5.2.2 导数的四则运算法则-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版）

第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.1　导数的四则运算法则 课程标准：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式和四则运算法则． 教学难点：函数的求导法则及其应用． 核心素养：通过学习导数的四则运算法则，提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 2．(利用导数的运算法则求切线方程)函数f(x)＝ex＋x的图象在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝ex＋1 D．y＝(e＋1)x＋1 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　利用导数的四则运算法则求函数的导数 核心素养形成 10 核心素养形成 11 【感悟提升】 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 (2)已知函数f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1，求f′(0)＋f(0)的值． 核心素养形成 14 题型二　利用导数的四则运算法则解决切线问题 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 【感悟提升】利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 2．(1)(2025·新课标卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝___． 4 解析：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 核心素养形成 19 (2)已知曲线C1：y＝ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y＝bx3上点P′(1，b)处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2，2)，求a，b的值及点P的坐标． 核心素养形成 20 角度 　 公切线问题 　(1)已知函数f(x)＝ex－ax＋b(a，b∈R)，g(x)＝x2＋x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a＋b＝________． e－4 核心素养形成 21 (2)已知曲线f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程． 核心素养形成 22 【感悟提升】 (1)解决共切点的公切线问题，关键是利用“该切点处的两个函数的导数相等”这一关系建立方程(组)求解． (2)对于不同切点的公切线问题，应分别设出两个切点，利用“公切线”这一特征，借助导数的几何意义，建立方程(组)求解． 核心素养形成 23 核心素养形成 24 (2)曲线f(x)＝2＋ln x与g(x)＝ex的公切线的斜率为______． 1或e 核心素养形成 25 题型三　导数四则运算法则的实际应用 核心素养形成 26 【感悟提升】利用导数公式及四则运算处理实际问题时，需根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 2．曲线f(x)＝ex＋x＋1在x＝0处的切线方程为(　　) A．x－y＋2＝0 B．ex－y＋2＝0 C．2x－y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0 解析：由已知，得f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝2，即切线的斜率k＝2，又f(0)＝2，所以所求切线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.故选C. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 解析：由题意，得s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，得t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0，4，8.故选ACD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 4．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝____． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用导数的乘法法则求导 导数加法法则的应用；利用导数求曲线在某点处的切线方程 导数乘法法则的应用；已知导函数解析式求参数值 解析式中含导数的函数求导问题 由两曲线的公切线求参数值 利用导数的除法法则求导数值 利用导数的 减法法则求 导数值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用导数减法法则解决与切线有关的最值问题 利用导数的运算法则求导 已知切线方程求参数值；导数加法法则的应用 导数加法和除法法则的应用；利用导数求切线方程 由两曲线的公切线求参数值 待定系数法求函数解析式；利用导数的运算法则求导 已知切线斜率与切点坐标求参数值；由切点求切线斜率的取值范围 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 解析：f′(x)＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 3．已知函数f(x)＝axa＋b的导函数为f′(x)＝12x3，则(　　) A．b(a＋b)＝12 B．a(a＋b)＝36 C．a＝3，b＝1 D．a＝1，b＝3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝3t3－5t2＋5，则t＝2时，汽车的加速度是____． 解析：设汽车的速度函数为v(t)，则v(t)＝s′(t)＝9t2－10t，v′(t)＝18t－10，所以t＝2时，汽车的加速度是v′(2)＝18×2－10＝26. 26 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 8．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为____． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 12．若直线l：y＝x＋m是曲线y＝ex和曲线y＝x2＋a的一条公切线，则a＝___． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 13．求满足下列条件的函数f(x)的解析式： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 (2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，得 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使方程对任意x都成立， 则需a＝b，b＝2c，c＝1，所以a＝2，b＝2， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　导数的四则运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[f(x)±g(x)]′＝__________． 对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数，我们有如下法则： [f(x)g(x)]′＝_______________；eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________ (g(x)≠0)． 由函数的乘积的导数法则可以得出[cf(x)]′＝c′f(x)＋cf′(x)＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[cf(x)]′＝______． eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2) [说明]　(1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′≠eq \f(f′（x）,g′（x）). (4)当f(x)＝1，g(x)≠0时，eq \f(f（x）,g（x）)＝eq \f(1,g（x）)，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,g（x）)))′＝－eq \f(g′（x）,[g（x）]2). 1．(导数的四则运算法则)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．(5ln 2)′＝eq \f(5,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5x)))′＝eq \f(1－xln 5,5x) D．(xex)′＝ex 3．(利用导数的运算法则求值)已知f(x)＝eq \f(cosx,x)，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝______． 4．(导数的运算法则在实际中的应用)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq \f(3,t)(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s时的瞬时速度为______ m/s. －eq \f(3,π) eq \f(125,16) 解　①y＝eq \f(2,x2)＋eq \f(3,x3)＝2x－2＋3x－3，y′＝－4x－3－9x－4. ②y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10. ③y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋eq \f(cosx,x). ④y′＝eq \f(（x2）′·sinx－x2·（sinx）′,sin2x)＝eq \f(2xsinx－x2cosx,sin2x). ①y＝eq \f(2,x2)＋eq \f(3,x3)；②y＝x3·10x；③y＝cosx·ln x；④y＝eq \f(x2,sinx). (2)已知f(x)＝eq \f(1,3)x3－f′(1)x2＋x＋5，求f′(1)的值． 解　因为f′(x)＝eq \f(1,3)×3x2－f′(1)×2x＋1＝x2－2f′(1)x＋1， 令x＝1，得f′(1)＝1－2f′(1)＋1，则f′(1)＝eq \f(2,3). 【跟踪训练】 1．(1)求下列函数的导数： ①y＝x2＋log3x；②y＝eq \f(1,ex)－2lg x；③y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；④y＝eq \r(x)＋tanx. 解：①y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq \f(1,xln 3). ②y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)－2lg x))′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)))′－2(lg x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) eq \s\up12(x)×lneq \f(1,e)－2×eq \f(1,xln 10)＝－eq \f(1,ex)－eq \f(2,xln 10). ③∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. ④y′＝(eq \r(x)＋tanx)′＝(eq \r(x))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq \f(1,2\r(x))＋eq \f(cos2x－sinx（－sinx）,cos2x)＝ eq \f(1,2\r(x))＋eq \f(1,cos2x). 解：∵f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1，∴f(0)＝e0－1＝0， 又f′(x)＝3f′(0)＋2x＋ex， 令x＝0，得f′(0)＝3f′(0)＋2×0＋e0， 解得f′(0)＝－eq \f(1,2)，∴f′(0)＋f(0)＝－eq \f(1,2). 角度 (ex,x＋1) 　(1)曲线y＝在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为(　　) A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4) 解析　设曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝k(x－1)，因为y＝eq \f(ex,x＋1)，所以y′＝eq \f(ex（x＋1）－ex,（x＋1）2)＝eq \f(xex,（x＋1）2)，所以k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)，所以y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)，即y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4)，所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4).故选C. (2)已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)－ax2，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＋1＝0平行，则a＝(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 解析　函数f(x)＝eq \f(ln x,x)－ax2的导数f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)－2ax，可得曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝1－2a，由切线与直线2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－eq \f(1,2).故选A. 解：设P(t，at2)，则l1的斜率为k1＝2at，l1的方程为y－at2＝2at(x－t)． 又l2的斜率为k2＝3bx2|x＝1＝3b，∴l2的方程为y－b＝3b(x－1)． ∵l1⊥l2且交点为M(2，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－at2＝2at（2－t），,2－b＝3b（2－1），,k1k2＝2at·3b＝－1，)) ∴t＝10，a＝－eq \f(1,30)，b＝eq \f(1,2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，－\f(10,3))). 解析　因为f(x)＝ex－ax＋b(a，b∈R)，g(x)＝x2＋x，所以f′(x)＝ex－a，g′(x)＝2x＋1，因为f(x)，g(x)的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝g′（1），,f（1）＝2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e－a＝3，,e－a＋b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝e－3，,b＝－1，))所以a＋b＝e－4. 解　设公切线与曲线f(x)相切于点(m，em－1)，与曲线g(x)相切于点(n，ln n＋1)． 因为f′(x)＝ex，g′(x)＝eq \f(1,x)，则公切线的斜率k＝em＝eq \f(1,n)， 所以公切线方程为y－em＋1＝em(x－m)或y－ln n－1＝eq \f(1,n)(x－n)， 整理，得y＝emx－(m－1)em－1或y＝eq \f(1,n)x＋ln n，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(em＝\f(1,n)，,（m－1）em＋1＝－ln n，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－ln n，,（m－1）em＋1＝－ln n，))所以(m－1)em＋1－m＝(m－1)(em－1)＝0， 解得m＝1或m＝0. 所以曲线f(x)与g(x)的公切线方程为ex－y－1＝0或x－y＝0. 解析：因为点(1，3)在抛物线x2＝eq \f(1,3)y上，所以函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的图象在点(1，3)处的切线也是抛物线x2＝eq \f(1,3)y的切线，因为f(x)＝ax＋eq \f(b,x)，则f′(x)＝a－eq \f(b,x2)，则函数f(x)的图象在点(1，3)处的切线的斜率为k1＝f′(1)＝a－eq \f(b,12)＝a－b，由x2＝eq \f(1,3)y，得y′＝6x，则其在点(1，3)处的切线的斜率为k2＝6，又k1＝k2，所以a－b＝6.故选C. 【跟踪训练】 3．(1)若函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的图象在点(1，3)处的切线也是抛物线x2＝eq \f(1,3)y的切线，则a－b＝(　　) A．1 B．3 C．6 D．2 解析：不妨设公切线与曲线f(x)＝2＋ln x的切点为(x1，y1)，与曲线g(x)＝ex的切点为(x2，y2)，易知f′(x)＝eq \f(1,x)，g′(x)＝ex，由公切线的斜率，得eq \f(1,x1)＝ex2，即x1ex2＝1，故ln (x1ex2)＝0，即ln x1＋x2＝0，又易知eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(ex2－ln x1－2,x2－x1)＝eq \f(1,x1)，整理，得x1ex2－x1ln x1－2x1＝x2－x1，即1－x1ln x1－x1＝－ln x1，整理，得(1＋ln x1)(1－x1)＝0，解得x1＝1或x1＝eq \f(1,e)，因此两曲线公切线的斜率为1或e. 解析　稀释费用的瞬时变化率就是稀释费用函数的导数，因为c(x)＝eq \f(36000,x－20)(60<x<100)，所以c′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36000,x－20)))′＝eq \f(－36000,（x－20）2)，又因为c′(80)＝eq \f(－36000,（80－20）2)＝－10，所以稀释到浓度为80%时所需稀释费用的瞬时变化率是－10元/t.故选B. (36000,x－20)INCLUDEPICTURE"灰例4.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\565数学（选择性必修第二册导学案（A版\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\565数学（选择性必修第二册导学案（A版\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\565数学（选择性必修第二册导学案（A版\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\565数学（选择性必修第二册导学案（A版\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知1 t某溶液稀释到浓度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(60<x<100)，那么稀释到浓度为80%时所需稀释费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/t B．－10元/t C．10元/t D．40元/t 【跟踪训练】 4．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝eq \f(1,3)t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s B．6 cm/s C．8 cm/s D．10 cm/s 解析：由h＝eq \f(1,3)t3＋t2，求导，得h′＝t2＋2t.当t＝t0时，有h′|t＝t0＝teq \o\al(2,0)＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/s.故选C. 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,x2)))′＝eq \f(（sinx）′－（x2）′,x2) D．(cosxsinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx 解析：对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故A正确；对于B，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，故B错误；对于C，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,x2)))′＝eq \f(（sinx）′x2－sinx（x2）′,（x2）2)，故C错误；对于D，(cosxsinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，故D错误． 3．(多选)已知物体的运动方程是s＝eq \f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　) A．0秒 B．2秒 C．4秒 D．8秒 解析：∵f′(x)＝1＋ln x＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e). －eq \f(1,e) 5．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为___． 解析：∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1，∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cosx＋sinx，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1. 一、选择题 1．已知函数f(x)＝exsinx，则f′(x)＝(　　) A．excosx B．exsinx C．ex(sinx－cosx) D．ex(sinx＋cosx) 2．曲线y＝eq \f(1,x)＋2在点(1，3)处的切线方程为(　　) A．x＋y－4＝0 B．x－y＋2＝0 C．3x－y＝0 D．3x－y＋1＝0 解析：因为y＝eq \f(1,x)＋2，所以y′＝－eq \f(1,x2)，故y′|x＝1＝－1，故曲线y＝eq \f(1,x)＋2在点(1，3)处的切线方程为y－3＝－(x－1)，整理，得x＋y－4＝0.故选A. 解析：由f(x)＝axa＋b，可得f′(x)＝a(a＋b)xa＋b－1，因为f′(x)＝12x3，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＋b）＝12，,a＋b－1＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))故选C. 4．(多选)若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2－3f′(1)x＋m(m∈R)，则(　　) A．f′(1)＝eq \f(1,2) B．f′(0)＝－eq \f(3,2) C．f(0)＜f(1) D．f(0)＞f(1) 解析：因为f(x)＝x2－3f′(1)x＋m(m∈R)，所以f′(x)＝2x－3f′(1)，所以f′(1)＝2－3f′(1)，即f′(1)＝eq \f(1,2)，所以f′(x)＝2x－eq \f(3,2)，f(x)＝x2－eq \f(3,2)x＋m，所以f′(0)＝－eq \f(3,2)，f(0)＝m，f(1)＝1－eq \f(3,2)＋m＝m－eq \f(1,2)，所以f(0)＞f(1)．故选ABD. 5．(多选)已知曲线f(x)＝2ln x－1在点(1，f(1))处的切线也是曲线y＝x2＋ax的切线，则a的值可以是(　　) A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C．2－2eq \r(3) D．2＋2eq \r(3) 解析：因为f′(x)＝eq \f(2,x)，所以f′(1)＝2，又f(1)＝－1，所以曲线f(x)＝2ln x－1在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3.设直线y＝2x－3与曲线y＝x2＋ax相切于点(x0，xeq \o\al(2,0)＋ax0)，则y′|x＝x0＝2x0＋a，所以2x0＋a＝2，xeq \o\al(2,0)＋ax0＝2x0－3，解得x0＝±eq \r(3)，则a＝2－2x0＝2±2eq \r(3).故选CD. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)，则f′(1)＝___． 解析：因为f′(x)＝eq \f(（ex）′x－ex（x）′,x2)＝eq \f(ex（x－1）,x2)(x≠0)，所以f′(1)＝0. 解析：作直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，xeq \o\al(2,0)－ln x0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－eq \f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq \f(1,2)(舍去)，∴点P的坐标为(1，1)，∴dmin＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2). eq \r(2) 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)f(x)＝－2x3＋4x2；(2)f(x)＝xex；(3)f(x)＝xsinx＋cosx；(4)f(x)＝eq \f(x＋1,x－1). 解：(1)由f(x)＝－2x3＋4x2，得f′(x)＝－6x2＋8x. (2)由f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex. (3)由f(x)＝xsinx＋cosx，得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx. (4)由f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，得f′(x)＝eq \f(x－1－（x＋1）,（x－1）2)＝－eq \f(2,（x－1）2). 解：∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1.又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点坐标为(1，－1)，∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝eq \f(5,2)，c＝－eq \f(9,2). ∴f(x)＝eq \f(5,2)x4－eq \f(9,2)x2＋1. 11．(全国卷)设函数f(x)＝eq \f(ex＋2sinx,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3) 解析：f′(x)＝eq \f(（ex＋2cosx）（1＋x2）－（ex＋2sinx）·2x,（1＋x2）2)，则f′(0)＝ eq \f(（e0＋2cos0）（1＋0）－（e0＋2sin0）×0,（1＋0）2)＝3，故该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－eq \f(1,3)，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,6).故选A. 解析：由y＝ex，得y′＝ex，令ex＝1，得x＝0，将x＝0代入y＝ex，得y＝1.故直线l与曲线y＝ex相切于点(0，1)．故直线l的方程为y＝x＋1.设直线l与曲线y＝x2＋a相切于点(x0，xeq \o\al(2,0)＋a)，则由y＝x2＋a，得y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝1，xeq \o\al(2,0)＋a＝x0＋1，解得x0＝eq \f(1,2)，a＝eq \f(5,4). eq \f(5,4) 解： (1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0， 可建立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝－3，,12a＋4b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，)) 所以f(x)＝x3－3x2＋3. 14．已知函数f(x)＝eq \f(ax,x2＋b)，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝eq \f(a（x2＋b）－2x·ax,（x2＋b）2)＝eq \f(ab－ax2,（x2＋b）2). ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝0，,f（1）＝2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ab－a,（1＋b）2)＝0，,\f(a,1＋b)＝2.)) ∴a＝4，b＝1，∴f(x)＝eq \f(4x,x2＋1). (2)∵f′(x)＝eq \f(4－4x2,（x2＋1）2)， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝2,0)eq \f(4－4x,（xeq \o\al(2,0)＋1）2) ＝42,0)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,（x＋1）2)－\f(1,xeq \o\al(2,0)＋1))) . 令t＝2,0)eq \f(1,x＋1) ，则t∈(0，1]，k＝4(2t2－t)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)， ∴k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))， 即直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)). $