1.2.3 简单复合函数的求导-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案聚焦简单复合函数的求导，针对形如f(ax＋b)的复合函数，衔接基本初等函数求导知识，通过概念解析、求导法则推导及注意事项说明，构建层层递进的学习支架，帮助学生理解复合关系。 资料设计注重基础巩固与能力提升，包含判一判、做一做等即时练习，分题型示例（简单求导与综合应用）并附感悟提升，引导学生分步掌握求导法则，有效提升数学运算素养和逻辑推理能力，便于自主学习与教师教学评估。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．2．3　简单复合函数的求导 (教师独具内容) 课程标准：能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导法则． 教学难点：复合函数求导法则的运用． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则提升数学运算素养． 知识点一　复合函数的概念 一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数． 知识点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝F(x)＝f(g(x))(u＝g(x))的求导法则为F′(x)＝f′(u)·g′(x)．也可以记作yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 对于复合函数的求导法则需注意的几点 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x． (3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu×2＝2cosu＝2cos． (4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ln x＋ex＋x3＋是复合函数．(　　) (2)函数y＝sin23x可以看作函数y＝u2，u＝sint和t＝3x的复合函数．(　　) (3)函数y＝ln 的导数为y′＝x．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)下列结论中正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝xsin2x，则y′＝cos2x (2)函数y＝sin2xcos3x的导数是________． (3)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________． 答案　(1)B　(2)2cos2xcos3x－3sin2xsin3x (3)1 题型一　简单复合函数的求导 　求下列函数的导数． (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝． [解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12． (2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成， ∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝． (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝()′·(3x＋5)′＝＝． 【感悟提升】 1．复合函数求导的步骤 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本初等函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次； (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝5log2(2x＋1)． 解　(1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′·(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2) －·(－4x)＝． (2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eucosx＝esinxcosx． (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝＝． 题型二　导数的综合应用 　(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________． [解析]　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x．又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x．所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x．因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2．则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0． [答案]　2x－y＝0 (2)已知曲线y＝cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值． [解]　∵曲线y＝cos过点， ∴cos＝0， ∴ω×＋＝nπ＋(n∈Z)， ∴ω＝2n＋(n∈Z)， 又y′＝－ωsin，设f(x)＝y， ∴k＝f′ ＝－sin ＝－sin＝±． ∵|k|<1，∴|2n＋|<1，n只能取0， ∴ω＝． 【感悟提升】 高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解． 【跟踪训练】 2.(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 答案　5x＋y－3＝0 解析　y′＝－5e－5x，设f(x)＝y，则曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝f′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0． (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________． 答案　 解析　设曲线f(x)＝y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是． 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案　A 解析　A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cosu的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．故选A． 2．函数y＝cos(1＋x2)的导数是(　　) A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2) C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2) 答案　C 解析　y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)． 3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 答案　B 解析　因为f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10×(1－2)9×(－6)＝60． 4．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 答案　y＝4x－3 解析　y′＝3ln x＋1＋x×＝3ln x＋4，则曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3． 5．求下列函数的导数． (1)y＝sin；(2)y＝； (3)y＝ln (4x＋5)3；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5． 解　(1)因为y＝sin， 所以y′＝cos′＝－2cos． (2)因为y＝＝(1－2x2)， 所以y′＝－(1－2x2) －－1(1－2x2)′＝2x(1－2x2)＝． (3)因为y＝ln (4x＋5)3， 所以y′＝×[(4x＋5)3]′＝×3(4x＋5)2×4＝． (4)因为y＝e－x＋2(2x＋1)5，所以y′＝(e－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2[(2x＋1)5]′＝e－x＋2(－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2×5(2x＋1)4(2x＋1)′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋10(2x＋1)4e－x＋2＝e－x＋2(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝e－x＋2(2x＋1)4(9－2x)． 课后课时精练 一、选择题 1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　) A．4(3x－2) B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 答案　D 解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 2．设f(x)＝ln，则f′(2)＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵f(x)＝ln ，由复合函数的导数公式得f′(x)＝·＝，∴f′(2)＝．故选B． 3．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　) A． B． C．1 D． 答案　B 解析　由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝，由f′(x0)＝＝1，解得x0＝． 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C． D．－ 答案　A 解析　对f(x)＝ex＋ae－x求导得f′(x)＝ex－ae－x．又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x．设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得e x0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln 2．故选A． 5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 答案　BCD 解析　∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 二、填空题 6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________． 答案　 解析　y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)，则y′＝1－＝．当x＝0时，y′＝＝． 7．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________． 答案　 解析　f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin．若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又φ∈(0，π)，∴φ＝． 8．(新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 答案　ln 2 解析　设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2． 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝e－2x＋1； (3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝102x＋3； (5)y＝． 解　(1)函数y＝＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，由复合函数的求导法则可得y＝y·t＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)×3＝－12(1＋3x)－5＝－． (2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y＝y·u＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu×(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1． (3)函数y＝log2(4x＋7)可以看作函数y＝log2u和u＝4x＋7的复合函数，根据复合函数求导法则有y＝y·u＝(log2u)′·(4x＋7)′＝×4＝． (4)函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则y＝y·u＝102x＋3×ln 10×2＝2×102x＋3×ln 10． (5)y′＝ ＝． 10．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切．求a，b的值． 解　由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1． 由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为＋a． 由题意，得＋a＝，故a＝0． ∴a，b的值分别为0，－1． 1．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式． 解　由已知，得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x， 所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1， 即f(0)＝1． 又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e． 从而f(x)＝ex－x＋x2． 2．曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解　由曲线y＝e2xcos3x， 得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x－3e2xsin3x， ∴当x＝0时，y′＝2． ∴曲线在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1． 设直线l的方程为y＝2x＋b， 由题意得＝， ∴b＝6或b＝－4． ∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4． 8 学科网（北京）股份有限公司 $