5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　导数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：通过函数图象直观理解导数的几何意义． 教学重点：对导数几何意义的理解及求切线方程． 教学难点：对导数几何意义的理解． 核心素养：通过学习导数的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算素养和直观想象素养． 知识点一　割线的斜率 如图，容易发现， 平均变化率＝表示割线P0P的斜率． 知识点二　切线的概念 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 知识点三　导数的几何意义 记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，割线P0P的斜率k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f′(x0)．这就是导数的几何意义． [说明]　曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的． 知识点四　导函数 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝． [注意]　f′(x0)是具体的值，而f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数． 1．(函数的导数与曲线斜率之间的关系)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 答案：C 2．(导数的几何意义)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xB)<f′(xA)<0 B．f′(xA)<f′(xB)<0 C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>0 答案：B 3．(求曲线的切线方程)若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． 答案：x＋y－3＝0 4．(利用导数求参数的值)若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________． 答案：4 题型一　求切线的方程　 　已知曲线方程y＝x2. (1)求曲线在点A(2，4)处的切线方程； (2)求过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程． [解]　(1)令y＝f(x)＝x2， ∴f′(x)＝ ＝2x. ∵点A(2，4)在曲线y＝x2上，∴f′(2)＝4， ∴所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x)． 由(1)得f′(x)＝2x，∴f′(x0)＝2x0， ∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)． ∵点(3，5)在切线上，∴5－x＝2x0(3－x0)， 即x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5， ∴所求切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 【感悟提升】利用导数的几何意义求切线方程的 分类 (1)当已知点是切点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不是切点时，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入已知点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 【跟踪训练】 1．已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)求过点(1，1)与f(x)＝x3相切的直线方程． 解：(1)∵f′(x)＝ ＝ ＝[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2， ∴f′(1)＝3×12＝3， 又f(1)＝13＝1， ∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为P(x0，x)， 由(1)知切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 故切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 又点(1，1)在切线上，将其代入切线方程，得1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－. 故所求的直线方程为y－1＝3(x－1)或y－1＝(x－1)， 即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 题型二　利用导数求切点坐标或参数的值　 　(1)已知曲线y＝－x2，若该曲线在某点处的切线与直线y＝4x－5平行，则该切点的坐标为________；若该曲线在某点处的切线的倾斜角为135°，则该切点的坐标为________． [解析]　令y＝f(x)＝－x2，则f′(x)＝＝＝－2x.当切线与直线y＝4x－5平行时，设切点坐标为(x0，y0)，则有－2x0＝4，解得x0＝－2，故y0＝－4，即切点的坐标为(－2，－4)．当切线的倾斜角为135°时，其斜率为－1，设切点坐标为(x1，y1)，则有－2x1＝－1，得x1＝，故y1＝－，即切点的坐标为. [答案]　(－2，－4)　 (2)已知曲线f(x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝________． [解析]　f′(1)＝＝＝ [(Δx)2＋3Δx＋3＋a]＝3＋a.又曲线f(x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，所以f′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1. [答案]　1 【感悟提升】利用导数求切点坐标的解题步骤 (1)设切点坐标为(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)由点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标． 【跟踪训练】 2．(1)已知抛物线y＝2x2＋1，若该抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________；若该抛物线在某点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0，则该切点的坐标为________． 答案：　(2，9) 解析：令y＝f(x)＝2x2＋1，∵＝＝4x＋2Δx，∴f′(x)＝(4x＋2Δx)＝4x.设抛物线在点(x0，y0)处的切线的倾斜角为45°，∵斜率为tan45°＝1，∴f′(x0)＝4x0＝1，解得x0＝，故y0＝2×＋1＝，∴该切点的坐标为.设抛物线在点(x1，y1)处的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则切线的斜率为8，即f′(x1)＝4x1＝8，解得x1＝2，故y1＝2×22＋1＝9，∴该切点的坐标为(2，9)． (2)已知直线x－y－1＝0与抛物线f(x)＝ax2相切，则a的值为________． 答案： 解析：设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝ ＝(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝ax，x0－y0－1＝0，联立以上三式，解得a＝. 题型三　与导数的几何意义有关的图象问题　 　(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a<f′(2)<f′(4) B．f′(2)<a<f′(4) C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a [解析]　根据题意，如图，设M(2，f(2))，N(4，f(4))，则f′(2)为曲线在点M处切线的斜率，f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)<a<f′(4)． [答案]　B (2)我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　) [解析]　从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B选项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高． [答案]　B 【感悟提升】 (1)导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) 答案：D 解析：f′(2)和f′(3)分别表示函数f(x)的图象在x＝2和x＝3处的切线斜率，结合图象可得0<f′(3)<f′(2)，而f(3)－f(2)＝表示过(2，f(2))，(3，f(3))两点的直线斜率，则0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选D. (2)如图，直线l和圆P，当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由圆的几何特征可知，直线l扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，且由圆的对称性，可知在直线l过圆心P之前，面积S关于时间t的函数的变化率是逐渐变大的，此时函数图象的切线的斜率应是逐渐变大的；当在直线l过圆心P之后，面积S关于时间t的函数的变化率是逐渐变小的，此时函数图象的切线的斜率应是逐渐变小的，结合各选项可知D符合题意．故选D. 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案：B 解析：因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.故选B. 2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线x＋2y－6＝0垂直，则a＝(　　) A．1 B. C．－ D．－1 答案：A 解析：因为f′(1)＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，所以由题意，得2a×＝－1，解得a＝1(经检验符合题意)． 3．(多选)已知曲线y＝2x2－7，则曲线过点P(3，9)的切线方程可以为(　　) A．8x－y＋15＝0 B．16x－y＋39＝0 C．8x－y－15＝0 D．16x－y－39＝0 答案：CD 解析：y′＝＝＝(4x＋2Δx)＝4x.因为2×32－7＝11≠9，所以点P(3，9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，2x－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3，9)，A(x0，2x－7)都是切线上的点，所以k＝＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2，1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4，25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.故选CD. 4．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f(4)·f′(4)＝________． 答案： 解析：根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.又f(4)＝5，所以f(4)·f′(4)＝. 5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________． 答案：(3，30) 解析：令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0，2x＋4x0)，则f′(x0)＝＝＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3，30)． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 导数的几何意义 已知函数图象比较各点处的导数值大小 利用导数求切线方程 利用导数求切点坐标和参数值 利用导数求切点坐标 已知切线斜率求切点坐标 对导数几何意义(切线斜率)的理解 利用导数求切线斜率的取值范围 题号 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用导数求曲线在已知点处的切线的斜率 利用导数求切线为指定直线的参数值和切点坐标 导数的几何意义 利用切线倾斜角的取值范围求切点横坐标的取值范围 利用导数求切线为指定直线的参数值 利用导数求曲线上两条互相垂直的切线方程 一、选择题 1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　) A．2 B．－1 C. D．－2 答案：D 解析：由题意，f(x)为可导函数，∵＝－1，∴＝－1，∴＝－2，∴f′(1)＝－2，即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是－2.故选D. 2.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)<f′(b)<f′(c) B．f′(b)<f′(c)<f′(a) C．f′(a)<f′(c)<f′(b) D．f′(c)<f′(a)<f′(b) 答案：A 解析：如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c)．故选A. 3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案：A 解析：设切点为(x0，y0)，f′(x)＝＝(2x＋Δx)＝2x.由题意，可知切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案：A 解析：y′＝＝＝(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.因为y′|x＝0＝1，所以a＝1.又(0，b)在直线x－y＋1＝0上，即0－b＋1＝0，所以b＝1.故选A. 5．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为(　　) A．(1，0) B．(2，8) C．(－1，－4) D．(1，4) 答案：AC 解析：根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，设P0(x0，y0)，因为曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故选AC. 二、填空题 6．设曲线y＝x2＋x－1在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为________． 答案：(1，1) 解析：设点M(x0，y0)，得切线的斜率k＝＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，得x0＝1，则y0＝1.故点M的坐标为(1，1)． 7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________． 答案：1 解析：由图象可得直线l与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y－4＝0，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1. 8．设点P是曲线f(x)＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围为__________． 答案：∪ 解析：设P(x0，y0)，∵f′(x)＝ ＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，∴tanα＝3x－≥－，∴α∈∪. 三、解答题 9．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程． 解：设曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线的斜率为k， 则k＝y′|x＝1 ＝ ＝(3Δx＋2)＝2. 设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l， 则由点斜式得直线l的方程为y－2＝2(x＋1)， 化为一般式为2x－y＋4＝0， 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0. 10．已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切点的坐标． 解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， 因为y′＝ ＝3x2－4x， 由题意可知，直线l的斜率k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， 所以切点的坐标为或(2，3)． 当切点为时， 有＝4×＋a，a＝； 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5. 所以当a＝时，切点的坐标为； 当a＝－5时，切点的坐标为(2，3)． 11.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系式V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于的时刻是图中的(　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 答案：C 解析：如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于的时刻是t3. 12．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为________． 答案： 解析：y′＝＝ ＝(Δx＋2x＋2)＝2x＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率k≥1.由y′＝2x＋2≥1，解得x≥－.故点P横坐标的取值范围为. 13．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值． 解：因为＝ ＝ ＝， 所以f′(1)＝＝＝， 解得a＝2或a＝－(不符合题意，舍去)． 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝， 解得b＝－1. 所以a＝2，b＝－1. 14．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l1，l2的方程． 解：y′|x＝1＝ ＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)， 即y＝3x－3. 设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2， y′|x＝b＝ ＝2b＋1， 所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)， 即y＝(2b＋1)x－b2－2. 因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1， 所以b＝－， 所以直线l2的方程为y＝－x－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $