4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦等比数列的性质及应用，从通项公式推广切入，衔接项的运算性质及多项拓展，通过常用结论构建知识支架，逐步过渡到性质应用、新数列生成及实际问题解决，形成递进式学习脉络。 资料特色在于分层题型与情境结合，以对称设元等技巧培养逻辑推理，借酒精浓度、折纸厚度等问题提升数学建模能力，习题分层训练助力数学运算素养，帮助学生系统掌握知识，提升综合应用能力。

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　等比数列的性质及应用 (教师独具内容) 课程标准：1.理解等比数列的性质，并能够运用其来解决问题.2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题.3.掌握等差数列与等比数列的综合应用问题． 教学重点：1.等比数列的性质及应用.2.等差数列与等比数列的综合应用． 教学难点：1.利用等比数列解决实际问题.2.等差数列与等比数列的综合应用． 核心素养：1.通过推导等比数列的性质及其应用，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　等比数列的项与序号的关系 (1)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)． (2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq． [拓展]　项的运算性质可推广到三项的情形，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒amanat＝apaqas，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可． (3)当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，aman＝a． (4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 知识点二　等比数列的常用结论 1．若{an}是公比为q的等比数列，则 (1){can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列． (2){|an|}是公比为|q|的等比数列． (3){a}(m为常数，m∈N*)是公比为qm的等比数列． 2．若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{anbn}是公比为q1q2的等比数列，是公比为的等比数列． [拓展]　等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列，偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； (3)若{kn}是等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列． 1．(等比数列的性质)在等比数列{an}中，a1＝1，a6＝32，则a3a4＝(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 答案：A 2．(等比数列的性质)在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6＝(　　) A．－5 B．5 C．－9 D．9 答案：D 3．(由等比数列生成新数列)(多选)已知等比数列{an}，a1＝1，q＝2，则(　　) A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D．数列是递增数列 答案：AD 4．(等比数列的实际应用)画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，…，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________． 答案：2048 题型一　等比数列的性质　 　(1)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2a8＝8，则＋＋＋的值为(　　) A．20 B．10 C．5 D. [解析]　由等比数列的性质可得a4a6＝a2a8＝8，所以＋＋＋＝＋＝＝＝.故选D. [答案]　D (2)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 [解析]　解法一：a5a2n－5＝a＝22n，又an>0，所以an＝2n，于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故选C. 解法二：a1a2n－1＝a3a2n－3＝…＝a＝22n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n2＝n2.故选C. [答案]　C 【感悟提升】运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质aman＝akal＝a(m，n，k，l，t∈N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系m＋n＝k＋l＝2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆． 【跟踪训练】 1．(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 答案：B 解析：运用等比数列的性质，可得a8a11＝a9a10＝a7a12＝5，所以a8a9a10a11＝25.故选B. (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．±5 答案：A 解析：解法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，a4a5a6＝a＝()3＝5.故选A. 解法二：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)，即a4a5a6＝±5.因为an>0，所以a4a5a6＝5.故选A. 题型二　灵活设项求解等比数列　 　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12，求这四个数． [解]　解法一：从前三个数入手，设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件，得 解得或 当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 解法二：从后三个数入手，设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件，得 解得或 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 解法三：从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12－y，16－x， 由已知，得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 【感悟提升】常见设元技巧 对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 【跟踪训练】 2．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 解：设这三个数依次为，a，aq， 则 由①，得a＝3，代入②，得q＝±3或q＝±. 当q＝3时，这三个数为1，3，9； 当q＝－3时，这三个数为－1，3，－9； 当q＝时，这三个数为9，3，1； 当q＝－时，这三个数为－9，3，－1. 题型三　由等比数列生成的新等比数列　 　(多选)设数列{an}为等比数列，q为公比，则下列四个数列是等比数列的是(　　) A．{a} B．{pan}(p为非零常数) C．{anan＋1} D．{an＋an＋1} [解析]　对于A，因为＝＝q3(常数)，所以{a}是等比数列．对于B，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列．对于C，因为＝＝q2(常数)，所以{anan＋1}是等比数列．对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列；当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．故选ABC. [答案]　ABC 【感悟提升】由等比数列生成新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否含有0，主要是针对q<0的情况． 【跟踪训练】 3．设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案：D 解析：因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1，2，3，…，n，…)，则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，数列{An}(n＝1，2，3，…)为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)． 题型四　等比数列的实际应用　 　从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是多少？ (2)当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10%? [解]　(1)设开始的浓度为1，操作1次后溶液浓度为a1＝1－，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an， ∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列． ∴an＝a1qn－1＝， 即第n次操作后溶液的浓度是. (2)当a＝2时，由an＝<，n∈N*，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度低于10%. 【感悟提升】等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答． 【跟踪训练】 4．已知月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是________．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3.8≈0.58) 答案：42 解析：设对折n次时，纸的厚度为an毫米，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n>38×104×106，即2n>3.8×1012，所以lg 2n>lg 3.8＋12，即nlg 2>lg 3.8＋12，解得n>≈≈41.9，所以至少对折的次数n是42. 1．在等比数列{an}中，已知a3a8＝10，则aa4a8＝(　　) A．100 B．1000 C．10000 D．100000 答案：A 解析：因为a3a8＝10，所以aa4a8＝aa＝(a5a6)2＝(a3a8)2＝100. 2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：∵a3a11＝16，∴a＝16.又等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4，a10＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B. 3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则(　　) A．新数列是公比为q的等比数列 B．新数列是公比为q2的等比数列 C．新数列是公比为q3的等比数列 D．新数列不一定是等比数列 答案：B 解析：设新数列为{bn}，则bn＝anan＋1，所以＝＝＝q2，所以数列{bn}是公比为q2的等比数列． 4．(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则(　　) A．a6＝ B.＝8 C．a5＋a6＝ D．a1＋a2＋a3＝1－a3 答案：BD 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，则an＝×＝，所以a6＝＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋a3＝1－a3＝.故选BD. 5．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和为________． 答案：45 解析：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，即整理，得解得所以这四个数是3，6，12，24，其和为45. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 利用等比中项公式求值 等比数列的判定 应用公式apaq＝aman(p＋q＝m＋n)求数列中某几项的积 等比数列的实际应用 等比数列性质的综合应用 应用公式apaq＝aman(p＋q＝m＋n)求数列中某几项的和 等比数列的判断与性质 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★ ★★★ ★★★ 对点 等比数列的实际应用(衰分问题) 由等比数列中的项求通项公式；由等比数列的性质求值 等比数列的实际应用 等比数列的判定(新定义问题) 应用公式apaq＝aman(p＋q＝m＋n)求数列中某几项的积 等比数列的实际应用(学生用餐问题) 由等差数列与等比数列生成的新数列问题 一、选择题 1．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝(　　) A．15 B．9 C．－9 D．±9 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a5＝a3q2＝3q2>0，由等比中项的性质可得a＝a3a7＝3×27＝81，故a5＝9.故选B. 2．若数列a1，a2，a3，…是等差数列，则数列2a1，2a2，2a3，…一定是(　　) A．等比数列 B．等差数列 C．既是等比数列又是等差数列 D．既不是等比数列，也不是等差数列 答案：A 解析：∵∀n∈N*，＝2an＋1－an，又数列a1，a2，a3，…是等差数列，∴an＋1－an是常数，＝2an＋1－an也是常数，∴{2an }一定是等比数列．故选A. 3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12＝(　　) A．16 B．32 C．64 D．256 答案：C 解析：由已知，得a1a19＝16，又a1a19＝a8a12＝a，∴a8a12＝a＝16，又an>0，∴a10＝4，∴a8a10a12＝a＝64. 4．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 答案：C 解析：由题意可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则F4对应单位时间内的进光量为a5，F1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．故选C. 5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，且满足条件0<a1<1，a2024a2025>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．q>1 B．a2024a2026>1 C．Tn的最小值为T2025 D．T4047<1 答案：ABD 解析：对于A，由0<a1<1，a2024a2025>1，<0，得0<a2024<1，a2025>1，所以q>1，故A正确；对于B，a2024a2026＝a>1，故B正确；对于C，结合A项分析可得，当1≤n≤2024时，0<an<1，当n≥2025时，an>1，所以Tn的最小值为T2024，故C不正确；对于D，T4047＝a1a2a3…a4047＝a<1，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，则a4＋a8＝________． 答案：2 解析：∵a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，∴a＋a＝48，a4a8＝6，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝60.又{an}的各项均为正数，∴a4＋a8＝2. 7．若{an}，{bn}都是等比数列，且a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________． 答案：12 解析：易知{anbn}为等比数列，则有(a5b5)2＝(a1b1)(a9b9)，即62＝3a9b9，所以a9b9＝12. 8．在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 答案： 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或q＝.又0<q<1，∴q＝. 三、解答题 9．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝1，a5＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求lg (a1a2a3…a100)的值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝1，a5＝100， 所以q＝＝10，a1＝＝10－2， 所以an＝10－2×10n－1＝10n－3. (2)解法一：因为a1a100＝a2a99＝…＝a50a51＝1095，所以lg (a1a2a3…a100)＝lg (a50a51)50＝lg 1095×50＝95×50＝4750. 解法二：lg (a1a2a3…a100) ＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100 ＝lg 10－2＋lg 10－1＋lg 1＋…＋lg 1097 ＝(－2)＋(－1)＋0＋…＋97 ＝＝4750. 10．小张买了一辆价值10万元的新车，根据市场行情，该款车每年按20%的速度折旧． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大概能得多少万元？(精确到0.01万元) 解：(1)设n年后这辆车的价值为an， 由题意，得an＋1＝(1－20%)an，即＝80%. 因为一年后这辆车的价值为a1＝10×0.8， 所以an＝a1·0.8n－1＝10×0.8n，n∈N*. (2)由(1)，得a6＝10×0.86＝2.62144≈2.62(万元)， 所以使用6年后卖掉这辆车，他大概能得2.62万元． 11．(多选)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数，其中是“保等比数列函数”的为(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |x| 答案：AC 解析：设数列{an}的公比为q(q≠0)．对于A，＝＝q2，是常数，故A符合“保等比数列函数”的定义；对于B，＝＝2an+1-an，显然当公比q≠1时，上式不是常数，故B不符合“保等比数列函数”的定义；对于C，＝＝＝，是常数，故C符合“保等比数列函数”的定义；对于D，＝，显然当公比q≠±1时，上式不是常数，故D不符合“保等比数列函数”的定义．故选AC. 12．设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，那么a3a6…a30＝________(结果用指数幂表示)． 答案：220 解析：解法一：因为a1a30＝a2a29＝a3a28＝…＝a15a16，所以a1a2a3…a30＝(a1a30)(a2a29)·(a3a28)…(a15a16)＝(a15a16)15＝230，所以a15a16＝4，所以a3a6…a30＝(a3a30)(a6a27)·…·(a15a18)＝(a15a18)5＝[a15(a16×22)]5＝(a15a16)5×210＝45×210＝220. 解法二：由题意，得a1a2a3…a30＝··a3···a6·…···a30，所以＝＝230，所以a3a6·…·a30＝220. 13．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜，而这星期一选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an，bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数． (1)试用an－1(n∈N*且n≥2)表示an，判断数列{an－300}是否为等比数列，并说明理由； (2)若第1个星期一选A菜的有200名学生，那么第10个星期一选A菜的大约有多少名学生？ 解：(1)由题意，知对任意n∈N*有bn＝500－an， 所以当n∈N*且n≥2时，an＝an－1＋(500－an－1)， 所以an＝an－1＋150， 所以an－300＝(an－1－300)， 所以当a1＝300时，数列{an－300}不是等比数列； 当a1≠300时，数列{an－300}是以a1－300为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，当a1＝200时，an－300＝(a1－300)＝－， 所以an＝300－， 所以a10＝300－≈300， 所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生． 14．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n，数列{cn}是由{an}，{bn}的公共项从小到大排列构成的数列． (1)求c1，c2，c3及{cn}的通项公式； (2)在cn与cn＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列． ①求d1，d2的值； ②在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为bn＝2n，n∈N*， 所以数列{bn}中的每一项都能被2整除， 所以数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项，又数列{an}，{bn}都是递增数列， 所以由{an}，{bn}的公共项从小到大排列构成的数列为{bn}， 所以c1＝b1＝2，c2＝b2＝4，c3＝b3＝8， cn＝bn＝2n，n∈N*. (2)①由cn＝2n，得cn＋1＝2n＋1. 当n＝1时，c1＝2，c2＝4，由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为d1的等差数列， 故d1＝＝1； 当n＝2时，c2＝4，c3＝8，由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为d2的等差数列， 故d2＝＝. ②不存在，理由如下： 由题意，cn＋1＝cn＋(n＋2－1)dn， 即2n＋1＝2n＋(n＋1)dn， 所以dn＝. 假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中2k＝m＋p)成等比数列， 则(dk)2＝dmdp，即＝·，化简，得＝. 又因为m＋p＝2k， 所以＝＝， 所以(k＋1)2＝mp＋2k＋1，所以k2＝mp， 又因为m＋p＝2k， 所以＝mp， 即(m－p)2＝0，所以m＝p，即m＝p＝k，这与题设矛盾． 所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中2k＝m＋p)成等比数列． 11 学科网（北京）股份有限公司 $