精品解析：吉林省长春市第八中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

长春八中2025—2026学年（上）高三月考考试 数学试题 命题人：张嘉宾 审题人：孙艳华 考试时间：120分钟 分值：150 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 2. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 已知，均为锐角，，，则_____________. 14. 已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若复数，求； （2）在复数范围内，求方程的解． 16. 已知平面向量，. （1）若，求实数m的值； （2）若，求； （3）若，求与夹角的余弦值. 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 18. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且 是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）若，都有成立，求正整数的值. 19. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上一点，，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025—2026学年（上）高三月考考试 数学试题 命题人：张嘉宾 审题人：孙艳华 考试时间：120分钟 分值：150 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】，所以. 故选：B． 2. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式先求出的值，然后由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则. 故选：C. 3. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】是的对称中心，但不满足坐标是，故该条件不具备必要性; 若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，则充分性成立， 故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可． 【详解】解：因为公差的等差数列中，，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以， 故选： C． 5. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 6. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 7. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案. 【详解】， 由题意单调递减，且， 则，解得，， 所以的单调递减区间是. 故选：D. 8. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 所以，可得，所以， 因为，所以， 即，可得，即， 因为，可得，所以， 所以A正确，B不正确； 由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确； 将的图象向左平移个单位长度， 可得， 此时函数的图象关于轴对称，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， ， 即， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B错误； 对于C，的平分线交于点，，又 ，即，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，若有两解，则，，D错误. 故选：ABD. 11. 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则. 证明：因为、、三点共线，可设，即， 所以，，所以，. 、为正实数，，即，故， ，且、、三点共线，， ∴当且仅当，时取等号， ，当且仅当，时取等号. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再根据半角公式即可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.向量垂直的坐标表示：已知，若，则. 13. 已知，均为锐角，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和两角和差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，均为锐角，所以， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以，解得， 所以，故， 故答案为： 14. 已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积定义和投影向量公式直接求解即可. 【详解】， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若复数，求； （2）在复数范围内，求方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得复数，进而计算可求； （2）利用配方法可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以； （2）由，可得，所以， 所以. 16. 已知平面向量，. （1）若，求实数m的值； （2）若，求； （3）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）由两向量平行直接列方程可求出m的值， （2）由两向量垂直可求出m的值，从而可求出的坐标，进而可求出向量的模， （3）直接利用向量的夹角公式求解即可 【小问1详解】 因为，，， 所以，解得：. 【小问2详解】 因为，，， 所以，解得：. 所以，， 则. 【小问3详解】 当时，，所以， 所以， 则与夹角的余弦值是. 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【小问1详解】 因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 18. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且 是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）若，都有成立，求正整数的值. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】 【分析】(1)先求出等差数列的通项，再求等比数列的通项即得的通项公式.(2) 由题意，应为数列的最大项. 计算出，对n分类讨论即得存在或，使，都有成立. 【详解】（1）设的公差为，则， 所以. 故的通项公式为（）. 设，则为等比数列. ，， 设的公比为，则，故. 则，即. 所以（） 故的通项公式为（）. （2）由题意，应为数列的最大项. 由（） 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述, 数列中的最大项为和. 故存在或，使，都有成立. 【点睛】（1）本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查数列的最大项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)研究数列的单调性，一般利用作差法，先求出，再研究函数的图像和性质. 19. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上一点，，且，求的面积． 【答案】（1） （2）27 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边得，利用余弦定理的变形公式即可求得； （2）利用（1）的结论和余弦定理，求得由整理成，两边取平方，代入已知，即可求得继而求出和即可求得的面积. 【小问1详解】 由和余弦定理可得，， 将代入得，，化简得，即， 由余弦定理可得，； 【小问2详解】 如图，由（1）和余弦定理可得，则， 故 由，结合图形可得，， 整理得，，两边取平方可得， ，因， 代入可得，，整理得：， 解得，则． 故的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $