第三章 排列、组合与二项式定理 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第三章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 排列数公式、组合数公式 求两个二项式积的常数项 二项式定理的逆用 排列中的不相邻问题 二项展开式的系数和问题 有限制条件的排列问题 三项展开式求特定项的系数 与数字有关的排列问题 不同对象的分配问题 组合问题 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 二项展开式的系数问题的综合 利用组合数的性质求参数 与数字有关的排列问题 二项式系数问题、系数最大问题 计数原理中的种植问题 求展开式中某一项的系数和特定项 有限制条件的排列问题 二项展开式的系数和问题、特定项的系数问题、二项式定理解决整除问题 与数字有关的排列问题与新定义的综合应用 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若3C＝5A，则整数n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案：A 解析：因为3C＝5A，所以n≥3，3×＝5n(n－1)(n－2)，解得n＝8.故选A. 2．(x2＋2)的展开式中的常数项是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案：D 解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－1)k＝Cx2k－10(－1)k.当2k－10＝－2，即k＝4时，有x2·Cx－2(－1)4＝C×(－1)4＝5；当2k－10＝0，即k＝5时，有2·Cx0(－1)5＝－2，∴展开式中的常数项为5－2＝3.故选D. 3．C－2C＋22C－23C＋…＋22024C－22025C＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．22024 答案：A 解析：C－2C＋22C－23C＋…＋22024C－22025C＝C＋C×(－2)＋C×(－2)2＋C×(－2)3＋…＋C×(－2)2024＋C×(－2)2025＝(1－2)2025＝(－1)2025＝－1.故选A. 4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人都不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 答案：D 解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在4个位置，共有A＝24种放法．故选D. 5．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 答案：A 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4×(－2＋)4＝1. 6．将5列车停在不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有(　　) A．120种 B．96种 C．78种 D．72种 答案：C 解析：先安排a列车，并按其分类讨论，若a列车在第二轨道上，则剩下四列车可自由安排，有A种；若a列车在三、四、五轨道上，则有A种，再停b列车，b列车在除二轨道和a的位置外的位置选一个有A种，其余列车有A种．因此不同的停放方法共有A＋AAA＝78种． 7.的展开式中，x3y3的系数为(　　) A．120 B．130 C．－120 D．－130 答案：C 解析：表示6个因式的乘积，在这6个因式中，有3个因式取y，其余的3个因式中有2个取x2，剩下1个取，即可得到含x3y3的项，故x3y3的系数为CC×(－2)＝－120. 8．在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有(　　) A．54个 B．62个 C．74个 D．82个 答案：C 解析：若这个数的千位数为4，百位数为3，则这个数可以是4360，4365，共2个；若这个数的千位数为4，百位数为5，则这个数的个位只能是0，满足条件的数共有C＝4个；若这个数的千位数为4，百位数为6，则满足条件的数共有CC＝8个；若这个数的千位数为5，则满足条件的数共有A＝20个；若这个数的千位数为6，则满足条件的数共有CA＝40个．故满足条件的数共有2＋4＋8＋20＋40＝74个． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的是(　　) A．CCCC B．CA C．CCA D．18 答案：BC 解析：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球．有两种解法：解法一：分两步进行分析：第一步，先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；第二步，将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法．则没有空盒的放法有CA＝36种．解法二：分两步进行分析：第一步，在3个盒子中任选1个，在4个小球中任选2个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有CC种情况；第二步，将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A种放法．则没有空盒的放法有CCA＝36种．故选BC. 10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选3门作为选考科目，下列说法正确的是(　　) A．若任意选科，选法总数为C B．若化学必选，选法总数为CC C．若政治和地理至少选1门，选法总数为CCC D．若物理必选，化学、生物至少选1门，选法总数为CC＋1 答案：BD 解析：对于A，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，则选法总数为CC，故A错误；对于B，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、生物3门科目中选择1门，则选法总数为CC，故B正确；对于C，分政治、地理都选和政治、地理仅选1门，则选法总数为C(1＋CC)，故C错误；对于D，物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选1门，则选法总数为CC＋1，故D正确．故选BD. 11．已知(2x－5)2025＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a2025(x－2)2025，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝－1 B．a0＋a1＋…＋a2025＝1 C．a0－a1＋a2－a3＋…－a2025＝32025 D．22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＝5×102024 答案：AB 解析：对于A，令x＝2，得a0＝(－1)2025＝－1，故A正确；对于B，令x＝3，得a0＋a1＋…＋a2025＝1，故B正确；对于C，令x＝1，得(－3)2025＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2025，故a0－a1＋a2－a3＋…－a2025＝－32025，故C错误；对于D，令x－2＝t，则原等式变形为(2t－1)2025＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2025t2025，易知a2025＝C22025＝22025，令t＝，得0＝a0＋＋＋…＋＋，等式两侧同乘22024，得22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＋＝0，所以22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＝－＝－22024，故D错误．故选AB. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．满足方程C＝C的x的值为________． 答案：1或3 解析：由题意，得x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，当x2－x＝5x－5时，x＝1或x＝5；当x2－x＋5x－5＝16时，x＝－7或x＝3.当x＝5时，5x－5＝20>16，故舍去；当x＝－7时，5x－5＝－40<0，故舍去；当x＝1时，x2－x＝5x－5＝0；当x＝3时，x2－x＝6，5x－5＝10.故所求x的值为1或3. 13．有三张卡片，正面分别写着1，2，3三个数字，反面分别写着0，5，6三个数字，问这三张卡片可组成________个三位数． 答案：40 解析：先排列三张卡片，有A×2×2×2＝48种排法，因为0排在首位的排法种数为A×2×2＝8，所以这三张卡片可以组成48－8＝40个三位数． 14．在的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为________，展开式中系数最大的项为________． 答案：6　96x5 解析：由题意可得C＋C＋C＝1＋n＋＝22且n∈N＋，解得n＝6，所以二项式＝(1＋4x)6，则(1＋4x)6展开式的通项为Tk＋1＝C(4x)k＝C·4kxk，设展开式的第k＋1项的系数最大，则解得4.6≤k≤5.6，所以k＝5，所以展开式中系数最大的项为T6＝·C·45x5＝96x5. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N＋)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花． (1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？ (2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？ 解：(1)先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分． 因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同， 所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有3×2×1＝6种． (2)当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6种种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×1×2＝12种种植方法， 由分类加法计数原理得，不同的种植方法有6＋12＝18种． 16．(本小题满分15分)已知二项式的展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240. (1)求n； (2)求展开式中x的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：(1)由已知，得4n－2n＝240， 所以2n＝16，n＝4. (2)二项展开式的通项为Tk＋1＝C(5x)4－k·＝C54－k(－1)kx， 令4－k＝1，解得k＝2. 所以x的系数为C52×(－1)2＝150. (3)由(2)，得4－k∈Z(k＝0，1，2，3，4)， 即k＝0，2，4. 所以展开式中所有的有理项为第1项625x4，第3项150x，第5项x－2. 17．(本小题满分15分)从包含甲、乙两人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？ (1)甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙两人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙两人都被选中且必须跑相邻两棒． 解：(1)甲、乙两人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，根据分步乘法计数原理知，不同的排法种数为AA＝60. (2)甲、乙两人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙两人中选出1人，有C种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有C种结果，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，根据分步乘法计数原理知，不同的排法种数为CCA＝480. (3)甲、乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，相当于3个人在三个位置上排列，则不同的排法种数为ACA＝180. 18．(本小题满分17分)已知的展开式中二项式系数之和为32. (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)若f(x)＝，且f(4)＋a能被4整除，求正数a的最小值． 解：(1)由已知可得，2m＝32，解得m＝5， 令x＝1，得(1＋2)5＝243， 所以的展开式中所有项的系数和为243. (2)二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k＝2kCx10－k，k∈{0，1，2，3，4，5}， 令10－k＝0，解得k＝4， 所以常数项为T5＝24×C＝80. (3)因为f(4)＋a＝(16＋1)5＋a＝C×165＋C×164＋C×163＋C×162＋C×161＋C＋a＝C×165＋C×164＋C×163＋C×162＋C×161＋1＋a， 因为C×165＋C×164＋C×163＋C×162＋C×161能被4整除，f(4)＋a能被4整除， 所以1＋a能被4整除， 所以正数a的最小值为3. 19．(本小题满分17分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； (2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 解：(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类： ①若个位数为0，则共有A＝12个符合题意的三位数； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18个符合题意的三位数． 故共有12＋18＝30个符合题意的三位数． (2)将这些“凹数”分为三类： ①若十位上的数字为0，则共有A＝12个符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有A＝6个符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有A＝2个符合题意的“凹数”． 故共有12＋6＋2＝20个符合题意的“凹数”． (3)将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有AA＝12个符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有AAA＝8个符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有AAA＝8个符合题意的五位数． 故共有12＋8＋8＝28个符合题意的五位数． 5 学科网（北京）股份有限公司 $