第五章 一元函数的导数及其应用 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案以“导数及其应用”为核心，围绕导数的几何意义、函数单调区间、极值与最值、函数零点、不等式及实际问题六大主题，设计“概念梳理-例题解析-应用拓展”的递进式学习任务，引导学生从导数的基础应用逐步过渡到综合问题的解决，构建完整的知识体系。 亮点在于“问题驱动”的分层探究设计，如“过原点切线方程求解”任务培养数学思维（推理能力、运算能力），“垃圾处理厂影响度优化”项目发展数学语言（模型观念、应用意识）。设置“堵点自记”区帮助学生诊断薄弱环节，为教师提供单元复习的结构化教学方案，既支持学生深度学习，又为教师实施分层教学提供清晰指导。

数学　选择性必修 第二册 RJ 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、导数几何意义的应用 利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (2)若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)，得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值， 即可求出过点P(x0，y0)的切线方程． 已知曲线f(x)＝x3－2x2＋x. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，2)处的切线方程； (2)求曲线y＝f(x)过原点O的切线方程． [解]　(1)由题意，得f′(x)＝3x2－4x＋1，f′(2)＝5，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，2)处的切线方程为y－2＝5(x－2)，整理，得5x－y－8＝0. (2)令切点为(x0，y0)，因为切点在曲线f(x)上，所以y0＝x－2x＋x0，f′(x0)＝3x－4x0＋1，所以曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－(x－2x＋x0)＝(3x－4x0＋1)·(x－x0)． 因为切线过原点，所以0－(x－2x＋x0)＝(3x－4x0＋1)(0－x0)，解得x0＝0或x0＝1. 当x0＝0时，切点为(0，0)，f′(0)＝1，切线方程为y＝x； 当x0＝1时，切点为(1，0)，f′(1)＝0，切线方程为y＝0. 故所求切线方程为y＝x或y＝0. 二、求函数的单调区间 准确求出导函数并在函数的定义域内准确地解不等式f′(x)>0或f′(x)<0是求函数单调区间的基础，如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”“或”连接，而只能用逗号“，”或者“和”字隔开． 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1(x>0)， 则f′(x)＝1－＝， ∵当x>1时，f′(x)>0， ∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)∵g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝2ax＋2－a－＝ ＝(a<0)， 令g′(x)＝0，得x1＝，x2＝－>0， ①当－>，即－2<a<0时， 若0<x<或x>－，则g′(x)<0； 若<x<－，则g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为和，单调递增区间为； ②当－＝，即a＝－2时，g′(x)≤0，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； ③当0<－<，即a<－2时， 若0<x<－或x>，则g′(x)<0； 若－<x<，则g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为和，单调递增区间为. 综上，当－2<a<0时，函数g(x)的单调递减区间为和，单调递增区间为； 当a＝－2时，函数g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a<－2时，函数g(x)的单调递减区间为和，单调递增区间为. 三、求函数的极值与最值 设f(x)是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数，则求f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤如下： (1)求f′(x)＝0在区间(a，b)内的根，即导数为0的点．导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的f′(x)的符号．若左正右负，则该点为极大值点；若左负右正，则该点为极小值点；若符号相同，则为非极值点．求出这些导数为0的点的函数值； (2)求f(x)在闭区间[a，b]两端点处的函数值，即f(a)与f(b)； (3)将导数为0的点的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值． 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1处取得极小值，在x＝处取得极大值． (1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程； (2)求函数f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值． [解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 因为－1，分别是函数f(x)的极小值点、极大值点， 所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根． 所以a＝－1＋，－＝(－1)×， 于是a＝－，b＝2，经检验知符合题意， 则f(x)＝－x3－x2＋2x，f′(x)＝－3x2－x＋2， 当x＝－2时，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8， 故所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)， 即8x＋y＋14＝0. (2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 2 单调递减 － 单调递增 单调递减 则函数f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－. 四、导数与函数零点(方程根)问题 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，利用数形结合的思想方法直观求解． 已知函数f(x)＝ax3－9x＋1，a∈R. (1)若a＝3，求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为a＝3，所以f(x)＝3x3－9x＋1，f′(x)＝9x2－9＝9(x－1)(x＋1)， 所以当x<－1或x>1时，f′(x)>0， 当－1<x<1时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)内单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝7，极小值为f(1)＝－5. (2)f′(x)＝3ax2－9＝3(ax2－3)， 当a≤0时，f′(x)＝3(ax2－3)<0恒成立，f(x)在R上单调递减， f(x)至多有一个零点，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝±， 所以当x<－或x>时，f′(x)>0； 当－<x<时，f′(x)<0， 所以f(x)在和上单调递增，在内单调递减， 所以f(x)的极大值为f＝6＋1，极小值为f＝－6＋1， 又f(x)恰有三个零点，所以 解得0<a<108. 综上所述，实数a的取值范围为(0，108)． 五、导数与不等式 对于某些不等式恒成立、能成立或不等式的证明问题，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行求解．这种构造转换的过程与方法体现了化归与转化思想． “构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用构造思想解题的关键：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合． 已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex， 则f′(x)＝1－ex， 当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值． (2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立， 则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)， 则问题转化为a≤(x>0)， 令h(x)＝，x>0， 则h′(x)＝＝， 当0<x<时，h′(x)>0，当x>时，h′(x)<0， 所以函数h(x)在(0，)内单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝， 所以a≤，即实数a的取值范围为. 已知函数f(x)＝ex－mx. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥(a－m)x－sinx＋1，对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意可得，函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－m， ①当m≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增； ②当m>0时，令f′(x)>0，得x>ln m， 令f′(x)<0，得x<ln m， 所以f(x)在(－∞，ln m)上单调递减， 在(ln m，＋∞)上单调递增． 综上所述，当m≤0时，函数f(x)在R上单调递增； 当m>0时，函数f(x)在(－∞，ln m)上单调递减，在(ln m，＋∞)上单调递增． (2)由题意，得ex＋sinx－ax－1≥0对任意x>0恒成立， 令h(x)＝ex＋sinx－ax－1，x>0， 则h′(x)＝ex＋cosx－a，令t(x)＝h′(x)＝ex＋cosx－a， 则t′(x)＝ex－sinx， 因为x>0，所以ex>1，又sinx∈[－1，1]， 所以t′(x)>0恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)上单调递增，即h′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以h′(x)>h′(0)＝2－a. ①当a≤2时，h′(x)>0恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝e0－1＝0恒成立， 所以a≤2符合题意； ②当a>2时，h′(0)＝2－a<0，h′(ln (2＋a))＝2＋cos(ln (2＋a))>0， 因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以∃x0∈(0，ln (2＋a))，使h′(x)＝0， 且当0<x<x0时，h′(x)<0， 当x>x0时，h′(x)>0， 所以h(x)在(0，x0)内单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以h(x0)<h(0)＝0，所以a>2不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]． 已知函数f(x)＝ln x－bx＋a(a，b∈R)． (1)讨论函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性； (2)当b＝1时，若f＝f＝0(x1≠x2)，求证：x1>2－x2. [解]　(1)由题意，可知f′(x)＝－b，x∈(1，＋∞)， (ⅰ)当b≤0时，f′(x)＝－b>0恒成立， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． (ⅱ)当b>0时，令f′(x)＝－b＝0， 得x＝. ①当0<≤1，即b≥1时，f′(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ②当>1，即0<b<1时，在内，f′(x)>0，f(x)在内单调递增；在上，f′(x)<0，f(x)在上单调递减． 综上所述，当b≤0时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增； 当b≥1时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减； 当0<b<1时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减． (2)证明：当b＝1时，f(x)＝ln x－x＋a， 令g(x)＝f＝ln－＋a， 由题意可得g(x1)＝g(x2)＝0， 不妨设0<x1<x2. 所以a＝＋ln x1＝＋ln x2， 于是＝ln . 令t＝>1，则ln t＝，则x1＝， x1＋x2＝x1(t＋1)＝， x1＋x2－2＝. 令h(t)＝－ln t(t>1)， 则h′(t)＝>0， 故h(t)在(1，＋∞)上单调递增． 因为t>1，所以h(t)>－ln 1＝0， 又ln t>0，所以x1＋x2－2>0，即x1>2－x2. 六、利用导数解决实际问题 1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般步骤 (1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数的定义域)； (2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数； (3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点； (4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值． 2．利用导数求实际问题的最大(小)值时应注意的问题 (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． 两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记点C到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数； (2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． [解]　(1)如图，由题意，知AC⊥BC，BC2＝400－x2，y＝＋(0<x<20)， 其中当x＝10时，y＝0.065， 所以k＝9，则y＝＋(0<x<20)． (2)y′＝－＋ ＝， 令y′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)． 当0<x<4时，y′<0； 当4<x<20时，y′>0. 所以函数在x＝4处取得最小值，为. 即弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点到城A的距离为4 km. 1 学科网（北京）股份有限公司 $