2.2 第1课时 空间向量的概念及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案课件PPT（湘教版）

第2章　空间向量与 立体几何 2.2　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：1．空间向量的概念．2．空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1．通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养．2．通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养．3．通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　空间向量 (1)定义 空间中____________________的量称为空间向量． (2)模 空间向量a的大小(或长度)称为a的____，记为____． 既有大小又有方向 模 |a| 核心概念掌握 5 几何表示法 空间向量用___________表示 字母表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作_______，其模记为______或________ 有向线段 |a| (3)表示方法 核心概念掌握 6 方向相同且长度相等 方向相反、长度相等 0 0 任意的 核心概念掌握 7 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加减法运算(如图)： _________＝＋＝； _________＝－＝． a＋b a－b 核心概念掌握 8 b＋a a＋(b＋c) 对角线 核心概念掌握 9 知识点三　向量与实数相乘 (1)向量λa的模：|λa|＝_______． (2)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 λ>0 方向______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向______ |λ||a| 相同 相反 核心概念掌握 10 长度为1 b∥a λa＋λb λ1a＋λ2a 核心概念掌握 11 1．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 核心概念掌握 12 核心概念掌握 13 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的方向是确定的．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(　　) (4)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　) √ × √ × 核心概念掌握 14 相等 相反 －a＋b－c 核心概念掌握 15 核心素养形成 题型一　空间向量的基本概念 核心素养形成 17 核心素养形成 18 【感悟提升】 解决有关向量基本概念的问题，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题，在此过程中，要注意以下几点： (1)因为空间中任意两个向量都可以平移到同一平面上，故空间中任意两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． (2)零向量是一个特殊的向量，易忽略，要注意！ (3)注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 题型二　空间向量的加减运算 核心素养形成 21 【感悟提升】　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 题型三　向量与实数相乘 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 【跟踪训练】 3. 已知空间向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线． 核心素养形成 27 随堂水平达标 1．下列关于空间向量的命题中，是假命题的是(　　) A．任意两个向量共面 B．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 C．两个非零向量相加一定可以用平行四边形法则 D．平行且模相等的两个向量不一定是相等向量 解析　空间中任意两个向量都是共面的，A为真命题；同平面向量一样，任意两个空间向量的模可以比较大小，但任意两个空间向量是不能比较大小的，B为真命题；当两个非零向量共线时，相加不能用平行四边形法则，C为假命题；根据相等的向量的定义，知大小相等、方向相同的两个向量是相等向量，平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，D为真命题．故选C． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 0 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 一、选择题 1．下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝_____． 解析　因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝|a|－|b|＋|c|＝3－2＋1＝2． 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 3a＋3b－5c 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 　　　　　　　　　　　　　 R eq \o(AB,\s\up16(→)) |eq \o(AB,\s\up16(→))| (4)几类特殊的空间向量 ①相等向量：______________________的向量称为相等向量． ②相反向量：______________________的向量称为相反向量． ③零向量：零向量的大小|a|＝____，用长度为0的有向线段eq \o(AA,\s\up14(→))表示，记作_____．零向量所表示的位移的起点与终点重合，即保持起点不动．零向量的方向可以是_________． (2)空间向量的加法运算律 ①加法交换律：a＋b＝_________． ②加法结合律：(a＋b)＋c＝_____________． (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝______． 结论：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的__________所表示的向量． eq \o(AD,\s\up12(→)) (3)单位向量：__________的向量称为单位向量．对于每个非零向量a，与它方向相同的唯一单位向量e＝eq \f(1,|a|)a． (4)共线向量：对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作_______．零向量与任意向量共线． (5)空间向量与实数的乘法运算律 ①对向量加法的分配律：λ(a＋b)＝_________． ②对实数加法的分配律：(λ1＋λ2)a＝__________． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))，误写成eq \o(BD,\s\up12(→))，应为eq \o(DB,\s\up12(→))． 4．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使eq \o(AB,\s\up12(→))＝λeq \o(BC,\s\up12(→))(或eq \o(AB,\s\up12(→))＝λeq \o(AC,\s\up12(→)))即可，也可用“对空间任意一点O，有eq \o(OC,\s\up12(→))＝teq \o(OA,\s\up12(→))＋(1－t)eq \o(OB,\s\up12(→))”来证明A，B，C三点共线． 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AA1,\s\up16(→))与eq \o(CC1,\s\up16(→))是______向量，向量eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(C1A1,\s\up16(→))是______向量． (2)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＝______；eq \o(DD1,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝______． (3)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \o(CA,\s\up12(→))＝a，eq \o(CB,\s\up12(→))＝b，eq \o(CC1,\s\up16(→))＝c，则eq \o(A1B,\s\up16(→))＝__________. eq \o(AC1,\s\up12(→)) eq \o(BD1,\s\up12(→)) ①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(A1C1,\s\up12(→))； ②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④只有零向量的模为0． 其中假命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①是真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(A1C1,\s\up12(→))的方向相同，模也相等，应有eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(A1C1,\s\up12(→))； ②是真命题．向量的相等满足递推规律； ③是假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等； ④是真命题．根据零向量的定义可知． 【跟踪训练】 1.下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→)) 解析　|a|＝|b|，说明a与b的模相等，但方向不确定，故A错误；向量a是向量b的相反向量，则b＝－a，故|a|＝|b|，故B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，故C错误；只有在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))才能成立，在其他四边形中，eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))不成立，故D错误． (1)eq \o(AA′,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))； (2)eq \o(AA′,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(B′C′,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(AA′,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AA′,\s\up12(→))－eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \o(AA′,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AD′,\s\up12(→))． (2)eq \o(AA′,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(B′C′,\s\up12(→))＝(eq \o(AA′,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)))＋eq \o(B′C′,\s\up12(→))＝eq \o(AB′,\s\up12(→))＋eq \o(B′C′,\s\up12(→))＝eq \o(AC′,\s\up12(→))． 向量eq \o(AD′,\s\up12(→))，eq \o(AC′,\s\up12(→))如图所示． 【跟踪训练】 2.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))；(2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(GD,\s\up12(→))－eq \o(CE,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))． (2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(GD,\s\up12(→))－eq \o(CE,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(EF,\s\up12(→))＋eq \o(EC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(EF,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＋eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(AF,\s\up12(→))． 作出向量eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(AF,\s\up12(→))如图所示． (A1O,\s\up12(→))INCLUDEPICTURE"例3.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张伟\\PPT\\557数学\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\557数学（选择性必修第二册导学案（湘教\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\557数学（选择性必修第二册导学案（湘教\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\557数学（选择性必修第二册导学案（湘教\\例3.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up12(→))，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线． 证明　连接AO，AC1，A1C1． ∵eq \o(A1O,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up12(→))， ∴eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \o(A1O,\s\up12(→))＝eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up12(→))＝eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(A1A,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up12(→))． ∵eq \o(AC,\s\up12(→))＝2eq \o(AM,\s\up12(→))，eq \o(AA1,\s\up12(→))＝eq \o(AC1,\s\up12(→))＋eq \o(C1A1,\s\up12(→))＝eq \o(AC1,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AC1,\s\up12(→))－2eq \o(AM,\s\up12(→))， ∴eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AC1,\s\up12(→))－2eq \o(AM,\s\up12(→)))＋eq \f(4,3) eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC1,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AM,\s\up12(→))． ∴eq \o(AO,\s\up12(→))－eq \o(AC1,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(AM,\s\up12(→))－eq \o(AC1,\s\up12(→)))，∴eq \o(C1O,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(C1M,\s\up12(→))． ∴C1，O，M三点共线． 【感悟提升】 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b． (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使eq \o(PA,\s\up12(→))＝λeq \o(PB,\s\up12(→))成立． (2)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋teq \o(AB,\s\up12(→))(t∈R)． (3)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up12(→))＝xeq \o(OA,\s\up12(→))＋yeq \o(OB,\s\up12(→))(x＋y＝1)． 解　假设存在实数λ，使a＝λb， 即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)， ∵e1，e2不共线， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3λ＝3，,8λ＝4，))无解． ∴不存在实数λ，使a＝λb， 即a与b不共线． 2．已知空间向量a，b，且eq \o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq \o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq \o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析　由已知可得eq \o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝2a＋4b，所以eq \o(BD,\s\up12(→))＝2eq \o(AB,\s\up12(→))，即eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))是共线向量，所以A，B，D三点共线． 3．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq \o(BD1,\s\up12(→))的是(　　) A．(eq \o(A1D1,\s\up12(→))－eq \o(A1A,\s\up12(→)))－eq \o(AB,\s\up12(→)) B．(eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(BB1,\s\up12(→)))－eq \o(D1C1,\s\up12(→)) C．(eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))－eq \o(DD1,\s\up12(→)) D．(eq \o(B1D1,\s\up12(→))－eq \o(A1A,\s\up12(→)))＋eq \o(DD1,\s\up12(→)) 解析　对于A，(eq \o(A1D1,\s\up12(→))－eq \o(A1A,\s\up12(→)))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(A1D1,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \o(A1D1,\s\up12(→))＝eq \o(BD1,\s\up12(→))；对于B，(eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(BB1,\s\up12(→)))－eq \o(D1C1,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(BB1,\s\up12(→))＋eq \o(C1D1,\s\up12(→))＝eq \o(BC1,\s\up12(→))＋eq \o(C1D1,\s\up12(→))＝eq \o(BD1,\s\up12(→))；对于C，(eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))－eq \o(DD1,\s\up12(→))＝eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(DD1,\s\up12(→))＝eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(B1B,\s\up12(→))＝eq \o(B1D,\s\up12(→))≠eq \o(BD1,\s\up12(→))；对于D，(eq \o(B1D1,\s\up12(→))－eq \o(A1A,\s\up12(→)))＋eq \o(DD1,\s\up12(→))＝eq \o(B1D1,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \o(DD1,\s\up12(→))＝eq \o(B1D1,\s\up12(→))＋eq \o(BB1,\s\up12(→))＋eq \o(DD1,\s\up12(→))＝eq \o(BD1,\s\up12(→))＋eq \o(DD1,\s\up12(→))≠eq \o(BD1,\s\up12(→))．故选AB． 4．化简2eq \o(AB,\s\up12(→))＋2eq \o(BC,\s\up12(→))＋3eq \o(CD,\s\up12(→))＋3eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝_____． 解析　2eq \o(AB,\s\up12(→))＋2eq \o(BC,\s\up12(→))＋3eq \o(CD,\s\up12(→))＋3eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝2(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)))＋3(eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→)))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝2eq \o(AC,\s\up12(→))＋3eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝3eq \o(AC,\s\up12(→))＋3eq \o(CA,\s\up12(→))＝3(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)))＝0． 5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up12(→))＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量： (1)eq \o(MB,\s\up12(→))；(2)eq \o(ND,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(MB,\s\up12(→))＝eq \o(MC1,\s\up12(→))＋eq \o(C1C,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(A1A,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)a－b－c． (2)eq \o(ND,\s\up12(→))＝eq \o(NA1,\s\up12(→))＋eq \o(A1D,\s\up12(→))＝eq \f(1,5) eq \o(CA1,\s\up12(→))＋eq \o(A1D,\s\up12(→)) ＝eq \f(1,5)(－eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up12(→)))＋eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AA1,\s\up12(→)) ＝－eq \f(1,5)a＋eq \f(4,5)b－eq \f(4,5)c． 解析　因为向量eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BA,\s\up12(→))互为相反向量，所以|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(BA,\s\up12(→))|，故A正确；将空间所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；空间向量可以用有向线段来表示，但二者并不相同，故C错误；两个空间向量不相等但有可能模相等，如相反向量，故D错误．故选A． 2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)))等于(　　) A．eq \o(AG,\s\up12(→)) B．eq \o(CG,\s\up12(→)) C．eq \o(BC,\s\up12(→)) D．eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up12(→)) 解析　如右图所示．∵G是CD的中点，∴eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)))＝eq \o(BG,\s\up12(→))，∴eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)))＝eq \o(AG,\s\up12(→))． 3．设棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点构成集合S，集合P＝{a|a＝eq \o(P1P2,\s\up12(→))，P1，P2∈S}，则集合P中模为eq \r(3)的向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　集合P中模为eq \r(3)的向量有eq \o(AC1,\s\up12(→))，eq \o(C1A,\s\up12(→))，eq \o(BD1,\s\up12(→))，eq \o(D1B,\s\up12(→))，eq \o(CA1,\s\up12(→))，eq \o(A1C,\s\up12(→))，eq \o(DB1,\s\up12(→))，eq \o(B1D,\s\up12(→))，所以集合P中模为eq \r(3)的向量的个数是8．故选D． 4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A．eq \o(EB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→))－eq \o(EH,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→))＝0 B．eq \o(EB,\s\up12(→))＋eq \o(FC,\s\up12(→))＋eq \o(EH,\s\up12(→))－eq \o(EG,\s\up12(→))＝0 C．eq \o(EF,\s\up12(→))＋eq \o(FG,\s\up12(→))－eq \o(EH,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→))＝0 D．eq \o(EF,\s\up12(→))－eq \o(FB,\s\up12(→))＋eq \o(CG,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→))＝0 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中eq \o(EH,\s\up12(→))＝eq \o(FG,\s\up12(→))，且eq \o(FC,\s\up12(→))＝eq \o(BF,\s\up12(→))，故eq \o(EB,\s\up12(→))＋eq \o(FC,\s\up12(→))＋eq \o(EH,\s\up12(→))－eq \o(EG,\s\up12(→))＝eq \o(EB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→))＋eq \o(FG,\s\up12(→))＋eq \o(GE,\s\up12(→))＝0，eq \o(EF,\s\up12(→))＋eq \o(FG,\s\up12(→))－eq \o(EH,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→))＝eq \o(EF,\s\up12(→))＋eq \o(FG,\s\up12(→))＋eq \o(HE,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→))＝eq \o(EG,\s\up12(→))＋eq \o(GE,\s\up12(→))＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD． 5．已知空间四边形OABC，M在AO上，满足eq \f(AM,MO)＝eq \f(1,2)，N是BC的中点，且eq \o(AO,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，eq \o(AC,\s\up12(→))＝c，用a，b，c表示向量eq \o(MN,\s\up12(→))为(　　) A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c B．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c D．eq \f(1,3)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c 解析　因为空间四边形OABC中，M在AO上，满足eq \f(AM,MO)＝eq \f(1,2)，N是BC的中点，且eq \o(AO,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，eq \o(AC,\s\up12(→))＝c，所以eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \o(MA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(MA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))＝eq \o(MA,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c．故选C． 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(AA1,\s\up12(→))表示向量eq \o(MN,\s\up12(→))，则eq \o(MN,\s\up12(→))＝__________________． 解析　eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BB1,\s\up12(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(－eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA1,\s\up12(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up12(→))． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up12(→)) 8．已知空间四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝a－2c，eq \o(CD,\s\up12(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \o(EF,\s\up12(→))＝______________． 解析　eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(EA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CA,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up12(→)))) ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AD,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(DB,\s\up12(→))))＝eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)))＝3a＋3b－5c． 三、解答题 9．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式． (1)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))； (2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))； (3)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))； (4)eq \o(AC′,\s\up12(→))＋eq \o(D′B,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))． (2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))＝eq \o(AC′,\s\up12(→))． (3)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(BB′,\s\up12(→))＝eq \o(DB′,\s\up12(→))． (4)eq \o(AC′,\s\up12(→))＋eq \o(D′B,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CC′,\s\up12(→)))＋(eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(C′C,\s\up12(→)))－eq \o(DC,\s\up12(→)) ＝eq \o(DC,\s\up12(→))． 10．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up12(→))＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． 用向量a，b，c表示以下各向量： (1)eq \o(D′B,\s\up12(→))；(2)eq \o(EF,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(D′B,\s\up12(→))＝eq \o(D′A′,\s\up12(→))＋eq \o(A′B′,\s\up12(→))＋eq \o(B′B,\s\up12(→))＝－b＋a－c． (2)eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(EA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(D′A,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up12(→)) ＝eq \f(1,2)(－b－c)＋a＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝eq \f(1,2)(a－c)． 1．如图，几何体ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N在BC′上， 且BN＝3NC′．试用eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(AA′,\s\up12(→))表示eq \o(MN,\s\up12(→))． 解　连接BD，则M为BD的中点． 由BN＝3NC′，得eq \o(BN,\s\up12(→))＝eq \f(3,4) eq \o(BC′,\s\up12(→))， 则eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(BN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \f(3,4) eq \o(BC′,\s\up12(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)))＋eq \f(3,4)(eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CC′,\s\up12(→))) ＝eq \f(1,2)(－eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)))＋eq \f(3,4)(eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(AA′,\s\up12(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AA′,\s\up12(→))． 2．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F， G分别在边CB，CD上，且eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up12(→))，eq \o(CG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up12(→))．判断eq \o(EH,\s\up12(→))与eq \o(FG,\s\up12(→)) 是否共线？若共线，判断四边形EFGH的形状． 解　根据题意，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴eq \o(EH,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up12(→))．① ∵eq \o(FG,\s\up12(→))＝eq \o(CG,\s\up12(→))－eq \o(CF,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))，又eq \o(CG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up12(→))， ∴eq \o(FG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up12(→))．② 由①②得，eq \o(EH,\s\up12(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up12(→))． ∴eq \o(EH,\s\up12(→))与eq \o(FG,\s\up12(→))共线． ∴eq \o(EH,\s\up12(→))∥eq \o(FG,\s\up12(→))， 又|eq \o(EH,\s\up12(→))|≠|eq \o(FG,\s\up12(→))|，且点F不在直线EH上， ∴EH∥FG且EH≠FG． ∴四边形EFGH为梯形． $