精品解析：陕西省咸阳市乾县杨汉中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

乾县杨汉中学2025-2026学年高三上学期10月月考 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集定义即可得. 【详解】由，，故. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案. 【详解】，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶行排除选项，再利用特殊值即可求解. 【详解】因为函数， 定义域为，且， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项； 当时，，，所以，故排除选项. 故选：. 5. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 8. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断. 【详解】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，则，进而根据为奇函数，并结合图象平移即可判断A；利用导数研究函数的单调性，进而根据零点存在性定理判断B；根据函数的单调性并结合得，进而解不等式即可判断C；将问题转化为，进而根据的奇偶性与单调性求解即可判断D. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以为奇函数，图象关于点对称， ， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 因为，所以 所以函数在上单调递减， 对于A，因为图象为函数图象向上平移3个单位得到， 所以的图象关于点对称，即的图象为中心对称图形，故A正确； 对于B，因为图象可由函数的图象向上平移3个单位得到， 则函数在上单调递减， 又，，有且仅有1个零点，故正确； 对于C，因为，所以， 因函数在上单调递减，则得，即，解得：， 所以，当，实数的取值范围为，故C正确； 对于D，由得， 因为为奇函数，所以， 因函数在上单调递减，则，解得，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造函数，得，进而利用结合单调性，奇偶性依次讨论各选项即可. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程. 【详解】， 则曲线在处的切线斜率， ∴切线方程为，即． 故答案为：． 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出导函数，设切点坐标，得切线方程与已知切线方程比较可求得切点坐标和． 【详解】设切点为，，则切线方程为，即，此方程即为， 所以， 设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以方程的解为， 从而． 故答案为：2． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，已知切线方程时，解题方法是设切点坐标，由导数的几何意义得切线方程，然后与已知方程比较可求得参数值． 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，则在时直线与的图象有4个交点，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【详解】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 17. 如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）直接用线面垂直来证线线垂直可得； （2）先计算相关的边的长，再建立空间直角坐标系求角可得. 【小问1详解】 如图 取的中点D，连.因为底面是正三角形，所以. 在中，由余弦定理得 ， 所以，同理可得，得， 又因D是的中点，所以. 因，，，平面，平面， 所以平面，且平面，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在直角三角形中，. 而在底面正三角形中. 在三角形，由余弦定理得，得. 再由（1）知平面，平面，所以平面平面， 平面平面，过点在平面内作，垂足为，则平面. 在直角三角形中，，. 由上面可知，以所在直线为x轴，以在底面内垂直直线为y轴， 以过A点垂直底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图： 所以，，由棱柱的性质可得，， 所以，， 设平面的法向量为，则，得， 令，则，得， 设直线与平面所成角，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，进而得到函数的单调区间； （2）先求得，利用导数求得函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由函数，可得的定义域为， 则， 因为， 则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值， 要使得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【小问1详解】 ，得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾县杨汉中学2025-2026学年高三上学期10月月考 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________. 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 17. 如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $