2.4.2 圆的一般方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”核心内容，涵盖方程形式、表示圆的条件、求解及与圆有关的轨迹问题。课堂导入从圆的标准方程变形切入，通过“思考”“探究”搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过配方变形培养逻辑推理能力，结合典例分析与巩固训练强化数学语言表达，轨迹问题求解渗透定义法等方法，助力学生系统掌握知识。教师使用可提升教学效率，学生能深化数学理解与应用能力。

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 新知讲解—圆的一般方程 我们知道，方程表示以为圆心，为半径的圆.可以将此方程变形为. 一般地，圆的标准方程可以变形为 （*） 的形式. 反过来，形如（*）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 思考 方程能表示圆方程吗？ 新知讲解—圆的一般方程 方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？ 探究 （1）当时，方程表示以为圆心为半径的圆； （2）当时，方程表示一个点； （3）当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 　　提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需 x2和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0. 典例分析—圆的一般方程 例1.判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径： （1）； （2）； （3） （4）； （5）. 巩固训练—圆的一般方程 巩固训练.若方程表示的图形是圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析：法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的 取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. 典例分析—求圆的一般方程 例2. 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得 解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 巩固训练—求圆的一般方程 巩固训练2. （1）已知圆的圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为； 解：由题意得圆心C（－ ，－ ），∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2，　①又半径r＝ ＝ ， ∴D2＋E2＝20，　②由①②可得 或 又圆心在第二象限，∴－ ＜0，－ ＞0，即D＞0，E＜0. ∴ ∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 巩固训练—求圆的一般方程 巩固训练2. （2）已知圆经过点和，该圆与坐标轴的四个截距之和为. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6），∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故 x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根， 故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2，即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 典例分析—与圆有关的轨迹问题 例3.已知的斜边为，且，，求直角顶点的轨迹方程. 解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）. 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆 （因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. 定义法 圆的直径式方程： 典例分析—与圆有关的轨迹问题 例4.求到点的距离是到点的距离的倍的点的轨迹方程. 解：设点M的坐标是（x，y），则 ＝2.∴ ＝2. 化简，得x2＋y2－8x＋12＝0，即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0. 阿波罗尼斯圆 直接法 典例分析—与圆有关的轨迹问题 例5.已知点是圆上的定点，是圆上的动点，求线段的中点 代入法 解：设线段AP的中点为M（x，y）， 由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）. ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴（2x－2）2＋（2y）2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1. 典例分析—与圆有关的轨迹问题 变式.如图，点点一点，，是圆上的动点，若，如何求线段的中点 解：设线段PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜， 连接ON（图略），则ON⊥PQ， ∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 方法总结—与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 　　提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹， 若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形； （2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形. 巩固训练—与圆有关的轨迹问题 巩固训练.已知动点到点的距离是它到点的距离的一半. （1）求动点的轨迹方程； （2）若为线段的中点，试求点的轨迹. 解：（1）设动点M的坐标为（x，y）.因为A（2，0），B（8，0）， ｜MA｜＝ ｜MB｜.所以（x－2）2＋y2＝ [（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16.即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. （2）设点N的坐标为（x0，y0），因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）.又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4 ＝16，即得（x0－1）2＋ ＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 课堂小结 1. 圆的一般方程 (其中) 2. 与圆有关的轨迹问题求解 $