1.1.2 瞬时变化率与导数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率与导数”核心知识点，通过直线运动位移、高台跳水等实例，从平均变化率自然过渡到瞬时变化率，以极限思想为支架，帮助学生理解导数概念的实际背景与内涵。 其亮点在于结合实例培养数学眼光，如沥青温度、气球体积等问题引导学生观察现实中的变化规律；通过极限方法推导瞬时速度和导数定义，培养数学思维（运算与推理）；用导函数概念及实际意义解释，强化数学语言表达。题型分层（评价自测、随堂达标、AB级精练），学生能提升运算与抽象素养，教师教学更具针对性与高效性。

第1章　导数及其应用 1.1　导数概念及其意义 1.1.2　瞬时变化率与导数 (教师独具内容) 课程标准：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．2．体会极限思想． 教学重点：1．瞬时速度的求法．2．理解导数的概念． 教学难点：1．求瞬时速度的极限方法．2．理解导数与瞬时变化率的关系． 核心素养：1．通过学习瞬时速度的求法提升数学运算素养．2．通过学习导数的概念培养数学抽象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 d趋近于0 核心概念掌握 5 d趋近于0 极限值 核心概念掌握 6 d趋近于0 极限值 f′(x0) 核心概念掌握 7 知识点四　导函数 若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数．若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f(x)等． 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数，即函数在点x0处的瞬时变化率．(　　) √ × √ 核心概念掌握 10 2．做一做 (1)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 (2)函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值为___． (3)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位： m)是h(t)＝ －4．9t2＋6．5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为__________． 0 －3．3 m/s 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　物体运动的瞬时速度 一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． 核心素养形成 13 核心素养形成 14 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 题型二　求函数在某点处的导数 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【跟踪训练】 2. (1)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 核心素养形成 20 (2)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值． 核心素养形成 21 题型三　导数在实际问题中的应用 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的．铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1，求第0．25 h时，沥青温度的瞬时变化率，并说明它的实际意义． 核心素养形成 22 当d→0时，40＋80d→40， 所以f′(0．25)＝40． 所以第0．25 h时，沥青温度的瞬时变化率为40，它表示在x＝0．25 h附近，沥青的温度以40 ℃/h的速率上升． 核心素养形成 23 【感悟提升】　一般地，函数在某点处的导数即在该点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的变化状态．如以时间为自变量的位移函数的导数表示某时刻物体的运动速度，即v＝s′(t)；以时间为自变量的速度函数的导数表示某时刻物体的加速度，即a＝v′(t)． 核心素养形成 24 【跟踪训练】 3. 半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义． 核心素养形成 25 随堂水平达标 1．函数f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为(　　) A．8＋4d B．8＋2d C．4 D．8 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 4．人感冒服药后，血液中药物的质量浓度y是时间t的函数y＝f(t)(y的单位：μg/mL，t的单位：min)，假设函数y＝f(t)在t＝20时的导数f′(20)＝1．2，则其实际意义是__________________________________________________________________． 解析　函数在某点处的导数反映的是函数在该点处的变化情况，在本题中反映的是血液中药物质量浓度上升或下降的速度． 表示服药后20 min时，血液中药物质量浓度上升的速度为1．2 μg/(mL·min) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 5．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)h(0)，h(1)分别表示什么； (2)求第1 s内航天飞机的平均速度； (3)求第1 s末航天飞机的瞬时速度，并说明它的意义． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 2．若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 解析　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为一常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线．故选D． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则f″(x)＝(　　) A．6x B．6x＋1 C．0 D．6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2(a，b为常数)，则(　　) A．f(x)＝a B．f(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 5．一质点M沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 二、填空题 6．设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t＝________． ±2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝_____． －1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 8．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝_____． 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 1．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2．5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s．子弹从枪口射出所用的时间为1．6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 2．在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(rad)由函数φ(t)＝4t－0．3t2给出． 求：(1)t＝2 s时，飞轮转过的角度； (2)飞轮停止旋转的时刻． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　求运动物体的瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝eq \x(\s\up1(01))________________在eq \x(\s\up1(02))__________时的极限．这个极限记为eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（x＋d）－f（x）,d)． eq \f(f（t＋d）－f（t）,d) 知识点二　函数的瞬时变化率 一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率eq \f(f（u＋d）－f（u）,d)在__________时，有确定的_______，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率．函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商． 知识点三　y＝f(x)在x＝x0处的导数 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在__________时，如果比值__________________趋近于一个确定的__________，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作_________．这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微．可简单地表述为：eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)→f′(x0)(d→0)，读作“d趋近于0时，eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)趋近于f′(x0)”． eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d) 1．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率eq \f(f（u＋d）－f（u）,d)中，d趋近于0是指时间间隔d越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0． 2．对导数概念的理解 函数在某处的导数即为函数在该处的瞬时变化率，有两层含义： (1)eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2)eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． 解　(1)当t＝0时的速度为初速度． 物体在[0，d]这个时间区间内的平均速度为eq \f(s（d）－s（0）,d)＝eq \f(3d－d2,d)＝3－d． 当d趋近于0时，3－d趋近于3， 所以物体的初速度为3 m/s． (2)物体在[2，2＋d]这个时间区间内的平均速度为eq \f(s（2＋d）－s（2）,d) ＝eq \f(3（2＋d）－（2＋d）2－（3×2－22）,d) ＝－1－d． 当d趋近于0时，－1－d趋近于－1， 所以物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s． 【感悟提升】 若物体的运动方程为y＝f(t)，要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量d，求出平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(f（t＋d）－f（t）,d)，计算当d趋近于0时，eq \f(f（t＋d）－f（t）,d)趋近于常数，就是物体在t时刻的瞬时速度． 解　(1)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均速度为eq \f(f（d）－f（0）,d) ＝eq \f(29＋3（d－3）2－29－3×（0－3）2,d)＝3d－18， 当d趋近于0时，3d－18趋近于－18． ∴物体的初速度v0＝－18 m/s． 【跟踪训练】 1.若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3（t－3）2，0≤t＜3.)) 求：(1)物体的初速度v0；(2)物体在t＝1时的瞬时速度． (2)∵物体在t＝1附近的平均速度为 eq \f(f（1＋d）－f（1）,d) ＝eq \f(29＋3[（1＋d）－3]2－29－3×（1－3）2,d) ＝3d－12， 当d趋近于0时，3d－12趋近于－12． ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s． 解　f(2＋d)－f(2)＝－(2＋d)2＋3(2＋d)－2＝－d2－d， eq \f(f（2＋d）－f（2）,d)＝－d－1， 当d→0时，－d－1→－1， 所以f′(2)＝－1． 【感悟提升】 由导数的定义，我们可以得到求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的方法： (1)求平均变化率eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)； (2)取极限，令d趋近于0，得导数f′(x0)． 解　f(3＋d)－f(3) ＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3) ＝12d＋2d2＋4d＝2d2＋16d， ∴eq \f(f（3＋d）－f（3）,d)＝eq \f(2d2＋16d,d)＝2d＋16． 当d→0时，2d＋16→16，因此f′(3)＝16． 解　∵f(1＋d)－f(1)＝a(1＋d)2＋c－a－c＝ad2＋2ad． eq \f(f（1＋d）－f（1）,d)＝ad＋2a，当d→0时，ad＋2a→2a，则f′(1)＝2a，即2a＝2， ∴a＝1． 解　因为f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以eq \f(f（0.25＋d）－f（0.25）,d)＝eq \f(80（0.25＋d）2＋20－（80×0.252＋20）,d) ＝eq \f(40d＋80d2,d)＝40＋80d． 解　半径为R的气球体积为f(R)＝eq \f(4,3)πR3， ∴eq \f(f（1＋d）－f（1）,d)＝eq \f(\f(4,3)π（1＋d）3－\f(4,3)π×13,d)＝eq \f(4,3)π(3＋3d＋d2)， 当d→0时，eq \f(4,3)π(3＋3d＋d2)→4π，∴f′(1)＝4π， ∴球的体积在半径R＝1时的瞬时变化率为4π， 实际意义是，当半径改变量d很小时，其体积的改变量近似值为4πd． 解析　由已知，得f′(2)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（2＋d）－f（2）,d)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(2（2＋d）2－1－7,d)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(2d2＋8d,d)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) (2d＋8)＝8，所以f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为8．故选D． 解析　∵eq \f(s（3＋d）－s（3）,d)＝eq \f(1－（3＋d）＋（3＋d）2－（1－3＋32）,d)＝5＋d，当d趋近于0时，5＋d趋近于5，故瞬时速度为5 m/s． 3．已知函数f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值为(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．－4 解析　由于f′(m)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（m＋d）－f（m）,d)＝－eq \f(2,m2)，于是有－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2． 解　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(h（1）－h（0）,1－0)＝80(m/s)，即第1 s内航天飞机的平均速度为80 m/s． (3)eq \f(h（1＋d）－h（1）,d)＝5d2＋45d＋120， 当d趋近于0时，5d2＋45d＋120趋近于120， 即第1 s末航天飞机的瞬时速度为120 m/s． 它表示在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度在增加． 一、选择题 1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的瞬时速度为(　　) A．4＋4t0 B．0 C．4＋8t0 D．4t0＋4teq \o\al(2,0) 解析　eq \f(s（t0＋d）－s（t0）,d)＝4d＋4＋8t0，当d→0时，4d＋4＋8t0→4＋8t0．故选C． 解析　eq \f(f（x＋d）－f（x）,d)＝eq \f(3（x＋d）2＋1－（3x2＋1）,d)＝6x＋3d，当d→0时，6x＋3d→6x，因此f′(x)＝6x．eq \f(f′（x＋d）－f′（x）,d)＝eq \f(6（x＋d）－6x,d)＝6，当d→0时，6还是6，所以f″(x)＝6． 解析　∵f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2，∴eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)＝a＋bd．当d→0时，a＋bd→a，∴f′(x0)＝a．故选C． 解析　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s（2＋d）－s（2）,d)＝eq \f(a（2＋d）2－4a,d)＝4a＋ad，∴eq \o(lim,\s\do10(d→0)) (4a＋ad)＝4a＝8，即a＝2． 解析　因为f′(1)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(t2（1＋d）－t2,d)＝t2＝4，所以t＝±2． 解析　f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d) ＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) 2,0)eq \f(3（x0＋d）2＋6（x0＋d）＋1－3x－6x0－1,d) ＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) (6x0＋3d＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1． 解析　∵s(t0＋d)－s(t0)＝7(t0＋d)2－13(t0＋d)＋8－7teq \o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0d－13d＋7d2，∴eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(s（t0＋d）－s（t0）,d)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) (14t0－13＋7d)＝14t0－13＝1．∴t0＝1． 三、解答题 9．求函数y＝eq \r(x＋1)在x＝x0(x0>－1)处的导数． 解　令f(x)＝eq \r(x＋1)， eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)＝eq \f(\r(x0＋d＋1)－\r(x0＋1),d) ＝eq \f(x0＋d＋1－（x0＋1）,d（\r(x0＋d＋1)＋\r(x0＋1)）) ＝eq \f(1,\r(x0＋d＋1)＋\r(x0＋1))． 当d→0时，eq \f(1,\r(x0＋d＋1)＋\r(x0＋1))→eq \f(1,2\r(x0＋1))，因此f′(x0)＝eq \f(1,2\r(x0＋1))． 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数y＝f(x)＝eq \f(x,10)＋eq \f(\r(x),10)＋0．3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解　根据导数的定义，得 f′(100)＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(f（100＋d）－f（100）,d) ＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \f(100＋d＋\r(100＋d)＋3－（100＋\r(100)＋3）,10d) ＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋d)－10,10d))) ＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10×（\r(100＋d)＋10）))) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,10×（10＋10）) ＝0．105． f′(100)＝0．105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元． 解　设子弹从枪口射出时刻为t0， ∵eq \o(v,\s\up6(－))＝2,0)eq \f(2.5×105t－2.5×105（t0－d）2,d) ＝eq \f(2.5×105（2t0－d）d,d) ＝5×105t0－2．5×105d， ∴v＝eq \o(lim,\s\do10(d→0)) (5×105t0－2．5×105d)＝5×105t0． 又t0＝1．6×10－3 s， ∴v＝5×105t0＝8×102＝800(m/s)． ∴子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s． 解　(1)t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1．2＝6．8(rad)． (2)eq \f(φ（t＋d）－φ（t）,d)＝eq \f(4（t＋d）－0.3（t＋d）2－4t＋0.3t2,d) ＝eq \f(4d－0.3d2－0.6td,d) ＝4－0．3d－0．6t． 当d→0时，4－0．3d－0．6t→4－0．6t， 因此φ′(t)＝4－0．6t． 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0． 所以令4－0．6t＝0， 得t＝eq \f(20,3)， 所以在t＝eq \f(20,3) s时飞轮停止旋转． $