第四章 数列 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第四章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 利用数列的前几项判断数列的通项公式 等比数列中基本量的计算 利用数列的递推公式求数列的前n项和 利用数列的递推公式求数列中的项 等差数列不连续n项和的性质及应用 等比数列前n项和的性质及应用 等差、等比数列通项公式的综合应用 数列新定义问题；等比数列前n项积的最值 等差数列的通项、性质及前n项和的最值 利用数列的前n项和公式求数列的通项公式；裂项相消法求和 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 数阵问题——等差、等比数列的通项及前n项和的应用 写出满足条件的等比数列的通项公式 应用公式apaq＝aman(p＋q＝m＋n)求等比数列中的项 利用数列的递推公式研究数列的周期性、求数列中的项及前n项和 求等差数列的通项公式；等差数列前n项和的最值问题 求等差数列的通项公式；并项求和法求和 求等差、等比数列的通项公式；裂项相消法求和；与数列有关的不等式证明问题 利用数列的递推公式求通项公式；等比数列的实际应用 数列的新定义问题；求等差、等比数列的通项公式；错位相减法求和；与数列有关的不等式恒成立问题 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1，－，，－，，…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n－1 B．an＝(－1)n C．an＝(－1)n－1 D．an＝(－1)n 答案：C 解析：将数列1，－，，－，，…变为，－，，－，，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，奇数项为正，偶数项为负，可知其通项公式可能为an＝(－1)n－1. 2．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q＝(　　) A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 答案：C 解析：依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0，∴q＝－1或q＝2. 3．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则S201＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：A 解析：因为an＋1＝(n∈N*)，a1＝，所以a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝－4，a5＝＝＝a1，可知数列{an}是周期为4的周期数列，所以S201＝50(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＝50×＋＝2. 4．在数列{an}中，若a2＝2，an＝(n＋2)(an＋1－an)，则a2026＝(　　) A．1013 B．1014 C．2024 D．2026 答案：B 解析：在an＝(n＋2)(an＋1－an)中，取n＝1，可得a1＝3(a2－a1)，代入a2＝2，解得a1＝，又由an＝(n＋2)(an＋1－an)，可得＝，于是an＝a1··…··＝××…××＝，故a2026＝＝1014.故选B. 5．已知等差数列{an}的公差为1，且S99＝99，则a3＋a6＋…＋a96＋a99的值是(　　) A．99 B．66 C．33 D．0 答案：B 解析：设A＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，B＝a2＋a5＋…＋a98，C＝a3＋a6＋…＋a99，则A＋B＋C＝S99，B－A＝33，C－B＝33，∴A＝C－66，故C－66＋C－33＋C＝S99＝99，∴C＝66. 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 答案：C 解析：解法一：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×　①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C. 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C. 7．数列{an}中，an＝3n－7(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N*)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值(　　) A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3 C．存在且不唯一 D．不一定存在 答案：B 解析：依题意，bn＝b1×＝×＝，∴an＋logkbn＝3n－7＋logk＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk.∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3. 8．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2025积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为(　　) A．1011 B．1012 C．1011或1012 D．1012或1013 答案：B 解析：由题意，知a2025＝a1a2…a2025，∴a1a2·…·a2024＝1，又数列{an}的各项均为正数，∴a1a2024＝a2a2023＝a3a2022＝…＝a1011a1014＝a1012a1013＝1，∵a1>1，∴a1012>1，0<a1013<1，∴前n项积最大时n的值为1012.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－13，S3＝－33，则下列结论正确的是(　　) A．an＝2n－15 B．{an}是先递减后递增的数列 C．a12是a8和a48的等比中项 D．Sn的最小值为－49 答案：ACD 解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意，得S3＝3a1＋3d＝－33，因为a1＝－13，所以d＝2，所以{an}的通项公式为an＝－13＋2(n－1)＝2n－15，A正确；由于d＝2>0，所以{an}为递增数列，B错误；通过计算可得，a8＝1，a12＝9，a48＝81，其中a＝a8a48，所以a12是a8和a48的等比中项，C正确；因为{an}为递增数列，且a7＝－1<0，a8＝1>0，故Sn在n＝7时取得最小值，S7＝7a4＝－49，D正确．故选ACD. 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝则下列判断正确的是(　　) A．a10＝－11 B．当n为奇数时，an＝－n－1 C．当n为偶数时，an＝n＋1 D．数列的前n项和为－ 答案：BCD 解析：由Sn＝可得a1＝S1＝－2，a2＝3，当n为奇数且n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝－－＝－n－1，其中a1符合，所以当n为奇数时，an＝－n－1，所以B正确；当n为偶数时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1，所以a10＝11，所以A错误，C正确；又由anan＋1＝－(n＋1)(n＋2)，得＝－＝－，所以数列的前n项和为Tn＝－＝－＋＝－，所以D正确．故选BCD. 11．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图： a11　a12　a13　…　a1n a21　a22　a23　…　a2n a31　a32　a33　…　a3n … an1　an2　an3　…　ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S，则下列结论正确的是(　　) A．m＝3 B．a67＝17×37 C．aij＝(3i－1)×3j－1 D．S＝n(3n＋1)(3n－1) 答案：ACD 解析：由题意可得，a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)，所以A正确；又a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以B不正确；又aij＝ai1mj－1＝[a11＋(i－1)×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以C正确；这n2个数的和S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)，所以D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．写出一个同时具有性质①②③的数列{an}的通项公式：①无穷数列；②0<an<1；③每一项都是正数，则an＝________． 答案：(答案不唯一) 解析：根据题意，数列{an}的通项公式可以为an＝，为无穷数列，每一项都是正数，且0<an<1. 13．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 答案：－2 解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 14．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝7，a4＝8，且an＋an＋1＋an＋2＝10(n∈N*)，则a3＝________；使得Sn≥2025成立的n的最小值为________． 答案：－5　605 解析：因为an＋an＋1＋an＋2＝10(n∈N*)，所以a2＋a3＋a4＝15＋a3＝10，可得a3＝－5，所以由a1＋a2＋a3＝a1＋2＝10，可得a1＝8，所以S604＝a1＋a2＋a3＋…＋a602＋a603＋a604＝a1＋(a2＋a3＋a4)＋…＋(a602＋a603＋a604)＝8＋×10＝2018<2025，S605＝a1＋a2＋a3＋…＋a603＋a604＋a605＝a1＋a2＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a603＋a604＋a605)＝8＋7＋×10＝2025，又当n≤603时，Sn<15＋×10＝2025，所以使得Sn≥2025成立的n的最小值为605. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________．若存在正整数n，使得Sn有最小值． (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值． 在①a3＝－1；②d＝2；③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个，补充在横线上并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：当选①a3＝－1时，根据题意得a5－a3＝2d， 即1－(－1)＝2d，解得d＝1. (1)an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×1＝n－4. (2)因为a1＝a3－2d＝－3， 所以Sn＝na1＋d＝n×(－3)＋×1＝， 所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，为－6. 当选②d＝2时，根据题意得a1＝a5－4d＝1－4×2＝－7. (1)an＝a1＋(n－1)d＝－7＋(n－1)×2＝2n－9. (2)Sn＝na1＋d＝n×(－7)＋×2＝n2－8n， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，为－16. 当选③d＝－2时， 根据题意得a1＝a5－4d＝1－4×(－2)＝9. (1)an＝a1＋(n－1)d＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11. (2)Sn＝na1＋d＝n×9＋×(－2)＝－n2＋10n，无最小值，所以条件③不符合题意． (本题可以选择条件①或②并进行作答) 16．(本小题满分15分)等差数列{an}的前n和为Sn，若a1＝1，S6＝3a7. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)na，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由S6＝3a7，得6a1＋d＝3(a1＋6d)， 又a1＝1，所以d＝1，an＝a1＋(n－1)d＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由bn＝(－1)na，得bn＝(－1)n·n2， T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝－12＋22－32＋42＋…＋(－1)(2n－1)2＋(2n)2 ＝(1＋2)×(2－1)＋(3＋4)×(4－3)＋…＋(2n－1＋2n)×[2n－(2n－1)] ＝1＋2＋3＋4＋…＋(2n－1)＋2n ＝＝2n2＋n， 所以数列{bn}的前2n项和T2n＝2n2＋n. 17．(本小题满分15分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝1，a2＝b1，2a5＝b3＋2，a4＝b2. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn，并证明≤Sn<1. 解：(1)因为{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 则有解得 故an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n. (2)由(1)可知cn＝＝＝－， 则Sn＝－＋－＋…＋－＝1－， 因为n∈N*， 所以>0，故Sn＝1－<1. 又由Sn－Sn－1＝cn＝>0， 得Sn>Sn－1， 即数列是递增数列，故Sn≥S1＝， 综上，≤Sn<1，证毕． 18．(本小题满分17分)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥了重要的作用．为了增加森林蓄积量，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，A地2024年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t(10<t<30)万立方米的森林．设an为自2025年开始，第n年末的森林蓄积量(例如a1＝150－t)． (1)试写出数列{an}的一个递推公式； (2)设bn＝an－4t(n∈N，n≥1)，证明：数列{bn}是等比数列； (3)若到2034年底，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最大是多少万立方米？(精确到1万立方米) 解：(1)由题意，得a1＝120×(1＋25%)－t＝150－t， an＋1＝an(1＋25%)－t＝an－t. (2)证明：因为an＋1＝an－t， 所以an＋1－4t＝(an－4t)， 当n＝1时，b1＝a1－4t＝150－t－4t＝150－5t≠0， 所以an－4t≠0， 所以数列{bn}是以150－5t为首项，为公比的等比数列． (3)由(2)知{an－4t}是以150－5t为首项，为公比的等比数列，所以an－4t＝(150－5t)×， 所以an＝4t＋(150－5t)×. 2034年底的森林蓄积量为数列{an}的第10项， a10＝4t＋(150－5t)×. 由题意，森林蓄积量到2034年底要超过640万立方米， 所以a10>640，即4t＋(150－5t)×>640， 即4t＋(150－5t)×7.45＝4t＋1117.5－37.25t>640， 解得t<14.36. 所以每年的砍伐量t最大为14万立方米． 19．(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有S2n＝kSn(k为非零常数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比．若{bn}是首项为1，公差不为0的等差数列，且{bn}是“和等比数列”，令cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn. (1)求数列{bn}的和公比； (2)求Tn； (3)若不等式Tn－>(－1)nm－2对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围． 解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An， 则An＝nb1＋d＝n2＋n， 所以A2n＝2dn2＋(2－d)n， 因为{bn}是“和等比数列”，所以A2n＝kAn， 即2dn2＋(2－d)n＝n2＋n对任意n∈N*恒成立， 所以解得 所以数列{bn}的和公比为4. (2)由(1)知bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， cn＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋， 所以Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得 Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－ ＝－ ＝－， 所以Tn＝－. (3)设Pn＝Tn－＝－－＝－×， 由Pn＋1－Pn＝－×＋×＝>0， 得Pn＋1>Pn，所以{Pn}是递增数列． 不等式Tn－>(－1)nm－2对任意的n∈N*恒成立，即不等式Pn>(－1)nm－2对任意的n∈N*恒成立， 当n为奇数时，－m－2<(Pn)min＝P1＝－3，则m>1； 当n为偶数时，m－2<(Pn)min＝P2＝－，则m<. 综上，m的取值范围是. 9 学科网（北京）股份有限公司 $