3.1.3 第1课时 组合与组合数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“组合与组合数”第1课时，核心内容包括组合的概念、组合数定义及公式（乘积式与阶乘式），并涉及简单应用。课堂导入通过“想一想”对比排列与组合的异同，衔接已学排列知识，搭建从有序排列到无序组合的认知支架，帮助学生理解概念本质。 资料特色在于以实例辨析（如班委会选举、球队比赛等）培养数学抽象素养，结合公式推导与应用（如解方程、证明恒等式）发展逻辑推理和数学运算素养。习题分层设计（基础题占60%等），涵盖概念辨析、公式计算、实际应用等题型，助力学生逐步掌握知识，提升解决问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 RJ 3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式． 教学重点：理解组合的概念、组合数公式． 教学难点：利用组合数公式解决一些简单的实际问题． 核心素养：1.通过组合、组合数概念的学习培养数学抽象素养.2.通过组合数公式的学习培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． [想一想]　排列与组合有什么相同点和不同点？ 提示：排列与组合的相同点是从n个不同对象中任取m个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序并成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列． 知识点二　组合数与组合数公式 组合数定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示法 C 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 规定：C＝1． 1．(组合的概念)下列问题中，组合问题的个数是(　　) ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取两个数求差或商． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2．(组合数公式)计算2C＋A的值是(　　) A．62 B．102 C．152 D．540 答案：A 3．(组合数公式的简单应用)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 答案：20 题型一　组合的概念 例1　给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一项工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两项不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ [解]　(1)2名学生完成的是同一项工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两项不同的工作，有顺序，是排列问题． (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题． 【感悟提升】　辨析排列问题、组合问题的切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的对象中取出m(m≤n)个不同的对象即可． (2)只要两个组合中的对象完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【跟踪训练】　 1．判断下列问题是排列问题，还是组合问题： (1)从集合A＝{－1，－7，10，8，6，4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1，－7，10，8，6，4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ (4)3人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种不同的安排方法？ 解：(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题． (2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题． (3)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． (4)3人去做5种不同的工作，每人做1种，与顺序有关，是排列问题． 题型二　组合数公式 例2　(1)计算：C－CA. [解]　原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)已知－＝，求C. [解]　原方程可化为 －＝， 即－ ＝， 即1－＝， 即m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)． 所以C＝C＝28. 【感悟提升】　使用组合数公式的注意点 (1)像排列数公式一样，公式 C＝一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等． (2)在解决与组合数C有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m∈N，n∈N＋”的运用． (3)要注意公式A mn＝CA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程． 【跟踪训练】　 2．(1)求值：C＋C. 解：由解得4≤n≤5. 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5. 当n＝4时，原式＝C＋C＝5； 当n＝5时，原式＝C＋C＝16. (2)求证：C＝C. 证明：因为C＝， C＝· ＝， 所以C＝C. 题型三　组合数公式的简单应用 例3　(1)书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为(　　) A．7 B．12 C．21 D．42 [解析]　由题意可知，不同的取法种数为C＝＝21.故选C. [答案]　C (2)从甲、乙等6名同学中随机选4名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的情况有________种． [解析]　除了甲、乙之外还有4名同学，从中再选2名同学，所以甲、乙都入选的情况有C＝6种． [答案]　6 【感悟提升】　求解简单组合问题的思路 (1)弄清要做的这件事是什么事． (2)看选取出的对象之间是否与顺序有关，也就是判断是否是组合问题． (3)利用组合数公式求出结果． 【跟踪训练】　 3．一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是C＝10. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是C＝6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是C＝4. 1.(多选)下列问题是组合问题的是(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2026个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？ D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 答案：ABC 解析：组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，易知A，B，C均是组合问题；D项中选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两种不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题．故选ABC. 2．计算C＋C＋C＋C＝(　　) A．34 B．35 C．36 D．37 答案：A 解析：C＋C＋C＋C＝＋＋＋＝3＋6＋10＋15＝34.故选A. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A．720种 B．120种 C．86400种 D．30种 答案：B 解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，所以分法有C＝＝120种．故选B. 4．若C>C，则n的取值集合是________． 答案：{6，7，8，9} 解析：∵C>C，∴⇒⇒∵n∈N＋，∴n＝6，7，8，9，∴n的取值集合为{6，7，8，9}． 5．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为________． 答案：28 解析：由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需建公路的条数为C＝＝28. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 组合的概念 利用排列数、组合数公式计算 与数字有关的组合问题 根据组合数公式计算古典概型问题 根据排列数公式、组合数公式判断等式是否成立 利用排列数、组合数公式计算 根据排列数、组合数公式解方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 与分组有关的组合问题 与数字有关的组合问题 根据组合数、排列数公式计算、解方程 组合数解决集合子集的问题 几何中的组合问题 根据组合数公式求值、解不等式 根据组合数公式证明恒等式 一、选择题 1．下列问题属于组合问题的是(　　) A．从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习 B．从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上 C．某同学从4门课程中选修2门 D．从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员 答案：C 解析：从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，属于排列问题；从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，属于排列问题；某同学从4门课程中选修2门与顺序无关，属于组合问题；从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员与顺序有关，属于排列问题．故选C. 2．A－C＝(　　) A．63 B．10 C．21 D．0 答案：C 解析：由题意得A－C＝7×6－＝21.故选C. 3．从2，3，…，8中任意取三个不同的数字组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为(　　) A．35 B．42 C．105 D．210 答案：A 解析：由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝35. 4．正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：正六边形六个顶点中任取四个点，不同的方法共有C＝15种，在如图所示的正六边形A1A2A3A4A5A6中，显然四边形A1A2A3A4，A1A2A3A6，A1A2A5A6，A1A4A5A6，A2A3A4A5，A3A4A5A6是等腰梯形，共6个，所以正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是＝.故选D. 5．(多选)下列四个式子正确的是(　　) A．C＝ B．A＝nA C．C÷C＝ D．C＝C 答案：ABD 解析：对于A，显然正确；对于B，A＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故B正确；对于C，C÷C＝＝＝，故C错误；对于D，C＝＝＝C，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．C－A＝________． 答案：45 解析：C－A＝－5×4×3＝－60＝105－60＝45. 7．若A＝6C，则m的值为________． 答案：7 解析：由A＝6C，得＝6·，即＝，解得m＝7. 8．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有__________种． 答案：56 解析：从8名同学中选5人学习电脑，其余3人做生物实验，则不同的安排方法有C＝56种． 三、解答题 9．世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，“哥德巴赫猜想”仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．“哥德巴赫猜想”描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法有多少种？ 解：依题意，不超过20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19， 从中随机选取两个不同的数，其和为偶数，即从3，5，7，11，13，17，19中任取两个， 所以不同的选法种数是C＝21. 10．(1)计算：3C－2C＋C； (2)解方程：3C＝5A. 解：(1)3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149. (2)原方程可化为3·＝5·， 则＝，即(x－3)(x－6)＝40， ∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2. 又且x∈N＋，即x≥7，且x∈N＋， ∴方程的根为x＝11. 11．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}，若存在ai，aj∈A，使得|ai－aj|＝1，则集合A的个数为(　　) A．70 B．65 C．60 D．50 答案：B 解析：因为A＝{a1，a2，a3，a4}⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以集合A共有C＝＝70个，设∀ai，aj∈A，|ai－aj|≠1，则这样的集合有{1，3，5，7}，{1，3，5，8}，{1，3，6，8}，{1，4，6，8}，{2，4，6，8}，共5个，所以若存在ai，aj∈A，使得|ai－aj|＝1，则集合A的个数为70－5＝65.故选B. 12．已知正方形ABCD的中心为点O，以A，B，C，D，O中三个点为顶点的三角形共有________个． 答案：8 解析：根据题意，如图，在A，B，C，D，O中，任取三个点，有C＝10种取法，其中不能构成三角形的有A，O，C和B，O，D两种取法，则以A，B，C，D，O中三个点为顶点的三角形共有10－2＝8个． 13．(1)设x∈N＋，求C＋C的值； (2)解不等式：C＜C＜C. 解：(1)由题意可得 解得2≤x≤4， ∵x∈N＋，∴x＝2或x＝3或x＝4， 当x＝2时，原式＝1＋C＝4； 当x＝3时，原式＝C＋C＝7； 当x＝4时，原式＝C＋C＝11. ∴所求式的值为4或7或11. (2)原不等式可化为 ＜ ＜ 由题意可知，4≤x≤20且x∈N＋， ∴ ⇒⇒x＜11，∴4≤x<11. 又x∈N＋，∴x＝4，5，6，7，8，9，10. ∴原不等式的解集是{4，5，6，7，8，9，10}． 14．已知m，n，k∈N＋，m≥k＋n，k≥n. (1)证明：CC＝CC； (2)证明：CC＝CC. 证明：(1)因为CC ＝· ＝， CC＝· ＝， 所以CC＝CC. (2)因为CC＝· ＝， CC＝· ＝， 所以CC＝CC. 11 学科网（北京）股份有限公司 $