4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解离散型随机变量的概念． 教学重点：随机变量的概念、随机变量之间的关系． 教学难点：1.随机变量、离散型随机变量的意义.2.随机变量与事件的关系． 核心素养：1.通过学习随机变量的概念、离散型随机变量的概念培养数学抽象素养.2.通过求简单的离散型随机变量的概率提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　随机变量 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量． (2)随机变量的表示：随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示． (3)随机变量的取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． [点拨]　随机变量和函数都是一种对应，随机变量是随机试验结果到实数的对应，函数是实数到实数的对应，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． 知识点二　随机变量与事件的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1． 知识点三　离散(连续)型随机变量 所有可能的取值都是可以一一列举出来的随机变量，是离散型随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值． 知识点四　随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 1．(离散型随机变量的概念)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某电子元件的寿命 B．一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离 C．某种水管的外径与内径之差 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之积 答案：D 2．(随机变量的取值范围)甲进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围是________． 答案：{0，1，2，3} 3．(随机变量的取值表示的事件)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，记随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X＝2表示________． 答案：所选3人中有2名女生，1名男生 4．(随机变量之间的关系)已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的取值范围为{0，2，4}，则Y的取值范围为________． 答案：{0，1，2} 题型一　随机变量的概念 例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间某地区所查酒驾的人数； (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间． [解]　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，该地区所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．由于列车到站的时间是在某一范围内波动的，无法一一列出，故不是离散型随机变量． 【感悟提升】　随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． (2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量满足以上两点，则该变量即为随机变量． 特别地，如果确定试验结果所对应的实数可以一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【跟踪训练】　 1．指出下列变量哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)掷一个质地均匀的骰子，出现的点数； (2)某林场的树木最高达30 m，此林场中树木的高度； (3)某个人的属相； (4)测量某零件的长度产生的测量误差． 解：(1)掷一个骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量，也是离散型随机变量． (2)林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量． (3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量． (4)测量某零件的长度产生的测量误差是一个随机变量，一般在某一范围内波动，无法一一列出，故不是离散型随机变量． 题型二　随机变量与事件的关系 例2　从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，若用随机变量X表示所取卡片上的数字之和，写出随机变量X的取值范围，并说明这些取值所表示的随机试验的结果． [解]　X的取值范围为{3，4，5，6，7，8，9，10，11}． X＝3表示“取出标有1，2的两张卡片”； X＝4表示“取出标有1，3的两张卡片”； X＝5表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； X＝6表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； X＝7表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； X＝8表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； X＝9表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； X＝10表示“取出标有4，6的两张卡片”； X＝11表示“取出标有5，6的两张卡片”． [条件探究]　若用随机变量Y表示所取卡片上的数字之差的绝对值，那么Y的取值范围是什么？其中Y＝4表示什么含义？ 解：Y的取值范围是{1，2，3，4，5}．Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． 【感悟提升】　解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 【跟踪训练】　 2．盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X. (1)写出X的取值范围； (2)写出X＝1所表示的事件； (3)求X＝1的概率． 解：(1)X的取值范围为{0，1，2，3}． (2)X＝1表示的事件为“第一次取得次品，第二次取得正品”． (3)P(X＝1)＝＝. 题型三　随机变量之间的关系及应用 例3　某市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费，不足5分钟的部分按5分钟计)，这个司机一次接送旅客的行车路程X(单位：km，不足1 km的部分按1 km计)是一个随机变量，他收旅客的租车费Y(单位：元)也是一个随机变量． (1)求租车费Y关于行车路程X的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？ (3)若P(Y>182)＝0.23，求P(X≤90)的值． [解]　(1)依题意，得当0＜X≤4时，Y＝10；当X＞4时，Y＝2(X－4)＋10＝2X＋2， 综上，Y＝ (2)由38＝2X＋2，得X＝18， 5×(18－15)＝15. 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟． (3)因为Y>182⇔2X＋2>182⇔X>90， 所以P(X>90)＝P(Y>182)＝0.23， 所以P(X≤90)＝1－P(X>90)＝0.77. 【感悟提升】　一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量．也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量． 【跟踪训练】　 3．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每取到一个白球加5分，取到白球的个数为X，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y. (1)求X的取值范围； (2)求最终得分Y的取值范围； (3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)． 解：(1)由题意得，X的可能取值为0，1，2，3， 所以X的取值范围是{0，1，2，3}． (2)由题意可得Y＝5X＋6，而X的可能取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6，即Y的取值范围为{6，11，16，21}． (3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16， 所以P(Y>16)＝P(X>2)＝， 所以P(Y≤16)＝1－P(Y>16)＝1－＝. 1.(多选)下列变量中，是随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客数量 B．标准大气压下，水沸腾时的温度 C．抛掷两个骰子，所得点数之和 D．某网站内某歌曲每天被点击的次数 答案：ACD 解析：标准大气压下，水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量，其他选项均是随机变量．故选ACD. 2．袋中装有除颜色外均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4 答案：C 解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回5个球”即前5次都是取到黑球，第6次取到了红球，故X＝6.故选C. 3．第27届中国国际花卉园艺展览会于2025年4月10日至12日在上海新国际博览中心举行，在本届花卉园艺展览会的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，现从中任取1盆，以X表示取出的牡丹花的编号，则P(X>5)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵X的取值范围是{0，1，2，…，9}，且P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝9)＝，∴P(X>5)＝P(X＝6)＋P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＝＝. 4．已知随机变量X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}，且Y＝X－1，则Y的取值范围是________． 答案：{0，1，2，3，4，5} 解析：由于Y＝X－1，且X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}，故Y的取值范围是{0，1，2，3，4，5}． 5．将一个各面都涂了油漆的正方体切割为64个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取1个小正方体，记它的油漆面数为X，则P(X＝2)＝________，P(X>1)＝________． 答案：　 解析：依题意，原正方体每条棱上中间的2个小正方体2面涂有油漆，共有2×12＝24个，所以P(X＝2)＝＝.原正方体每个顶点处的小正方体3面涂有油漆，共有8个，所以P(X＝3) ＝＝，所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 随机变量的概念 随机变量的取值范围 随机变量的取值个数 随机变量的取值表示的事件 利用随机变量间的线性关系求概率 利用随机变量间的平方关系求概率 利用组合数公式求试验结果种数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 求含绝对值的随机变量的取值的概率 说明随机事件的取值表示的试验结果 随机变量之间的关系及应用 随机变量的取值表示的事件 求随机变量取不同值的概率 含绝对值的随机变量的简单应用 随机变量与相互独立事件的概率的综合 一、选择题 1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 答案：C 解析：A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也都是定值，而C中取到次品的件数的取值范围是{0，1，2}，是随机变量．故选C. 2．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置，则称有一个巧合，则排列中巧合的总数ξ的取值范围为(　　) A．{0，2，4} B．{0，1，2，4} C．{1，2，3，4} D．{2，4} 答案：B 解析：由题意，易知排列中巧合的总数ξ的取值范围为{0，1，2，4}． 3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X的所有可能值的个数是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 答案：C 解析：X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个． 4．(多选)抛掷两个骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件可能是(　　) A．一个是3点，一个是1点 B．两个都是2点 C．两个都是4点 D．一个是4点，一个是1点 答案：AB 解析：ξ＝4表示的事件是“一个是3点，一个是1点”或“两个都是2点”． 5．已知随机变量X的取值范围为{1，2，3}，且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，随机变量Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故选B. 二、填空题 6．已知P(X＝－2)＝0.2，P(X＝2)＝0.3，随机变量Y＝X2，则P(Y＝4)＝________． 答案：0.5 解析：由题意，事件Y＝4是X＝－2与X＝2的并事件，所以P(Y＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5. 7．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种． 答案：21 解析：ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个中选2个，有C＝21种试验结果． 8．已知P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝P(X＝4)＝0.3，则P(|2X－5|＝1)＝________． 答案：0.5 解析：依题意可知P(|2X－5|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.3＝0.5. 三、解答题 9．已知小王钱包中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示抽到的两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果． 解：X的取值范围是{6，11，15，21，25，30}． 其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”； X＝11表示“抽到的是1元和10元”； X＝15表示“抽到的是5元和10元”； X＝21表示“抽到的是1元和20元”； X＝25表示“抽到的是5元和20元”； X＝30表示“抽到的是10元和20元”． 10．某公司快递员的工资结构是“底薪＋送件提成”，每天底薪为70元，每送一件提成1元．从该公司任意抽取一名快递员，设其送件数为X，获得的日工资为Y元． (1)当X＝120时，求Y的值； (2)求该快递员日工资Y(单位：元)与送件数X的关系； (3)若P(Y≥220)＝0.8，求P(X<150)的值． 解：(1)当X＝120时，即快递员送了120件，结合题意有Y＝190. (2)由题意可得Y＝70＋X. (3)因为P(Y≥220)＝P(X≥150)＝0.8， 所以P(X<150)＝1－P(X≥150)＝1－0.8＝0.2. 11．甲、乙两队进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用ξ表示甲的得分，则ξ＝3表示(　　) A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 答案：D 解析：因为赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以ξ＝3可以分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1，所以ξ＝3表示甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．故选D. 12．某人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)＝________． 答案： 解析：X＝k表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，所以P(X＝k)＝××…××＝. 13．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|. (1)求X的取值范围； (2)写出每一个取值X表示的事件； (3)求P(X＝3)． 解：(1)因为x，y的可能取值为1，2，3，所以|x－2|＝0，1，|y－x|＝0，1，2，所以X＝0，1，2，3，所以X的取值范围为{0，1，2，3}． (2)用(x，y)表示第一次抽到卡片的号码为x，第二次抽到卡片的号码为y，则随机变量X取各值的意义如下： X＝0表示两次抽到卡片的编号都是2，即(2，2)； X＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)； X＝2表示(1，2)，(3，2)； X＝3表示(1，3)，(3，1)． (3)由(2)知，P(X＝3)＝. 14．红旗中学高二某班班会举行娱乐小游戏．游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质地均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6，则得10(i－3)分(i为3人的顺序编号，i＝1，2，3，若得分为负值即为扣分)，否则，得10i分，各人掷骰子的结果相互独立”．记游戏小组A一局游戏所得分数之和为X. (1)求X的取值范围； (2)求游戏小组A一局游戏得分X>0的概率． 解：(1)由条件可知， 当一组中三人都掷出1或6面向上时X的取值为－30， 当一组中两人掷出1或6面向上时，X的取值为0， 当一组中一人掷出1或6面向上时，X的取值为30， 当一组中都没有人掷出1或6面向上时，X的取值为60， 故X的取值范围为{－30，0，30，60}． (2)掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为＝，向上的面不是1或6的概率为＝. 则P(X＝30)＝××＋××＋××＝，P(X＝60)＝××＝. 故游戏小组A一局游戏得分X>0的概率为P(X>0)＝P(X＝30)＋P(X＝60)＝＋＝. 12 学科网（北京）股份有限公司 $