4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　等差数列的性质及应用 (教师独具内容) 课程标准：1.理解等差数列的性质.2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 教学重点：等差数列的性质及应用． 教学难点：等差数列性质的应用． 核心素养：1.通过学习利用等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理素养和数学运算素养.2.通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养． 知识点一　等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． [说明]　公式d＝(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演变而来的．已知数列中的任意两项，只要弄清所在项的序号，就可以应用该公式来求得d. (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. [拓展]　项的运算性质可推广到三项的情形，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． (3)当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． (4)有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋an－1＝ak＋an－k＋1＝2a (其中n为奇数且n≥3)． 知识点二　等差数列的常用结论 1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． 2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 3．等差数列{an}中每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 1．(等差数列的项与序号的关系)在等差数列{an}中，a3＝2，公差d＝－1，则a10＝(　　) A．－4 B．4 C．－5 D．5 答案：C 2．(等差数列的项的对称性)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．30 B．15 C．5 D．10 答案：B 3．(等差数列的性质)若等差数列{an}中，a5＝a，a10＝b，则a15＝________． 答案：2b－a 4．(灵活设项求解等差数列)已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a2＋b4＝7，a8＋b8＝11，则a5＋b6＝________． 答案：9 题型一　等差数列性质的应用　 　(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝(　　) A．14 B．12 C．10 D．8 [解析]　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d. 解法一：d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8，∴b8＝2×8－8＝8.故选D. 解法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.故选D. [答案]　D (2)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a19＋a22＝28，则a12＝(　　) A．45 B．6 C．7 D．8 [解析]　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a5＋a19＋a22＝(a2＋a22)＋(a5＋a19)＝4a12＝28，所以a12＝7. [答案]　C (3)在等差数列{an}中，若a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝________． [解析]　解法一：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 解法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24. [答案]　24 【感悟提升】等差数列性质的应用技巧 (1)应用等差数列的通项公式的变形公式am＝an＋(m－n)d可以方便地求出d，从而写出通项公式． (2)利用已知m，n，p，q，r∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq或若m＋n＝2r，则am＋an＝2ar可以将题目条件转化． 【跟踪训练】 1．(1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10 B．－10 C．15 D．－15 答案：B 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10，∴a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________． 答案：18 解析：解法一：根据等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 解法二：设等差数列{an}的公差为d.根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，所以4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.所以a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18. (3)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a15＝8，a60＝20，则a75＝________． 答案：24 解析：解法一：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 解法二：由题意，知解得∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 解法三：∵数列{an}是等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d′，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d′，即20＝8＋3d′，∴d′＝4，∴a75＝a60＋d′＝20＋4＝24. 题型二　灵活设项求解等差数列　 　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数． [解]　设这三个数为a－d，a，a＋d. 则 解得或 所以这三个数为5，7，9或9，7，5. 【感悟提升】常见的设元技巧 (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 【跟踪训练】 2．已知递增的等差数列{an}的前3项和为21，前3项积为231，求数列{an}的通项公式． 解：解法一：由于数列{an}为等差数列，因此可设前3项分别为a－d，a，a＋d， 由题意，得 即 解得或 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an＝4n－1. 解法二：根据题意，设等差数列{an}的前3项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 即 解得或 因为数列{an}为递增数列，所以 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 题型三　由等差数列生成的新等差数列　 　有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 [解析]　易知第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，由12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16. [答案]　B 【感悟提升】对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从以下两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数． 【跟踪训练】 3．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________． 答案：－ 解析：∵等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，∴数列{an}的公差d＝＝－，则可得{an}的通项公式为an＝8＋(n－1)×＝－n＋.若在{an}每相邻两项之间各插入一个数，得到新的等差数列{bn}，则可得b1＝a1＝8，b3＝a2＝－×2＋＝，∴数列{bn}的公差d1＝＝－. 题型四　等差数列的实际应用　 　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ [解]　由题意可知，设第1年获利为a1万元，第n年获利为an万元，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损． 【感悟提升】解决等差数列实际问题的步骤 (1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中． 【跟踪训练】 4．如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前3项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 解：(1)设这三个正方形的边长组成的等差数列的公差为d(d>0)，BC＝x， 则AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意，得 解得或(舍去)． 所以AB＝3 cm，BC＝7 cm，CD＝11 cm. (2)因为正方形的边长构成首项是3，公差是4的等差数列{an}， 所以a10＝3＋(10－1)×4＝39，a＝392＝1521. 所以所求正方形的面积为1521 cm2. 1．已知{an}是等差数列，a6＝8，a8＝6，则a14＝(　　) A．－14 B．－6 C．0 D．14 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d，则2d＝a8－a6＝－2，解得d＝－1，所以a14＝a8＋6d＝6－6＝0.故选C. 2．若{an}为等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　) A．39 B．20 C．19.5 D．33 答案：D 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15，∵a2＋a5＋a8＝3a5＝39，∴a5＝13，∴d＝a5－a4＝－2，a6＝a5＋d＝11，∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3×11＝33.故选D. 3．(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则(　　) A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 答案：ACD 解析：依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N*，n≤12)是等差数列，因此a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，解得a4＝12.5，又a12＝4.5，设等差数列{an}的公差为d，于是，得解得a1＝15.5，d＝－1，A正确；a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确；a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确；a8＝a1＋(8－1)d＝8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确．故选ACD. 4．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝1，b1＝2，a3＋b3＝5，则a2025＋b2025＝________． 答案：2027 解析：因为{an}，{bn}均为等差数列，所以{an＋bn}为等差数列，因为a1＋b1＝3，a3＋b3＝5，所以{an＋bn}的公差为1，所以a2025＋b2025＝a3＋b3＋2022×1＝2027. 5．若成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，则这四个数为________． 答案：2，5，8，11或11，8，5，2 解析：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意知解得或所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用等差数列的性质求数列中的项 利用等差数列的性质求数列中的项 由等差数列生成的新等差数列问题 等差数列的实际应用(木梯问题) 由等差数列中的项和增减性求公差、通项公式、值 利用等差数列的性质求值 由等差数列生成的新等差数列问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 灵活设项求解等差数列问题 利用等差数列的性质求值 由等差数列生成的新等差数列问题 等差数列的实际应用(建筑问题) 利用等差数列的性质求数列中的项 等差数列的实际应用(方案选择问题) 等差数列的证明(新定义问题) 一、选择题 1．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a5＝(　　) A．8 B．16 C．20 D．17 答案：A 解析：由等差数列{an}的性质，得a4＋a8＝a7＋a5＝12＋a5＝20，解得a5＝8.故选A. 2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a2＋a3＝3，a2＋a3＋a4＝6，则a8＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1，a2＋a3＋a4＝3a3＝6，得a3＝2，设等差数列{an}的公差为d，则d＝a3－a2＝1，所以a8＝a2＋6d＝1＋6×1＝7.故选D. 3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　) A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 答案：C 解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d，所以新数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．故选C. 4．做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列．现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是(　　) A. m B. m C. m D. m 答案：B 解析：记7根横梁的长度从上到下成等差数列{an}(1≤n≤7，n∈N*)，由题意，得a1＋a2＋a3＝1.5，a5＋a6＋a7＝2，∴3a2＝1.5，3a6＝2，故a2＝，a6＝，∵2a4＝a2＋a6，∴a4＝，即正中间的一根横梁的长度是 m．故选B. 5．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则(　　) A．数列{an}的公差为－ B．an＝－n＋ C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列 D．a1a7＋a4＝－1 答案：ABC 解析：由题意知，a2＋a4＝2a3＝2.又a2a4＝，数列{an}为递减数列，∴a4＝，a2＝.∴公差d＝＝－，故A正确；又a1＝a2－d＝2，∴an＝2＋(n－1)×＝－n＋，故B正确；由上可知a1an＝－n＋5，∴数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确；a1a7＋a4＝－7＋5＋＝－，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．已知等差数列{an}满足a5＝2，a11＝11，则a－a＝________． 答案：36 解析：因为a5＋a8＝a2＋a11，所以a11－a5＝a8－a2＝9，因此a－a＝(a8－a2)(a8＋a2)＝9×2a5＝36. 7．数列{2n}与{3n－1}的所有公共项从小到大排列构成一个新的数列{an}，则a20＝________． 答案：116 解析：{2n}与{3n－1}的所有公共项从小到大排列构成一个新的数列为2，8，14，…，故{an}是首项为2，公差为6的等差数列，所以an＝2＋6(n－1)＝6n－4，所以a20＝120－4＝116. 8．设数列{an}是递减数列，前3项成等差数列，且前3项的和为12，前3项的积为48，则它的首项是________，它的第2项是________． 答案：6　4 解析：∵前3项成等差数列，∴可以设前3项分别为a－d，a，a＋d，由题设，可知 解得或∴数列{an}的第2项是4.∵数列{an}是递减数列，∴d<0，∴d＝－2，∴首项为a－d＝4－(－2)＝6. 三、解答题 9．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a10＋a11＝48，得 2(a6＋a7)＝48，∴a6＋a7＝24. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得 2(a2＋a5)＝34，得a2＋a5＝17. 由得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 10．已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}． (1)求b50； (2)a50是新数列{bn}中的第几项？ 解：(1)an＝a5＋(n－5)d＝4n－16. 在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12， 公差d′＝d＝， ∴bn＝－12＋(n－1)＝n－， ∴b50＝. (2)由a50＝184＝n－，得n＝148. ∴a50是新数列{bn}中的第148项． 11．(新高考卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 答案：D 解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且＝0.725，所以＝0.725，故k3＝0.9.故选D. 12．已知正项等差数列{an}满足＝(n∈N*)，则＝________． 答案：1013 解析：因为{an}为等差数列，所以a1＋a3＋…＋a2n－1＝nan，a3＋a5＋…＋a2n＋1＝nan＋2，则＝＝，所以＝，从而＝＝…＝，故＝＝1013. 13．有一批电子设备原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电子设备，则去哪一家商场购买花费较少？ 解：设某单位需购买电子设备n台． 在甲商场购买时，所买电子设备的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800(n∈N*)， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元． 到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)． 比较在甲、乙两家家电商场购买费用的大小： 当n<10时，(800－20n)n>600n， 到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，(800－20n)n＝600n， 到甲、乙两家商场购买花费相同； 当10<n≤18时，(800－20n)n<600n， 到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少． 综上，当购买电子设备台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电子设备10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电子设备台数多于10台时，到甲商场购买花费较少． 14．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)恒成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：数列{an}是等差数列． 证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d，从而当n≥4时， an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”． (2)因为数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”， 所以当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′. 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4， 所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3， 所以a1＝a3－2d′， 所以数列{an}是等差数列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $