5.3.1 第1课时 导数与函数的单调性-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 5.3.1　函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性． 教学难点：讨论含参数的函数的单调性． 核心素养：1.通过学习函数的图象与其导函数图象之间的关系，培养直观想象素养.2.通过学习利用导数求函数的单调区间，提升数学运算素养． 知识点一　函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增； 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减． 知识点二　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f′(x)的零点； 第3步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． [注意]　(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间． (2)一般利用使导数等于0的点来划分函数单调区间． (3)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间仍为增函数． 在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3) 知识点三　函数图象的平缓与陡峭的判断方法 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”． [拓展]　函数y＝f(x)的变化快慢与其导数f′(x)的关系 1．(函数与其导函数图象之间的关系)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则导函数f′(x)的图象是(　　) 答案：A 2．(利用导数判断函数的单调性)函数y＝2x＋cosx在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升 3．(利用导数求函数的单调区间)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是______________． 答案：，(1，＋∞) 题型一　函数与其导函数图象之间的关系　 　(1)f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C符合题意． [答案]　C (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由f′(x)的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，且f′(x)的值随x的增大逐渐减小，此时f(x)的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓；当x＞0时，f′(x)＞0，且f′(x)的值随x的增大逐渐增大，此时f(x)的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，结合选项，符合f(x)的图象特征的为D中的图象．故选D. [答案]　D 【感悟提升】 (1)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间上大于零，在哪个区间上小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． (2)在利用导函数的图象判断原函数的图象在给定区间上的变化快慢时，常依据：导数的绝对值越大，函数值变化越快，原函数的图象向上或向下越“陡峭”；导数的绝对值越小，函数值变化越慢，原函数的图象向上或向下越“平缓”． 【跟踪训练】 1.(1)已知函数f(x)在定义域内可导，f(x)的大致图象如图所示，则其导函数f′(x)的大致图象可能为(　　) 答案：B 解析：观察函数f(x)的图象知，当x<0时，f(x)先单调递减，再单调递增，则f′(x)先为负数，再为正数；当x>0时，f(x)先单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以f′(x)先为正数，再为负数，最后为正数，只有B项符合．故选B. (2)(多选)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案：BD 解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处的切线斜率相同，可以排除C；再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的切线斜率应该慢慢变小，排除A；B，D中的图象都符合题意．故选BD. 题型二　已知函数解析式求函数的单调区间　 　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝. [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0， 所以由f′(x)＝0，得x＝. 因为当x>时，f′(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间为； 因为当0<x<时，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 令f′(x)＝0，得x＝3. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 所以当x>3时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；当x<3时，f′(x)<0，又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． 【感悟提升】 (1)利用导数求函数f(x)的单调区间，可以利用判断函数单调性的步骤来求，也可以转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0来求． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式． (3)要特别注意函数的定义域． 【跟踪训练】 2．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝x＋sinx，x∈(0，π)． 解：(1)解法一：因为f(x)＝x3－2x2＋x， 所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R. 令f′(x)＝0，得3x2－4x＋1＝0，解得x＝或x＝1. 因为当x<或x>1时，f′(x)>0， 当<x<1时，f′(x)<0， 所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为. 解法二：因为f(x)＝x3－2x2＋x， 所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R. ①令f′(x)>0，得x>1或x<. ②令f′(x)<0，得<x<1. 所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为. (2)因为f(x)＝x＋sinx， 所以f′(x)＝＋cosx， ①令f′(x)>0，得cosx>－， 又因为x∈(0，π)， 所以0<x<. ②令f′(x)<0，得cosx<－， 又因为x∈(0，π)，所以<x<π. 所以函数f(x)＝x＋sinx，x∈(0，π)的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型三　讨论含有参数的函数的单调性　 　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论函数f(x)的单调性． [解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0， 解得x1＝0，x2＝－. ①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； ②当a>0时， 若x∈∪(0，＋∞)，则f′(x)>0， 若x∈，则f′(x)<0， 所以函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在内单调递减； ③当a<0时， 若x∈(－∞，0)∪，则f′(x)>0， 若x∈，则f′(x)<0， 所以函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在内单调递减． 综上，当a＝0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在内单调递减； 当a<0时，函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在内单调递减． 【感悟提升】讨论含参函数的单调性的关键点 (1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间上的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结． (2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0.对函数求导后解含参数的一元二次不等式，一般按以下顺序分类讨论：①对二次项系数是否为0进行讨论；②对相应方程根的判别式Δ与0的关系进行讨论；③当Δ>0时，讨论两根的大小． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝x2＋2aln x，讨论f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x＋＝. ①当a≥0时，f′(x)＝>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a<0时，令f′(x)＝＝0， 得x＝. 当x∈(0，)时，f′(x)<0，则f(x)在(0，)内单调递减， 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 1.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：C 解析：由题图可得，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴当x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，∴当－1<x<0时，函数y＝f(x)单调递减；当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，∴当0<x<1时，函数y＝f(x)单调递减；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，∴当x>1时，y＝f(x)单调递增．观察选项易知C符合题意． 2．函数y＝xln x在(0，5)内的单调性是(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．在内单调递减，在内单调递增 D．在内单调递增，在内单调递减 答案：C 解析：y′＝ln x＋1，令y′>0，得<x<5；令y′<0，得0<x<，所以函数y＝xln x在内单调递减，在内单调递增．故选C. 3．(多选)下列函数在定义域上为增函数的是(　　) A．f(x)＝2x4 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x－cosx D．f(x)＝ex－e－x－2x 答案：CD 解析：对于A，函数f(x)＝2x4的定义域为R，其导数为f′(x)＝8x3，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在定义域R上不是增函数；对于B，函数f(x)＝xex的定义域为R，其导数为f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在定义域R上不是增函数；对于C，函数f(x)＝x－cosx的定义域为R，其导数为f′(x)＝1＋sinx≥0，所以函数f(x)在定义域R上是增函数；对于D，函数f(x)＝ex－e－x－2x的定义域为R，其导数为f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以函数f(x)在定义域R上是增函数．故选CD. 4．函数f(x)＝x2－5x＋2ln (2x)的单调递增区间是________． 答案：和(2，＋∞) 解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，由f′(x)>0，得x>2或0<x<，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)． 5．已知函数f(x)＝(－1<x<1，b≠0)，当b________0时，函数f(x)在(－1，1)内单调递减；当b________0时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增． 答案：>　< 解析：f′(x)＝b·＝－.若b>0，则f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)内单调递减；若b<0，则f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)内单调递增． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 利用导数求三次函数的单调区间 利用导数判断函数的单调性 利用导数判断函数在已知区间上的单调性 利用导函数图象研究原函数图象 利用导数判断函数的单调性；函数新定义问题 利用导函数的图象求原函数的单调区间 利用导数求含参数的函数的单调区间 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用导数求函数在已知区间上的单调区间 利用导数求函数的单调区间 利用导数求含参数的函数的单调区间 利用导数判断函数图象 利用导数求函数在已知区间上的单调区间 已知曲线的切线方程求参数值；利用导数求函数的单调区间 利用导数求曲线在某点处的切线方程；利用导数判断含参数的函数的单调性 一、选择题 1．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为(　　) A．(－1，1) B．(1，2) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 答案：A 解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＜0，得－1<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)． 2．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)>0，则下列函数一定是增函数的是(　　) A．y＝xf(x) B．y＝ C．y＝ D．y＝exf(x) 答案：C 解析：对于A，y＝xf(x)，y′＝f(x)＋xf′(x)，无法判断y＝xf(x)的单调性，故A不符合题意；对于B，y＝，y′＝，无法判断y＝的单调性，故B不符合题意；对于C，y＝，y′＝>0恒成立，则y＝在(0，＋∞)上是增函数，故C符合题意；对于D，y＝exf(x)，y′＝ex[f(x)＋f′(x)]，无法判断y＝exf(x)的单调性，故D不符合题意．故选C. 3．已知函数f(x)＝ex＋e－x，则f(x)在[0，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 答案：A 解析：f′(x)＝(ex)′＋(e－x)′＝ex－e－x＝，∵当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，∴f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，∴f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上单调递增． 4.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 答案：B 解析：由y＝f′(x)的图象知y＝f(x)为增函数，且在区间(－1，0)内增长速度越来越快，而在区间(0，1)内增长速度越来越慢．故选B. 5．(多选)若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2 答案：AD 解析：对于A，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝为R上的增函数；对于B，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝为R上的减函数；对于C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，当x>－3时，g′(x)≥0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先单调递减后单调递增；对于D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选AD. 二、填空题 6．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________． 答案：(－1，2)和(4，＋∞) 解析：由题图可知，在区间(－1，2)内和(4，＋∞)上，f′(x)>0.由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)． 7．函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4(a∈R)的单调递减区间是________． 答案：(a，a＋1) 解析：f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a<x<a＋1，故f(x)的单调递减区间是(a，a＋1)． 8．已知定义在区间(－π，π)内的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________． 答案：和 解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx>0，则其在区间(－π，π)内的解集为∪，即f(x)的单调递增区间是和. 三、解答题 9．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x(ex－1)－x2. 解：(1)易知函数的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，解得x1＝， x2＝－(舍去)，用x1分割定义域，得下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 f＝1＋ln 3 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)函数的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0， 用x1，x2分割定义域，得下表： x (－∞，－1) －1 (－1，0) 0 (0，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－1)＝－2e－1＋1 单调递减 f(0)＝0 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为(－1，0)，单调递增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 解：由已知，得f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)(x∈R)． ①当a≤0时，f′(x)≥0，且在R上只有有限个点使f′(x)＝0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，令f′(x)＝3(x2－a)＝3(x＋)(x－)＝0，解得x＝－或x＝. 由f′(x)>0，解得x<－或x>； 由f′(x)<0，解得－<x<. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)． 11．函数f(x)＝的大致图象是(　　) 答案：A 解析：函数f(x)＝的导数为f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝，则当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0.故函数f(x)在和上单调递减，在内单调递增，故排除D；又f(0)＝0，故排除B；又f(－1)＝0，故排除C.故选A. 12．函数f(x)＝sin2x＋2cosx在(0，π)内的单调递减区间为________． 答案： 解析：由题意知，f′(x)＝2cos2x－2sinx＝2(1－2sin2x)－2sinx＜0，即2sin2x＋sinx－1＞0，即(2sinx－1)(sinx＋1)＞0，因为在(0，π)内，sinx＞0，所以sinx＞，所以＜x＜，所以函数f(x)＝sin2x＋2cosx在(0，π)内的单调递减区间为. 13．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②，得a＝2，b＝3. 所以函数f(x)的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0， 当3－2<x<3＋2时，f′(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(3－2，3＋2)，单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 14．已知函数f(x)＝ln x＋ax＋－1. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x＋－1， 此时f′(x)＝＋1－，f′(2)＝＋1－＝1. 又因为f(2)＝ln 2＋2＋－1＝ln 2＋2， 所以切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2， 整理，得x－y＋ln 2＝0. (2)f′(x)＝＋a－＝ ＝. 当a＝0时，f′(x)＝. 此时，在(0，1)内，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增． 当a＝－时，f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当－<a<0时，f′(x)＝，－>1， 此时，在(0，1)内和上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在内，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，当a＝0时，f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－<a<0时，f(x)在(0，1)内和上单调递减，在内单调递增； 当a＝－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 15 学科网（北京）股份有限公司 $