精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高二上学期10月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年度高二10月自主学习评估 数 学 试 卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数模的计算公式求出． 【详解】， ， ． 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用两直线平行列式计算并验证作答. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，即为，两直线重合，不符合题意； 当时，，，两直线平行. 综上所述，. 故选：D. 5. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 6. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数减法的模的几何意义求点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求最值. 【详解】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值为. 故选：B 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示： 所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错 的得 0 分. 9. 设为复数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 若均为纯虚数，则为实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义、复数模的意义，结合复数运算逐项判断. 【详解】设，， 对于A，，则，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， ，则，C正确； 对于D，由均为纯虚数，得，， 则是实数，D正确. 故选：ACD 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上， 所以点M的轨迹方程为（x≠2），故B错误； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点C，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误； 故选：AC. 11. 过定点的动直线和过定点的动直线点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B. 直线与圆相交且最短弦长为 C. 为定值 D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】取，结合图形可判断A；注意到直线垂直于时弦长最短可判断B；由两直线垂直可判断C；根据直线过圆心可判断D. 【详解】由圆知，圆心，半径 对A，直线的方程化为， 由得，所以，直线过定点， 当时，直线的方程为， 由图可知，此时圆上到直线的距离等于1的点有三个点，错误； 对B，直线的方程可化为：，所以，直线过定点， 易知圆心到直线的距离，当且仅当直线垂直于时取等号， 因为 所以，直线截圆的弦长的最小值为，正确； 对C，因为，所以直线与直线垂直， 所以，正确； 对D，当时，直线的方程为， 因为，所以直线过圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 14. 设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标，由切线的性质得到点，，在以线段为直径的圆上，然后写出圆方程，由两个圆公共弦的求法求得直线方程，再由直线方程得到定点的坐标. 【详解】因为为直线上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为切，， 所以，，则点，在以线段为直径的圆上， 即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 又，两式相减，得， 即公共弦所在的直线方程是，即， 由，解得，所以直线AB恒过定点. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用圆的切线的性质分析得点，在以线段为直径的圆上，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 已知复数． （1）求的最小值； （2）若的实部大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数减法模长公式得的表达式，进一步可得最小值； （2）由复数乘法、复数的概念列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由复数的模长公式得，而，得到，即，故当时，原式取得最小值． 【小问2详解】 因为，所以， 而的实部大于，则，解得，故的取值范围为． 16. 已知直线，点，求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于点对称的直线的方程． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）本题首先可以设出的坐标为，再通过线段的中点坐标在直线上以及直线与直线垂直可列出方程组，解出结果； （2）可在直线上任取两点，然后求出它们关于的对称点，最后通过对称点坐标求出对称的直线的方程． 【详解】（1）设的坐标为，由已知得， 整理得，解得，所以； （2）在上任取两点，如， 则关于点的对称点均在直线上， 易得， 再由两点式可得的方程为：． 【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了点关于直线的对称点坐标以及直线关于点的对称直线方程的求法，考查了计算能力，考查了方程思想，是中档题． 17. 已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. 【小问1详解】 因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故，解得. 故圆的方程为. 【小问2详解】 点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程. （2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. （3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标. 【小问1详解】 由于，，则线段与轴平行，且与圆相切. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由于，所以， 由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 直线的方程为，假设存在符合题意的点，设， 则①， 由于的任意性，不妨设或，带入①得， ，解得或（舍去）， 所以（负根舍去）， 将带入①得， 整理得，则在圆上. 所以，这样的点是存在的，坐标为，此时. 【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断. 19. 设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆的方程； （2）若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明：设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年度高二10月自主学习评估 数 学 试 卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 5. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错 的得 0 分. 9. 设为复数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 若均为纯虚数，则为实数 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 11. 过定点的动直线和过定点的动直线点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B. 直线与圆相交且最短弦长为 C. 为定值 D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 13. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 14. 设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 已知复数． （1）求的最小值； （2）若的实部大于，求的取值范围． 16. 已知直线，点，求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于点对称的直线的方程． 17. 已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 19. 设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆的方程； （2）若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $