本册综合测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 本册综合测评 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 观察法求数列中的项 导数的概念；导数的运算法则 利用导数的几何意义比较导数值的大小 等差数列通项公式的应用 分段函数零点与极值点的求解 等比数列的通项公式在不等式中的应用 构造函数，利用单调性比较大小 利用等差数列的前n项和公式解决与实际问题有关的不等式问题 等差数列中基本量的计算及前n项和的最值问题 利用导数解决极值问题；利用函数的单调性比较大小 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★★ ★★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 函数极值、最值、零点问题的综合应用 已知函数的极值点求参数值 已知曲线过某点的切线条数求参数的取值范围 与等比数列前n项和有关的图形规律的探索问题 利用导数求函数的单调区间；已知函数的最值求参数值 等差数列的函数性质；等比数列前n项和公式的计算及应用 利用an与Sn的关系求数列的通项公式；裂项相消法求和 利用导数求切线方程；与零点有关的证明问题；双变量不等式问题 利用导数证明不等式；错位相减法求数列的前n项和；与数列前n项和有关的不等式证明问题 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若数列－1，2，5，8，11，x，…中的项按一定规律变化，则实数x的值最有可能是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：数列－1，2，5，8，11，x，…从第二项起，每一项与前一项的差等于3，所以x＝11＋3＝14. 2．某质点沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝t2＋3，则当t＝5 s时，该质点的瞬时速度为(　　) A．10 m/s B．11 m/s C．13 m/s D．28 m/s 答案：A 解析：因为s(t)＝t2＋3，所以s′(t)＝2t，所以s′(5)＝2×5＝10，即当t＝5 s时，该质点的瞬时速度为10 m/s.故选A. 3．已知函数f(x)的图象如图所示，那么下列各式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 B．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 C．f′(3)<f′(2)<f′(1)<0 D．f′(3)>f′(2)>f′(1)>0 答案：A 解析：由f(x)的图象知f(x)单调递减，即f′(x)<0，但f(x)图象的切线斜率随着x的增大而增大，即导函数f′(x)是单调递增的，因此f′(1)<f′(2)<f′(3)<0.故选A. 4．已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：设等差数列的公差为d(d≠0)，则a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.因为a1，a3，a4成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝－4d，则＝＝＝＝2.故选B. 5．已知函数f(x)＝(e＝2.718…为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案：B 解析：f(x)＝的零点为α＝2，极值只能在x<0时取得．当x<0时，f′(x)＝(1＋x)ex，则当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在β＝－1处取得极小值．从而α＋β＝1. 6．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足anan＋1an＋2>的最大正整数n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：设数列{an}的公比为q(q>0)．∵a2a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，∴a1＝8，∴an＝8×＝，∴anan＋1an＋2＝>，即23n－9<9.∵n∈N*，∴n的最大值为4.故选B. 7．已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)>f(x)．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 答案：C 解析：令g(x)＝(x≠0)，由于f(x)为R上的奇函数，所以g(x)＝(x≠0)为定义域上的偶函数，又当x>0时，xf′(x)>f(x)，所以当x>0时，g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又0<sin<1<log46<log49＝log23，所以g<g(log46)<g(log23)＝g(－log23)，即c<b<a. 8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，1，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：该数列的前N项和大于46.那么该款软件的激活码是(　　) A．66 B．83 C．91 D．105 答案：B 解析：该数列的前1＋2＋…＋k＝项和为S＝1＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝，要使>46，当k＝12时，＝45，又＋＋＋＝<1，＋＋＋＋＝>1，所以对应满足条件的最小整数N＝＋5＝83. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，且满足a1＋5a3＝S8.下列结论正确的是(　　) A．a10＝0 B．S7＝S12 C．S10最小 D．S20＝0 答案：AB 解析：设数列{an}的公差为d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，故A正确；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，故B正确；当d>0时，S9或S10最小，当d<0时，S9或S10最大，故C错误；S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，故D错误．故选AB. 10．设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 答案：ACD 解析：对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0<x<1时，因为x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，而由A项分析可知，函数f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3，而由A项分析可知，函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以f(3)<f(2x－1)<f(1)，即－4<f(2x－1)<0，故C正确；对于D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＝2(1－x)3>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．故选ACD. 11．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)存在两个不同的零点 B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C．当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 答案：ABC 解析：由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确；f′(x)＝－＝－，当f′(x)>0时，－1<x<2；当f′(x)<0时，x<－1或x>2，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，由图可知，当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________． 答案：6 解析：∵f(x)＝x3－2cx2＋c2x，∴f′(x)＝3x2－4cx＋c2.∵f′(2)＝0，∴c2－8c＋12＝0，解得c＝2或c＝6.检验可知，当c＝2时，函数在x＝2处取得极小值，不符合题意，∴c＝6. 13．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意，得切线斜率kOA＝(x0＋a＋1) ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 14．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可循的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形：如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为bn，则 (1)b3＝________； (2)如果对任意n∈N*，bn<2025恒成立，那么线段AB的长度a的取值范围是________________． 答案：(1)4a　(2)(0，405] 解析：(1)由题意，b1＝a，b2＝a＋4×a＝3a，b3＝3a＋4×a＝4a. (2)由(1)的推理知bn＝bn－1＋4×a(n≥2)，所以bn＝a＋4×a＋4×a＋…＋4×a＝a＋4a＝a＋4a＝a(n≥2)，又b1＝a，所以bn＝a(n∈N*)，{bn}是关于n的递增数列，且bn<5a，由题意bn<2025恒成立，则5a≤2025，a≤405，所以a的取值范围是(0，405]． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值． 解：函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a. (1)当a＝1时，f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝. 当0<x<时，f′(x)>0；当<x<2时，f′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)． (2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. 16．(本小题满分15分)已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2＋1.{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图________所示，Tn的图象经过A，B两点． (1)求Sn； (2)若存在正整数n，使得bn>Sn，求n的最小值． 从图①②③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)由a3＝1，S3＝3a2＋1，得a2＝a1， 所以q＝，a1＝4， 所以Sn＝＝8× ＝8－23－n. (2)设{bn}的公差为d.由题图①知，T1＝b1＝1，T3＝－3，可判断d<0，数列{bn}是递减数列．而{8－23－n}是递增数列，由于b1<S1，所以选择题图①不满足“存在正整数n，使得bn>Sn”． 由题图②知，T1＝b1＝1，T3＝6，可判断d>0，数列{bn}是递增数列． 由题图③知，T1＝b1＝－3，T3＝0，可判断d>0，数列{bn}是递增数列． 所以选择题图②③均可能满足“存在正整数n，使得bn>Sn”． 第一种情况： 如果选择题图②，即T1＝b1＝1，T3＝6， 可得d＝1，bn＝n. 当n＝1，2，3，4，5，6，7时，bn>Sn不成立， 当n＝8时，b8＝8，S8＝8－23－8<b8， 所以使得bn>Sn成立的n的最小值为8. 第二种情况： 如果选择题图③，即T1＝b1＝－3，T3＝0， 可得d＝3，bn＝3n－6. 当n＝1，2，3，4时，bn>Sn不成立， 当n＝5时，b5＝9，S5＝8－23－5<b5成立， 所以使得bn>Sn成立的n的最小值为5. 17．(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2－1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足an＋1＝2log3bn，设cn＝＋(－1)nbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)因为an＝2－1， 令n＝1，得a1＝2－1，解得a1＝1， 则4Sn＝a＋2an＋1，4Sn－1＝a＋2an－1＋1(n≥2)， 两式相减，得4an＝a－a＋2(an－an－1)(n≥2)， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0(n≥2)， 因为数列{an}是各项均为正数的数列， 所以an－an－1＝2(n≥2)， 因此数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)因为an＋1＝2log3bn，由(1)可得，bn＝3n， cn＝＋(－1)nbn＝＋(－1)n×3n＝＋(－3)n， 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n ＝＋ ＝－[1－(－3)n]． 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)求曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程； (2)证明：f′(x)在(0，π)内存在唯一零点； (3)设g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)，若对任意x1∈[0，π]，均存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f′(x)＝cosx＋xsinx－1，所以f′(0)＝0，即曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线的斜率k＝0，且f(0)＝0， 从而曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程为y＝0. (2)证明：设h(x)＝f′(x)， 则h(x)＝cosx＋xsinx－1，h′(x)＝xcosx. 当x∈时，h′(x)>0； 当x∈时，h′(x)<0， 所以h(x)在内单调递增，在内单调递减． 又h(0)＝0，h＝－1>0， h(π)＝－2<0， 故h(x)在(0，π)内存在唯一零点． 所以f′(x)在(0，π)内存在唯一零点． (3)已知条件可转化为f(x)min>g(x)min. 因为函数g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)图象的对称轴为直线x＝1∈[1，2]， 所以g(x)min＝g(1)＝a－1. 由(2)知，f′(x)在(0，π)内只有一个零点， 设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0； 当x∈(x0，π)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，π)内单调递减． 又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)min＝0. 所以0>a－1，即a<1， 因此实数a的取值范围是(－∞，1)． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝xe－x. (1)若0<x<1，证明：<f(x)<ln (1＋x)； (2)记数列{an}的前n项和为Sn. ①若an＝f(n)，证明：Sn<； ②已知函数g(x)＝3x－1＋ln [f(x)]，若an＋1＝g(an)，a1＝3，an>1，证明：Sn≤3n＋n－1. 证明：(1)设h(x)＝ex－x－1， 则当x>0时，h′(x)＝ex－1>0， 所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故当x>0时，h(x)>h(0)＝0， 所以当x>0时，ex>x＋1. 设G(x)＝ln (1＋x)－， 则当x>0时，G′(x)＝>0， 所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故当x>0时，G(x)>G(0)＝0， 所以当x>0时，ln (x＋1)>. 故当0<x<1时，f(x)＝<<ln (1＋x)． 因为f(x)＝xe－x＝，当0<x<1时，f′(x)＝>0， 所以f(x)在(0，1)内单调递增， 因为当0<x<1时，0<ln (1＋x)<ln 2<1，且由ex>x＋1， 可得ln (x＋1)<x，所以f(ln (1＋x))＜f(x)， 即＜f(x)， 所以<f(x)<ln (1＋x)． (2)①因为an＝f(n)＝， 所以Sn＝＋＋＋…＋＋， 则Sn＝＋＋＋…＋＋， 所以Sn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－×－， 所以Sn＝－×－×<. ②函数g(x)＝3x－1＋ln [f(x)]＝2x－1＋ln x， 因为当x>0时，ln (x＋1)<x， 所以当x>1时，ln x<x－1， 所以当an>1时，ln an<an－1， 因此an＋1＝2an－1＋ln an<3an－2， 故an＋1－1<3(an－1)，即<3. 因为a1－1＝2＝2×31－1， 所以当n≥2时，an－1＝(a1－1)××××…×<2×3n－1. 综上所述，an－1≤2×3n－1， 所以an≤1＋2×3n－1， 所以Sn≤n＋＝n＋3n－1， 即Sn≤3n＋n－1. 6 学科网（北京）股份有限公司 $