5.1.2 第1课时 导数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念”，从平均变化率入手，通过定义解析、公式推导及注意点提示，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识，理解导数作为瞬时变化率的内涵。 其亮点在于结合沥青温度、蜥蜴体温等实际案例培养数学眼光，通过定义推导与极限计算发展数学思维，用建筑成本问题提升数学语言表达能力。题型分层且解析详尽，助力学生巩固，也为教师提供清晰教学路径。

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 课程标准：1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达.3.体会导数的内涵与思想． 教学重点：理解导数的概念． 教学难点：导数在实际问题中的意义． 核心素养：1.在学习导数定义的过程中，培养数学抽象素养.2.通过应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 核心概念掌握 5 可导 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 1.(求函数的平均变化率)如图，函数y＝f(x)从1到3的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 核心概念掌握 8 2．(导数的概念)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 核心概念掌握 9 1 1 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　求函数的平均变化率 已知函数y＝f(x)＝x2， (1)计算函数f(x)从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1； ③0.1；④0.01； (2)当Δx越来越小时，函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率有怎样的变化趋势？ 核心素养形成 12 核心素养形成 13 【感悟提升】求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的变化量Δx与函数值的变化量Δy，求平均变化率的主要步骤如下： 核心素养形成 14 4 核心素养形成 15 2＋Δx 核心素养形成 16 题型二　导数的概念及其应用 解析　由导数的定义式可知A，D正确．故选AD. 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 (4)已知函数f(x)＝mx3＋2，且f′(－1)＝3，求m的值． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 核心素养形成 22 (2)函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数为______． 16 核心素养形成 23 (3)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝_____． 1 核心素养形成 24 题型三　导数在实际问题中的意义 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的．铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为y＝f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1，求f′(0.25)，并说明它的实际意义． 核心素养形成 25 核心素养形成 26 【感悟提升】导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它在该处的瞬时变化率． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 随堂水平达标 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析：∵x0＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 ±2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 5．已知在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(rad)为φ(t)＝4t－0.3t2，则在t＝2 s时，飞轮转过的角度为______；在t＝______ s时，飞轮停止旋转． 6.8 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 求函数的平均变化率 导数定义的应用 利用定义求函数在某一点处的导数值 利用定义求函数在某一点处的导数 根据函数图象比较平均变化率的大小 已知函数的平均变化率求参数值 已知导数值求自变量的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 导数 的物 理意义 求函数在某一点处的导数 导数的定义及其在实际问题中的意义 根据函数图象比较平均变化率的大小 求函数 的瞬时 变化率 导数定义的应用 求实际问题中的平均变化率和瞬时变化率 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 一、选择题 1．已知函数f(x)＝2x2－x＋1，则f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为(　　) A．2 B．2Δx＋3 C．2(Δx)2＋3Δx D．2(Δx)2－Δx＋1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f(x)＝a B．f(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 5．(多选)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　) A．从1到2的平均变化率最小 B．从2到3的平均变化率大于0 C．从3到4的平均变化率比从2到3的平均变化率大 D．从4到7的平均变化率最大 解析：由函数图象可得，函数y＝f(x)从4到7的平均变化率小于0；从1到2、从2到3、从3到4的平均变化率均大于0且Δx相同，由图象可知函数从3到4的平均变化率最大．故选BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，则t＝______． 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝______． －1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 8．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在t＝1 s时的加速度为________． 8 m/s2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的 用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 解析：由题图可知，A，B两机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 16π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 14．有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1000 mL的水．活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm； (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？ 活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝_________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) 知识点二　y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处______，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). [提醒]　某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率，含有两层含义： (1) eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2) eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． [注意]　在导数的定义中，令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do15(x→x0)) eq \f(f(x)－f(x0),x－x0)与定义中的f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)意义相同． 3．(求函数在某点处的瞬时变化率)在曲线y＝eq \f(1,2)x2的图象上取一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))及其附近一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,2)＋Δy))，则eq \f(Δy,Δx)为________，瞬时变化率为______． eq \f(1,2)Δx＋1 4．(求函数在某点处的导数)若eq \o(lim,\s\do15(t→0)) eq \f(f(x0＋2t)－f(x0),t)＝2，则f′(x0)＝______． 解　(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f((Δx)2＋2Δx,Δx)＝Δx＋2. ①当Δx＝2时，eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝4. ②当Δx＝1时，eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝3. ③当Δx＝0.1时，eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝2.1. ④当Δx＝0.01时，eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝2.01. (2)当Δx越来越小时，由(1)eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2，得函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率逐渐变小，并趋近于2. 【跟踪训练】 1．(1)已知函数f(x)＝－eq \f(6,x)，则函数f(x)从1到1.5的平均变化率为______，从1到1.1的平均变化率为______． eq \f(60,11) 解析：∵f(x)＝－eq \f(6,x)，∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－eq \f(60,11)，∴函数f(x)从1到1.5的平均变化率为eq \f(f(1.5)－f(1),1.5－1)＝eq \f(2,0.5)＝4，从1到1.1的平均变化率为eq \f(f(1.1)－f(1),1.1－1)＝eq \f(－\f(60,11)＋6,0.1)＝eq \f(60,11). (2)在曲线y＝x2＋6上取一点(1，7)及邻近一点(1＋Δx，7＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)＝________． 解析：由题意可知eq \f(Δy,Δx)＝eq \f((1＋Δx)2＋6－12－6,Δx)＝eq \f(2Δx＋(Δx)2,Δx)＝2＋Δx. (1)(多选)函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(　　) A．f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) B．f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))[f(x0＋Δx)＋f(x0)] D．f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(x→x0))eq \f(f(x)－f(x0),x－x0) (2)若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),Δx)＝1，则f′(x0)＝(　　) A．0 B．1 C．3 D.eq \f(1,3) 解析　∵eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),Δx)＝1，∴3eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),3Δx)＝1，∴3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝eq \f(1,3).故选D. (3)求函数f(x)＝eq \r(x)在x＝1处的导数． 解　f′(1)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f((\r(1＋Δx)－1)(\r(1＋Δx)＋1),Δx(\r(1＋Δx)＋1))＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2). 解　∵f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋2－(－1)3m－2＝m(Δx)3－3m(Δx)2＋3mΔx， ∴eq \f(f(－1＋Δx)－f(－1),Δx)＝m(Δx)2－3mΔx＋3m， 当Δx→0时，m(Δx)2－3mΔx＋3m→3m， ∴f′(－1)＝3m＝3， ∴m＝1. 【感悟提升】 (1)判断一个函数在某点处是否可导就是判断该函数的平均变化率eq \f(Δy,Δx)当Δx→0时的极限是否存在． (2)利用导数定义求函数在x＝x0处的导数时，先算函数值的变化量Δy，再算比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)，再求极限f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). (3)导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中变化量统一为一种． 【跟踪训练】 2．(1)设eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(3＋Δx)－f(3－Δx),Δx)＝－6，则f′(3)＝(　　) A．－12 B．－3 C．3 D．12 解析：因为eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(3＋Δx)－f(3－Δx),Δx)＝2eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(3＋Δx)－f(3－Δx),2Δx)＝2f′(3)＝－6， 所以f′(3)＝－3.故选B. 解析：∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2(Δx)2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(2Δx＋16)＝16. 解析：∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，∴f′(1)＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(a(Δx)2＋2aΔx,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1. 解　因为y＝f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(0.25＋Δx)－f(0.25),Δx) ＝eq \f(80(0.25＋Δx)2＋20－(80×0.252＋20),Δx) ＝eq \f(40Δx＋80(Δx)2,Δx)＝40＋80Δx. 所以f′(0.25)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(40＋80Δx)＝40. 它表示在x＝0.25 h附近，沥青的温度以40 ℃/h的速率上升． 【跟踪训练】 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T′(5)，并解释它的实际意义． 解：(1)T(10)－T(0)＝eq \f(120,10＋5)＋15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15))＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为eq \f(T(10)－T(0),10－0)＝eq \f(－16,10)＝－1.6(℃/min)， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)eq \f(T(5＋Δt)－T(5),Δt) ＝eq \f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,5＋5)＋15)),Δt) ＝－eq \f(12,10＋Δt)， T′(5)＝eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,10＋Δt)))＝－1.2， 它表示在太阳落山后的5分钟左右，蜥蜴的体温每分钟大约降低1.2 ℃. 2．(多选)设f(x)在x0处可导，则下列式子中与f′(x0)相等的是(　　) A. eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0)－f(x0－2Δx),2Δx) B. eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－Δx),Δx) C. eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋2Δx)－f(x0＋Δx),Δx) D. eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－2Δx),Δx) 解析：对于A，eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0)－f(x0－2Δx),2Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0－2Δx＋2Δx)－f(x0－2Δx),2Δx)＝f′(x0)；对于B，eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－Δx),Δx)＝2eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0－Δx＋2Δx)－f(x0－Δx),2Δx)＝2f′(x0)；对于C，eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋2Δx)－f(x0＋Δx),Δx)＝f′(x0)；对于D，eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－2Δx),Δx)＝3eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0－2Δx＋3Δx)－f(x0－2Δx),3Δx)＝3f′(x0)．故选AC. 3．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－eq \r(x)，则f′(4)＝(　　) A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(3,4) C．－eq \f(3,16) D．－eq \f(5,16) 解析：f′(4)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(4＋Δx)－f(4),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\f(1,4＋Δx)－\r(4＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－2)),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋Δx)－\f(1,4)))－(\r(4＋Δx)－2),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\f(－Δx,4(4＋Δx))－\f(Δx,\r(4＋Δx)＋2),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1,4(4＋Δx))－\f(1,\r(4＋Δx)＋2)))＝－eq \f(5,16).故选D. 4．已知函数f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值为________． 解析：由于f′(m)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(m＋Δx)－f(m),Δx)＝－eq \f(2,m2)，于是有－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2. 解析：在t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(rad)．因为φ′(t)＝ eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \f(φ(t＋Δt)－φ(t),Δt)＝eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \f(4(t＋Δt)－0.3(t＋Δt)2－4t＋0.3t2,Δt)＝eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \f(4Δt－0.3(Δt)2－0.6t·Δt,Δt)＝eq \o(lim,\s\do15(Δt→0))(4－0.3Δt－0.6t)＝4－0.6t，又飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0，所以令4－0.6t＝0，解得t＝eq \f(20,3)，所以在t＝eq \f(20,3) s时，飞轮停止旋转． eq \f(20,3) 解析：函数f(x)＝2x2－x＋1从1到1＋Δx的平均变化率为eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝ eq \f([2(1＋Δx)2－(1＋Δx)＋1]－(2－1＋1),Δx)＝2Δx＋3.故选B. 2．若函数f(x)可导，则eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1－Δx)－f(1),2Δx)＝(　　) A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1) C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) 解析：eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1－Δx)－f(1),2Δx)＝－eq \f(1,2) eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1＋(－Δx))－f(1),－Δx)＝－eq \f(1,2)f′(1)．故选C. 解析：f(1)＝4，f′(1)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(3(1＋Δx)2＋1－4,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(6＋ 3Δx)＝6. 解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝a＋bΔx，∴f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(a＋bΔx)＝a.故选C. 解析：因为函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，所以eq \f(f(t)－f(－2),t－(－2))＝ eq \f((t2－t)－[(－2)2－(－2)],t＋2)＝2，解得t＝5. 解析：∵f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) ＝2,0)eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1. 解析：由题意，得eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(－(1＋Δt)2＋10(1＋Δt)＋1－10,Δt)＝8－Δt，当Δt无限趋近于0时，可得汽车在t＝1 s时的加速度为8 m/s2. 三、解答题 9．求函数f(x)＝eq \r(x＋1)在x＝x0(x0>－1)处的导数． 解：f(x)＝eq \r(x＋1)， 则f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\r(x0＋Δx＋1)－\r(x0＋1),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx＋1－(x0＋1),Δx(\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1)))＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1))＝eq \f(1,2\r(x0＋1)). 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝eq \f(x,10)＋eq \f(\r(x),10)＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解：根据导数的定义，得 f′(100)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(100＋Δx)－f(100),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(100＋Δx＋\r(100＋Δx)＋3－(100＋\r(100)＋3),10Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋Δx)－10,10Δx))) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10(\r(100＋Δx)＋10)))) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,10×(10＋10))＝0.105. f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米． 12．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝eq \f(4πr3,3)，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为_______． 解析：∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝eq \f(4π(2＋Δr)3,3)－eq \f(4π×23,3)＝eq \f(4π·Δr[12＋6Δr＋(Δr)2],3)，∴eq \f(ΔV,Δr)＝eq \f(4π,3)[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴eq \o(lim,\s\do15(Δr→0)) eq \f(ΔV,Δr)＝16π. 13．(1)若函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，求eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0＋5Δx),Δx)的值； (2)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，求eq \o(lim,\s\do15(k→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)k))－f(x0),2k)的值． 解：(1) eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0＋5Δx),Δx) ＝－eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋5Δx－Δx)－f(x0＋5Δx),－Δx)＝－f′(x0)． (2) eq \o(lim,\s\do15(k→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)k))－f(x0),2k)＝eq \o(lim,\s\do15(k→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)k))－f(x0),－\f(1,2)k)))＝－eq \f(1,4)f′(x0)＝eq \f(1,2). 解：(1)由水的体积恒定不变，有10xy＝1000，∴y＝eq \f(100,x)(1≤x≤200)． (2)当活塞与左侧面的距离为1 cm时，y1＝eq \f(100,1)＝100(cm)， 当活塞与左侧面的距离为2 cm时，y2＝eq \f(100,2)＝50(cm)， ∴水面高度的改变量为Δy＝y2－y1＝50－100＝－50(cm)． 当活塞与左侧面的距离为8 cm时，y3＝eq \f(100,8)＝12.5(cm)， 当活塞与左侧面的距离为10 cm时，y4＝eq \f(100,10)＝10(cm)， ∴水面高度的改变量为Δy＝y4－y3＝10－12.5＝－2.5(cm)． 可见，前一个过程水面高度的变化较快． (3)根据瞬时变化率的含义，有y′|x＝10＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(\f(100,10＋Δx)－\f(100,10),Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,10＋Δx)))＝－1. 即当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率为－1. $