：数列0.6，0.66，0.666，0.6666，…的通项公式为an＝. 【感悟提升】用观察法求数列通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【跟踪训练】 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，，－，，－，，…； (3)7，77，777，…； (4)0，3，8，15，24，…； (5)－1，7，－13，19，…； (6)3，5，3，5，3，5，…. 解：(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母相差3，因而有an＝. (2)分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－，因此原数列可以化为－，，－，，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·. (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，所以an＝(10n－1)． (4)观察数列，递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即12，22，32，42，52，…，很快发现an＝n2－1. (5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (6)此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作an＝此数列两项3与5的平均数为＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作an＝4＋(－1)n. 1．有下列说法： ①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}； ②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列； ③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列； ④1，1，1…不能构成一个数列． 其中说法正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 解析：①错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④错误，由数列的定义，可知1，1，1，…能构成一个常数列． 2．数列，，，，…的一个通项公式是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝－ D．an＝1－ 答案：C 解析：因为＝1－，＝－，＝－，＝－.所以推断an＝－. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 答案：C 解析：由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 4．已知数列{an}满足n∈N＋，则a4＝________，通项an＝________． 答案：－13　3－2n 解析：由n∈N＋，得a2＝2a1－3＝－1＝3－22，a3＝2a2－3＝－5＝3－23，a4＝2a3－3＝－13＝3－24，观察，得an＝3－2n. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a10； (2)判断是否为数列{an}中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． 解：(1)根据题意，可得a10＝＝. (2)令an＝，即＝，解得n＝3， 所以为数列{an}中的第3项． 课后课时精练 一、选择题 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{an}与{a2n－1}表示同一数列； ③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一； ④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N＋. A．①④ B．②③ C．③ D．①② 答案：C 解析：①错误，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②错误，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③正确，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④错误，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C. 2．数列－2，4，－，20，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·2n B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n· 答案：D 解析：－2＝(－1)1×，4＝(－1)2×，－＝(－1)3×，20＝(－1)4×，所以该数列的一个通项公式可以是an＝(－1)n·.故选D. 3．已知an＝n2＋n，那么(　　) A．0是数列中的一项 B．21是数列中的一项 C．702是数列中的一项 D．以上答案都不对 答案：C 解析：∵an＝n(n＋1)，702＝26×27，∴702是第26项．故选C. 4．数列，，，，…中，7是第______项(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 答案：D 解析：根据题意，数列，，，，…可写成，，，，…，则数列的通项公式为an＝，令7＝，解得n＝20.故选D. 5．(多选)已知数列{an}的前4项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝[1＋(－1)n＋1] B．an＝sin2 C．an＝ D．an＝ 答案：ABC 解析：将n＝1，2，3，4分别代入A，B，C，D的通项公式中，可知A，B，C符合，对于D，显然当n＝1时就不符合．故选ABC. 二、填空题 6．在数列0，，…，，…中，第3项是______，是它的第________项． 答案：　7 解析：令n＝3，则＝＝，所以第3项是.令＝，解得n＝7，所以是它的第7项． 7．在数列，2，x，2，，2，…中，x＝________，该数列的一个通项公式是________． 答案：　an＝(n∈N＋) 解析：各项可依次写为，，，，，，…，观察可知，根号下依次为正偶数，故x2＝6，可得x＝，数列的通项公式为an＝(n∈N＋)． 8．已知数列{an}的通项公式为an＝5n＋1，数列{bn}的通项公式为bn＝n2，若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn}，则c6的值为________． 答案：256 解析：数列{an}的通项公式为an＝5n＋1，其数据符合平方的数有：16，36，81，121，196，256，…，数列{bn}的通项公式为bn＝n2，当n＝4，6，9，11，14，16，…时符合上面各个数．数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn}，则c6的值为256. 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)1，－2，3，－4，5，…；(2)5，55，555，5555，…； (3)1，3，6，10，15，…；(4)，，，，…； (5)1，－，，－，，…. 解：(1)这个数列的前4项1，－2，3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负， 所以数列的通项公式是an＝(－1)n＋1·n. (2)∵数列9，99，999，9999，…的第n项为10n－1，数列1，11，111，1111，…的第n项应为(10n－1)，所以数列5，55，555，5555，…的通项公式是an＝(10n－1)． (3)注意到6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即，，，，，…，所以数列的通项公式为an＝. (4)注意各项的分子分别是12，22，32，42，…，分母比分子大1，所以数列的通项公式为an＝. (5)因为奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，各项分子均为1，所以数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·. 10．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)－60是否是{an}中的项？ (2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0? 解：(1)假设－60是{an}中的项， 则－60＝30＋n－n2. 解得n＝10或n＝－9(舍去)． 所以－60是{an}的第10项． (2)分别令30＋n－n2＝0，30＋n－n2>0，30＋n－n2<0， 解得n＝6，0<n<6，n>6， 即当n＝6时，an＝0； 当0<n<6且n∈N＋时，an>0； 当n>6且n∈N＋时，an<0. 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项． 解：(1)a10＝＝. (2)①当n为偶数时，an＝， 令＝， 化简得8n2－33n－35＝0， 解得n＝5. 而n＝5为奇数，所以不是该数列中的偶数项． ②当n为奇数时，an＝－， 令－＝， 化简得8n2＋33n＋31＝0， 解得n＝不是整数，所以不是该数列中的奇数项． 综上，不是该数列中的项． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)． (1)判断0和1是不是数列{an}中的项．若是，指出是第几项；若不是，请说明理由； (2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项．若存在，指出分别是第几项；若不存在，请说明理由． 解：(1)令an＝0，得n2－21n＝0， ∴n＝21或n＝0(舍去)， ∴0是数列{an}中的项，是第21项． 令an＝1，得＝1，该方程无正整数解， ∴1不是数列{an}中的项． (2)假设存在连续且相等的两项am，am＋1，m∈N＋， 则有am＝am＋1， 即＝， 解得m＝10， ∴存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项． 13 学科网（北京）股份有限公司 $