第四章 培优课 数列中的构造问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦数列构造问题，围绕\(a_{n+1}=pa_n+q\)、\(a_{n+1}=\frac{pa_n}{qa_n+r}\)、\(a_{n+1}=pa_n+q^{n+1}\)三种递推类型展开，通过例题解析展示构造新数列的方法，以等比数列定义为基础支架，串联不同递推式的变形技巧，构建知识脉络。 资料特色在于类型化分层教学，每种类型配套“例题解析-方法提炼-跟踪训练”闭环，帮助学生抽象递推关系本质，培养数学眼光。课后习题分基础、中档、拔高题，结合推理能力与模型意识，助力学生掌握构造技巧，提升解决复杂数列问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 RJ 培优课　数列中的构造问题 类型一　　形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0，p≠1) 　在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝2an＋1， 设an＋1＋t＝2(an＋t)，∴an＋1＝2an＋t， ∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝2≠0， ∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 【感悟提升】形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0，p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)将递推关系改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； (2)由待定系数法，解得t＝； (3)写出数列的通项公式； (4)写出数列{an}的通项公式． 【跟踪训练】 1．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝(　　) A．22n＋1＋2 B．22n＋1－2 C．22n－1＋2 D．22n－1－2 答案：C 解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，又a1－2＝2≠0，∴数列{an－2}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴an－2＝2×4n－1，∴an＝22n－1＋2.故选C. 类型二　形如an＋1＝(p，q，r≠0) 　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求数列{an}的通项公式． [解]　由题意，可得＝＝＋2， 又＝，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以＝＋2(n－1)＝， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 【感悟提升】一般地，形如an＋1＝(p，q，r≠0)的递推关系，先将等式两边同时取倒数变形得＝·＋，再利用类型一中的待定系数法解决． 【跟踪训练】 2．已知各项均不为零的数列{an}，首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.求证：数列为等比数列． 证明：因为an＋1＝，所以＝＋， 所以－2＝－＝， 又因为－2＝－≠0， 所以数列是首项为－，公比为的等比数列． 类型三　形如an＋1＝pan＋qn＋1(p，q≠0，1) 　在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． [解]　将递推式的两边同时除以3n＋1，得 ＝－·＋1， 令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1. 显然有bn＋1－＝－， 又b1－＝－≠0， 所以是以－为首项，－为公比的等比数列， 所以bn－＝－×， 所以an＝－×(－2)n－1＋×3n＋1. 【感悟提升】形如an＋1＝pan＋qn＋1(p，q≠0，1)的递推公式求通项公式的方法 (1)方法一：先在原递推公式两边同时除以qn＋1，得＝·＋1，再利用类型一中的待定系数法解决． (2)方法二：直接构造．设an＋1＋Aqn＋1＝p(an＋Aqn)，由待定系数法求得A. 【跟踪训练】 3．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 又a1＋22＝5≠0， 所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1， 所以an＝5×3n－1－2n＋1. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求参数 形如an＋1＝的递推关系求数列中的项 an＋1＝pan＋q的变形关系求数列中的项的比值 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋q的变形关系求数列中的项 an＋1＝pan＋q的变形关系求参数 形如an＋1＝pan＋q的递推关系的综合应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系的综合应用 an＋1＝pan＋q的变形关系的综合应用 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 形如an＋1＝的递推关系求数列的通项公式 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋qn＋1的变形关系求数列的通项公式 an＋1＝pan＋q的变形关系的综合应用 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝(　　) A．－ B. C．1 D．2 答案：B 解析：因为{an＋3}是等比数列，且an＋1＝λan＋2，所以an＋1＋3＝λ(an＋3)，即an＋1＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝.故选B. 2．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则a9＝(　　) A. B. C．3 D. 答案：D 解析：由an＋1＝(n∈N*)，得＝＋，即－＝，所以是以＝1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋×8＝3，所以a9＝.故选D. 3．已知正项数列{an}满足an＋1＝an，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意，＝·，则数列是以为公比的等比数列，所以＝×，所以＝.故选B. 4．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 答案：A 解析：因为a1＝，an＋1＝an＋，所以2n＋1×an＋1＝×2nan＋1，整理，得2n＋1×an＋1－3＝×(2nan－3)，又2a1－3＝－≠0，所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－×，解得an＝－.故选A. 5．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a，则a6的值为(　　) A．220 B．224 C．21024 D．24096 答案：C 解析：由an＋1＝a，a1＝2，易知an>0，故ln an＋1＝4ln an，又ln a1＝ln 2≠0，所以{ln an}是首项为ln 2，公比为4的等比数列，所以ln an＝4n－1×ln 2，ln a6＝45×ln 2＝ln 21024，故a6＝21024.故选C. 6．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2028，则k＝(　　) A．253 B．507 C．1014 D．2028 答案：B 解析：因为an＋1＝4an－12n＋4，所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n)，因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，且an－4n＝0，所以an＝4n.由ak＝4k＝2028，解得k＝507.故选B. 二、多项选择题 7．已知数列{an}满足a1＝3，2an＋1＝3an－2，则(　　) A．{an－2}是等比数列 B．an＝＋2 C．{an}是递增数列 D．数列的最小项为4 答案：ABC 解析：由2an＋1＝3an－2，得2(an＋1－2)＝3(an－2)，即an＋1－2＝(an－2)，又a1－2＝1≠0，所以{an－2}是首项为1，公比为的等比数列，所以an－2＝1×，即an＝＋2，易知{an}是递增数列，故A，B，C正确；当n＝1时，a2＋＝＋2＋＝>4，当n≥2时，an＋1＋>a3＝＋2>4，故D错误．故选ABC. 8．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝4an＋3n，则(　　) A．{an}是正项数列 B．{an}是递增数列 C.是等差数列 D．a10＝220－310 答案：ABD 解析：因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，所以数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.对于A，易知an>0，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝(4n＋1－3n＋1)－(4n－3n)＝3×4n－2×3n>0，所以{an}是递增数列，故B正确；对于C，{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，故C错误；对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确．故选ABD. 9．已知数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，an＋2＝(＋1)2，则下列关于数列{an}的说法正确的是(　　) A．a2＝7 B．{an}是递增数列 C．an＝n2＋2n－1 D．{an}为周期数列 答案：ABC 解析：∵数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，an＋2＝(＋1)2，∴＝＋1，∴数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n－1，故C正确；a2＝22＋2×2－1＝7，故A正确；∵函数y＝x2＋2x－1在x＞－1时单调递增，故{an}是递增数列，故B正确，D错误．故选ABC. 三、填空题 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝3n－2 解析：因为an＋1＝3an＋4，设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，则2t＝4，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2)，又a1＋2＝3≠0，所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝ 解析：因为an＋1＝，两边取倒数，得＝＋1，所以＋1＝2，因为＋1＝2≠0，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，则＝2n－1，即an＝. 12．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝则a2n＝________． 答案：n·2n 解析：由题意可得a2n＝a2n－1＋()2n＝2a2(n－1)＋2n，则＝＋1，即－＝1，易知＝＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝1＋(n－1)×1＝n，故a2n＝n·2n. 四、解答题 13．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，求{an}的通项公式． 解：由an＋1＋an＝3×2n，得 an＋1－2n＋1＋an＝3×2n－2n＋1＝2n， 整理，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n)， 又a1－21＝－1≠0， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列， 所以an－2n＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n， 则an＝2n＋(－1)n. 14．已知{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝3n2＋3n. (1)求a2，a3； (2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)依题意，得a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以an＋1＝an＋3(n＋1)， 所以a2＝a1＋3×2＝8，a3＝a2＋3×3＝21. (2)依题意，得a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以－＝3， 所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列， 所以＝3n－2，所以an＝n(3n－2)＝3n2－2n. 7 学科网（北京）股份有限公司 $