5.2.2导数的四则运算法则课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2　导数的四则运算法则 第五章 一元函数的导数及其应用 问题引入 古希腊欧几里得在《几何原本》中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁《神曲》中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美． 导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！ 上节课我们学习了基本初等 函数的求导公式，如果我们 遇到由基本初等函数经过加 减乘除组合而成的复杂函数 的求导又如何处理呢？ 新知探索 导数的四则运算法则 问题 设𝑓(𝑥)=，𝑔(𝑥)=𝑥，计算[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]′ 与[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)] ′，它们与[𝑓(𝑥)]′和[𝑔(𝑥)]′有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 答案 设，因为 === == 而= , = ,所以=+ 同样地，对于上述函数，= 新知探索 导数的四则运算法则 梳理　 (1)和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝ . ②[cf(x)]′＝ . (3)商的导数 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 典例精析 题型一：导数的计算 例1　求下列函数的导数. (1)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x； 解　 (1) y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′ ＝6x＋cos x－xsin x. (3) y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ 典例精析 题型一：导数的计算 例1　求下列函数的导数. (1)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x； 典例精析 题型一：导数的计算 反思与感悟　 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时， 要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将 函数表达式展开或化简，然后再求导． 典例精析 题型二：利用导数求函数解析式 典例精析 题型二：利用导数求函数解析式 反思与感悟　 确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数. 在求导时只要不含自变量的式子都视为常数. 典例精析 题型三：与切线有关的问题 例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程. 解　 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 典例精析 题型三：与切线有关的问题 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素. 其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 跟踪练习 √ 1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于( ) A.－2excos x B.－2exsin x C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x) 解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x). 跟踪练习 √ 故 跟踪练习 3.若函数f(x)＝ f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1. √ 跟踪练习 4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋ (a，b为常数)过点P(2，－5)， 且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是____. 则a＋b＝－3. －3 课堂小结 导数的 四则运算法则 公式的推导 四