5.1.2 第1课时 导数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦导数的概念，从函数平均变化率入手，通过具体实例计算（如函数从1到3的平均变化率）逐步过渡到瞬时变化率，构建从具体到抽象的学习支架，衔接函数变化率的前期知识，帮助学生理解导数的形成过程。 资料结合沥青温度、蜥蜴体温等实际问题引入导数意义，通过分层例题（求平均变化率、导数定义应用）和跟踪训练，培养数学抽象与数学运算素养，习题覆盖基础到拔高，适合自主学习与教师评估，助力学生用数学思维分析现实问题。

数学　选择性必修 第二册 RJ 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达.3.体会导数的内涵与思想． 教学重点：理解导数的概念． 教学难点：导数在实际问题中的意义． 核心素养：1.在学习导数定义的过程中，培养数学抽象素养.2.通过应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养． 知识点一　函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . [提醒]　某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率，含有两层含义： (1) 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2) 不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． [注意]　在导数的定义中，令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝ 与定义中的f′(x0)＝ 意义相同． 1.(求函数的平均变化率)如图，函数y＝f(x)从1到3的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 2．(导数的概念)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案：C 3．(求函数在某点处的瞬时变化率)在曲线y＝x2的图象上取一点及其附近一点，则为________，瞬时变化率为________． 答案：Δx＋1　1 4．(求函数在某点处的导数)若 ＝2，则f′(x0)＝________． 答案：1 题型一　求函数的平均变化率 　 　已知函数y＝f(x)＝x2， (1)计算函数f(x)从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； (2)当Δx越来越小时，函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率有怎样的变化趋势？ [解]　(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， 所以＝＝Δx＋2. ①当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4. ②当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3. ③当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1. ④当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01. (2)当Δx越来越小时，由(1)＝Δx＋2，得函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率逐渐变小，并趋近于2. 【感悟提升】求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的变化量Δx与函数值的变化量Δy，求平均变化率的主要步骤如下： 【跟踪训练】 1．(1)已知函数f(x)＝－，则函数f(x)从1到1.5的平均变化率为________，从1到1.1的平均变化率为________． 答案：4　 解析：∵f(x)＝－，∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－，∴函数f(x)从1到1.5的平均变化率为＝＝4，从1到1.1的平均变化率为＝＝. (2)在曲线y＝x2＋6上取一点(1，7)及邻近一点(1＋Δx，7＋Δy)，则＝________． 答案：2＋Δx 解析：由题意可知＝＝＝2＋Δx. 题型二　导数的概念及其应用　 　(1)(多选)函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(　　) A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)＋f(x0)] D．f′(x0)＝ [解析]　由导数的定义式可知A，D正确．故选AD. [答案]　AD (2)若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′(x0)＝(　　) A．0 B．1 C．3 D. [解析]　∵＝1，∴3＝1，∴3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝.故选D. [答案]　D (3)求函数f(x)＝在x＝1处的导数． [解]　f′(1)＝ ＝ ＝＝＝. (4)已知函数f(x)＝mx3＋2，且f′(－1)＝3，求m的值． [解]　∵f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋2－(－1)3m－2＝m(Δx)3－3m(Δx)2＋3mΔx， ∴＝m(Δx)2－3mΔx＋3m， 当Δx→0时，m(Δx)2－3mΔx＋3m→3m， ∴f′(－1)＝3m＝3， ∴m＝1. 【感悟提升】 (1)判断一个函数在某点处是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时的极限是否存在． (2)利用导数定义求函数在x＝x0处的导数时，先算函数值的变化量Δy，再算比值＝，再求极限f′(x0)＝. (3)导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中变化量统一为一种． 【跟踪训练】 2．(1)设＝－6，则f′(3)＝(　　) A．－12 B．－3 C．3 D．12 答案：B 解析：因为＝2＝2f′(3)＝－6， 所以f′(3)＝－3.故选B. (2)函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________． 答案：16 解析：∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴＝＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝＝(2Δx＋16)＝16. (3)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________． 答案：1 解析：∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，∴f′(1)＝ ＝＝(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1. 题型三　导数在实际问题中的意义　 　柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的．铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为y＝f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1，求f′(0.25)，并说明它的实际意义． [解]　因为y＝f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. 所以f′(0.25)＝(40＋80Δx)＝40. 它表示在x＝0.25 h附近，沥青的温度以40 ℃/h的速率上升． 【感悟提升】导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它在该处的瞬时变化率． 【跟踪训练】 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T′(5)，并解释它的实际意义． 解：(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为＝＝－1.6(℃/min)， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3) ＝ ＝－， T′(5)＝＝－1.2， 它表示在太阳落山后的5分钟左右，蜥蜴的体温每分钟大约降低1.2 ℃. 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 答案：B 解析：∵x0＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 2．(多选)设f(x)在x0处可导，则下列式子中与f′(x0)相等的是(　　) A. B. C. D. 答案：AC 解析：对于A，＝＝f′(x0)；对于B，＝2＝2f′(x0)；对于C，＝f′(x0)；对于D，＝3＝3f′(x0)．故选AC. 3．已知函数f(x)＝－，则f′(4)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：D 解析：f′(4)＝＝ ＝ ＝ ＝＝－.故选D. 4．已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为________． 答案：±2 解析：由于f′(m)＝＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 5．已知在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(rad)为φ(t)＝4t－0.3t2，则在t＝2 s时，飞轮转过的角度为________；在t＝________ s时，飞轮停止旋转． 答案：6.8　 解析：在t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(rad)．因为φ′(t)＝＝＝ ＝(4－0.3Δt－0.6t)＝4－0.6t，又飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0，所以令4－0.6t＝0，解得t＝，所以在t＝ s时，飞轮停止旋转． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 求函数的平均变化率 导数定义的应用 利用定义求函数在某一点处的导数值 利用定义求函数在某一点处的导数 根据函数图象比较平均变化率的大小 已知函数的平均变化率求参数值 已知导数值求自变量的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 导数的物理意义 求函数在某一点处的导数 导数的定义及其在实际问题中的意义 根据函数图象比较平均变化率的大小 求函数的瞬时变化率 导数定义的应用 求实际问题中的平均变化率和瞬时变化率 一、选择题 1．已知函数f(x)＝2x2－x＋1，则f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为(　　) A．2 B．2Δx＋3 C．2(Δx)2＋3Δx D．2(Δx)2－Δx＋1 答案：B 解析：函数f(x)＝2x2－x＋1从1到1＋Δx的平均变化率为＝ ＝2Δx＋3.故选B. 2．若函数f(x)可导，则 ＝(　　) A．－2f′(1) B.f′(1) C．－f′(1) D．f′ 答案：C 解析：＝－＝－f′(1)．故选C. 3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：D 解析：f(1)＝4，f′(1)＝＝＝(6＋3Δx)＝6. 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f(x)＝a B．f(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 答案：C 解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴＝a＋bΔx，∴f′(x0)＝ ＝(a＋bΔx)＝a.故选C. 5．(多选)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　) A．从1到2的平均变化率最小 B．从2到3的平均变化率大于0 C．从3到4的平均变化率比从2到3的平均变化率大 D．从4到7的平均变化率最大 答案：BC 解析：由函数图象可得，函数y＝f(x)从4到7的平均变化率小于0；从1到2、从2到3、从3到4的平均变化率均大于0且Δx相同，由图象可知函数从3到4的平均变化率最大．故选BC. 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，则t＝________． 答案：5 解析：因为函数f(x)＝x2－x从－2到t的平均变化率是2，所以＝ ＝2，解得t＝5. 7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝________． 答案：－1 解析：∵f′(x0)＝ ＝＝(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1. 8．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在t＝1 s时的加速度为________． 答案：8 m/s2 解析：由题意，得＝＝8－Δt，当Δt无限趋近于0时，可得汽车在t＝1 s时的加速度为8 m/s2. 三、解答题 9．求函数f(x)＝在x＝x0(x0>－1)处的导数． 解：f(x)＝， 则f′(x0)＝＝ ＝＝＝. 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解：根据导数的定义，得 f′(100)＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋＝0.105. f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米． 11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 答案：B 解析：由题图可知，A，B两机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好． 12．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________． 答案：16π 解析：∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝－＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π. 13．(1)若函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，求 的值； (2)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，求 的值． 解：(1) ＝－ ＝－f′(x0)． (2) ＝ ＝－f′(x0)＝. 14．有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1000 mL的水．活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm； (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率． 解：(1)由水的体积恒定不变，有10xy＝1000， ∴y＝(1≤x≤200)． (2)当活塞与左侧面的距离为1 cm时，y1＝＝100(cm)， 当活塞与左侧面的距离为2 cm时，y2＝＝50(cm)， ∴水面高度的改变量为Δy＝y2－y1＝50－100＝－50(cm)． 当活塞与左侧面的距离为8 cm时，y3＝＝12.5(cm)， 当活塞与左侧面的距离为10 cm时，y4＝＝10(cm)， ∴水面高度的改变量为Δy＝y4－y3＝10－12.5＝－2.5(cm)． 可见，前一个过程水面高度的变化较快． (3)根据瞬时变化率的含义，有y′|x＝10＝ ＝＝＝－1. 即当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率为－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $