4.2.2 离散型随机变量的分布列-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案围绕离散型随机变量的分布列展开，涵盖分布列的定义、性质及两点分布等核心知识点。通过射击试验、摸球等具体实例导入，衔接随机变量概念，构建前后知识脉络，提供定义讲解、性质归纳、例题解析与跟踪训练的学习支架。 资料特色在于结合情境培养核心素养，通过实例抽象分布列概念发展数学抽象，分步求分布列过程强化逻辑推理，概率计算提升数学运算。题型分层设计，情境化例题与跟踪训练助学生用数学语言表达现实问题，课后练习分层便于自主学习与教师评估。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.2.2　离散型随机变量的分布列 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列.2.通过具体实例，了解伯努利试验． 教学重点：1.掌握离散型随机变量分布列的定义与性质.2.理解两点分布的定义，并能简单运用． 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列． 核心素养：1.通过学习离散型随机变量分布列的定义及两点分布的定义培养数学抽象素养.2.通过求简单的离散型随机变量的分布列培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (2)性质 ①pk≥0，k＝1，2，…，n； ②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点二　两点分布 (1)形式与定义 W 1 0 P p 1－p 一般地，如果随机变量的分布列能写成上述表格的形式(其中0＜p＜1)，则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布)． (2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 1．(求离散型随机变量的分布列)在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为________． 答案： X 0 1 P 0.1 0.9 2．(离散型随机变量分布列的性质)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，则C＝________． 答案： 3．(两点分布的应用)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4.令Y＝4X＋3，则P(Y＝3)＝________． 答案：0.6 题型一　离散型随机变量的分布列 角度1　求离散型随机变量的分布列 例1　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出的球的最大号码，求X的分布列． [解]　X的取值范围为{3，4，5，6}， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 【感悟提升】　求离散型随机变量分布列的一般步骤 (1)明取值：求出随机变量的取值范围，且明确每一个取值所表示的意义； (2)求概率：利用排列、组合知识以及相关的概率公式求出变量取每一个值时所对应的概率； (3)画表格：按规范要求形式写出分布列； (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确． 【跟踪训练】　 1．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． 解：X的取值范围为{1，2，3，4，5}， 则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝， 第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝， 第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝， 第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝， 第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 角度2　求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列 例2　已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 　　分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列． [解]　由η1＝ξ知，当ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列为 η1 －1 － 0 1 P 　　由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2，2及－1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，所以η2的分布列为 η2 0 1 4 9 P 【感悟提升】　求离散型随机变量η＝f(ξ)分布列的步骤 (1)弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值； (2)把η取相同值时所对应的事件的概率相加； (3)列出概率分布列并做出检验． 【跟踪训练】　 2．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 2 P 分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列． 解：由η1＝－ξ＋，ξ＝－1，0，1，2，得η1＝，，－，－，相应的概率值为，，，. 故η1的分布列为 η1 － － P 由η2＝ξ2－2ξ，ξ＝－1，0，1，2， 得η2＝3，0，－1，0， 所以P(η2＝3)＝， P(η2＝0)＝＋＝， P(η2＝－1)＝. 故η2的分布列为 η2 3 0 －1 P 题型二　离散型随机变量分布列的性质 例3　设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－2q q2 (1)求q的值； (2)求 P(X<0)，P(X≤0)． [解]　(1)由分布列的性质，得0≤1－2q≤，0≤q2≤，＋(1－2q)＋q2＝1， 所以q＝1－. (2)P(X<0)＝P(X＝－1)＝， P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋1－2×＝－. 【感悟提升】　利用分布列的基本性质解题的注意点 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的． (2)不仅要注意pi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n. (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 【跟踪训练】　 3．设随机变量ξ的概率分布为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. 解：题目所给分布列为 ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)解法一：P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝＋＋＝. 解法二：P＝1－P＝1－＝. (3)因为<ξ<，所以ξ的取值为，，. 故P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 题型三　两点分布 例4　袋中有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，如果只关心摸出2个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． [解]　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： X＝ 则X显然服从两点分布， 且P(X＝1)＝＝， ∴P(X＝0)＝1－＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P 【感悟提升】　两点分布的特点 (1)两点分布中只有两种对应结果，且两种结果是对立的． (2)两点分布中的两种结果一种对应1，另一种对应0. (3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． (4)在有多种结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它(如本例中随机变量X)． 【跟踪训练】　 4．(1)一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，X的分布列为 X 0 1 P a b 则a＝________，b＝________． 答案：　 解析：X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝.X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝. (2)已知一批200件的待出厂产品中，有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝， 所以P(X＝1)＝1－＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1.设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，所以p＝. 2．设随机变量Y的分布列为 Y －1 2 3 P m 则“≤Y≤”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵＋m＋＝1，∴m＝，∴P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 3．(多选)若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 则下列结论正确的是(　　) A．c＝ B．c＝ C．P(X＝0)＝ D．P(X＝1)＝ 答案：ACD 解析：根据离散型随机变量分布列的性质知解得c＝.故P(X＝0)＝9×－＝，P(X＝1)＝3－8×＝.故选ACD. 4．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是________． 答案：(1，2] 解析：由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]． 5．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列． 解：依题意，η的取值范围为{200，250，300}，且 P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. 所以η的分布列为 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用分布列的性质求参数 两点分布的概率计算 已知概率分布求给定区间的概率 利用分布列的性质求参数、概率计算 含多个参数的分布列的概率计算 已知分布列求满足特定条件的概率 利用分布列的性质列方程、不等式求概率 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 列出分布列求相应的概率 已知X的分布列，求f(X)的分布列 古典概型的概率计算及分布列求解 利用分布列的性质求参数、概率计算 利用概率的性质、均值不等式求最值 以立体几何为载体，求随机变量的分布列 相互独立事件的概率计算及分布列求解 一、选择题 1．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝i)＝a，i＝1，2，3，则a的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案：C 解析：∵随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝i)＝a，i＝1，2，3，∴根据分布列的性质有a×＋a×＋a×＝1，∴a＝. 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　) A．0 B. C. D. 答案：C 解析：设失败率为p，则成功率为2p，则ξ的分布列为 ξ 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1，得p＝，所以P(ξ＝0)＝. 3．设随机变量的概率分布为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4)，其中c为常数，则P＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，可得c＝，所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝×＝. 4．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 答案：ABD 解析：因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，所以a＝0.1，故A正确；由分布列，知P(X≥2)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，P(X≥3)＝0.2＋0.1＝0.3，P(X≤1)＝0.1＋0.2＝0.3，故B，D正确，C错误．故选ABD. 5．(多选)已知随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，c＝ab，则下列结论一定正确的是(　　) A．a＝ B．b＝ C．P(ξ＝1)＝ D．P(|ξ|＝1)＝ 答案：BD 解析：∵2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，∴b＝，又c＝ab，∴a＝，c＝.∴P(ξ＝1)＝，P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝a＋c＝2b＝.故选BD. 二、填空题 6．随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 则X为奇数的概率为________． 答案： 解析：X为奇数的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 7．若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X －1 1 P 4a－1 3a2＋a 则P(X＝1)＝________． 答案： 解析：由分布列的性质，得解得a＝.所以P(X＝1)＝3a2＋a＝3×＋＝. 8．一批产品分为一、二、三级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半．从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________． 答案： 解析：设二级产品有k个，则一级产品有2k个，三级产品有个，总数为，则ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以P＝P(ξ＝1)＝. 三、解答题 9．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列． 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而Y＝2X＋1的分布列为 Y 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)列表为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故η＝|X－1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (3)首先列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而ξ＝X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙两班)进行经典美文诵读比赛决赛，决赛通过随机抽签方式决定出场顺序． (1)求甲、乙两班恰好在前两个出场的概率； (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求随机变量X的分布列． 解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两个出场”为事件A， 则P(A)＝＝， 所以甲、乙两班恰好在前两个出场的概率为. (2)随机变量X的取值范围为{0，1，2，3，4}， 而且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 11．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)＝则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意知，p(0)＋p(1)＋p(2)＋p(3)＋p(4)＝1，则p(0)＝p(0)＝1，解得p(0)＝，即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B. 12．设随机变量X的取值范围为{1，2，…，n}，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1，2，…，n)，pi＝1，定义M(X)＝pipn＋1－i.若p1pn＝，则当n＝3时，M(X)的最大值为________． 答案： 解析：当n＝3时，p1p3＝，则M(X)＝pip4－i＝p1p3＋p2p2＋p3p1＝2p1p3＋p＝＋[1－(p1＋p3)]2，∵p1>0，p3>0，p1p3＝，∴p1＋p3≥2＝，当且仅当p1＝p3＝时，等号成立．∴≤p1＋p3<1，0<1－(p1＋p3)≤，∴M(X)≤＋＝，即M(X)的最大值为. 13．图1是一颗拥有完美正八面体晶形的钻石，其示意图如图2.设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝2. (1)求P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列． 解：(1)若2条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱， 所以共有6C对相交的棱， 所以P(ξ＝0)＝＝. (2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1， 由题意知，ξ的取值范围为{0，1，2}． 因为正八面体中，相互平行的棱一共有6对， 所以P(ξ＝1)＝＝， 所以P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－－＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 14.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记“甲、乙两人所付租车费用相同”为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为. (2)由题意可得，随机变量ξ的取值范围为{0，2，4，6，8}，且P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝6)＝×＋×＝，P(ξ＝8)＝×＝. 故随机变量ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 P 16 学科网（北京）股份有限公司 $