2.3.3 直线与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.3直线与圆的位置关系 一、知识点 1.直线与圆位置关系的判断 设圆，直线， 则圆心到直线的距离， 联立直线与圆可得方程二次方程，其判别式为， 位置关系 几何法 代数法 公共点个数 图示 相交 相切 相离 2.圆的弦长 直线和圆相交，被截得的弦长有两种方法： （1）几何法（垂径定理）： （2）代数法：直线与圆设有两个交点，设为，，则有弦长公式或. 3.切线问题 已知圆，过点作切线. 1）当点在圆上时，由确定直线； 2）当点在圆外时，根据点射出点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径，求斜率，从而得到切线的的方程.（若求出来的有且只有一个，则说明另一条切线的斜率不存在，其方程为） 结论：①过圆上的一点的切线方程是； ②过圆上一点的切线方程是； ③过圆外一点做圆的两条切线，则两切点所在直线（切点弦）方程为； ④过圆外一点做圆的两条切线，则切点弦方程为. 注意求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，确定切线的条数. 切线长： 从圆外一点引圆的两条切线，设切点分别为，，则切线长可根据勾股定理计算，即； 切点弦长可以利用等面积法，即. 2.两点间距离公式 设圆与直线相离，设圆心到直线的距离，则圆儿上的点到直线的距离最大值为；最小距离为. 二、题型训练 1.直线与圆位置关系的判定 例1.圆与坐标轴的交点的个数为（ ） A. B. C. D. 例2.直线与圆的位置关系为（ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 例3. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（ ） A.相切 B.相交 C.相离 D相切或相交 例4.若直线与圆相离，则实数的取值范围是_______. 练习： 1.已知圆，直线，则圆与直线（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且直线过圆的圆心 2.直线与圆的位置关系为（ ） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 3.直线和圆的交点个数为（ ） A. B. C. D.与，有关 4.直线，与圆的位置关系是________. 5.设圆，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） A. B. C. D.以上都有可能. 6.已知圆的圆心在直线上，且过点和. （1）求圆的方程; （2）求证：直线与圆恒相交. 7.已知圆，直线，若与圆相交，则（ ） A.点在上 B.点在圆上 C. 在圆内 D.点 在圆外 8.已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 9.已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. B. C. D. 10.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.直线与圆相交问题 例5.求直线被圆所截得的弦长. 例6.若圆截直线所得的弦长为，求的值. 例7.过点作圆的最短弦，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 例8.圆上到直线的距离为的点共有（ ）个. A. B. C. D. 练习： 1.已知圆过两点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程。 （2）过点的直线交圆于，两点，当时，求直线的方程. 2.直线过点，被圆，截得的弦长为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 或 3.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. D. D. 4.已知圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于，两点，且，则圆的方程为直线被圆C截得弦长最短时的的值为__________. 5.若圆上恒有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知在圆内，且过点的最长弦和最短弦分别是和，则是四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7.（多选）已知圆，直线有以下几个命题，其中正确的命题是（ ） A.直线横过定点 B.圆被轴截得的弦长为 C.直线与圆恒相交 D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 8.如图，已知一艘海监船上配有雷达，其雷达监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续多长时间？（要求用坐标法） 9.已知圆的圆心是，直线与直线的交点，直线与圆相交的弦长为，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3.直线与圆相切问题 例9.求圆在点处的切线方程. 例10.过点且和圆相切的直线方程为_________. 例11.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. B. C. D.8 练习： 1.已知点在圆上，过点做圆的切线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2.已知点，，经过点作圆的切线，与轴交于点，则__________. 3.过点和圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D.不确定 4.已知圆的方程为. （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程. 5.已知圆经过点和，且圆关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）过点作直线与圆相切，求的方程. 6.已知点，圆，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在的直线方程的斜率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8.已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，为切点，则弦长的最小值为__________. 9.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程； （3）若直线一条直线经过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 10.已知点的坐标满足方程. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 11.在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求的方程. 2.与圆有关的最值问题 例12.已知圆，当变化时，圆上的点与原点的最短距离是________. 例13.若点是圆上任意一点，则的最大值是____________，点到直线的最大距离是_________. 练习： 1.已知实数，满足，的最大值为________. 2.（多选）已知点在上，点，点，则（ ） A. 到直线的距离最大值是 B.满足AP的点有个 C.过直线上任意一点做的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 D. 的最小值为 3. 为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 4.若圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为__________. 6.设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7.已知点，，且点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8.已知点，圆，点为在圆上的一点，则点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3直线与圆的位置关系 一、知识点 1.直线与圆位置关系的判断 设圆，直线， 则圆心到直线的距离， 联立直线与圆可得方程二次方程，其判别式为， 位置关系 几何法 代数法 公共点个数 图示 相交 相切 相离 2.圆的弦长 直线和圆相交，被截得的弦长有两种方法： （1）几何法（垂径定理）： （2）代数法：直线与圆设有两个交点，设为，，则有弦长公式或. 3.切线问题 已知圆，过点作切线. 1）当点在圆上时，由确定直线； 2）当点在圆外时，根据点射出点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径，求斜率，从而得到切线的的方程.（若求出来的有且只有一个，则说明另一条切线的斜率不存在，其方程为） 结论：①过圆上的一点的切线方程是； ②过圆上一点的切线方程是； ③过圆外一点做圆的两条切线，则两切点所在直线（切点弦）方程为； ④过圆外一点做圆的两条切线，则切点弦方程为. 注意求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，确定切线的条数. 切线长： 从圆外一点引圆的两条切线，设切点分别为，，则切线长可根据勾股定理计算，即； 切点弦长可以利用等面积法，即. 2.两点间距离公式 设圆与直线相离，设圆心到直线的距离，则圆儿上的点到直线的距离最大值为；最小距离为. 二、题型训练 1.直线与圆位置关系的判定 例1.圆与坐标轴的交点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 圆，即圆， 所以圆，半径， 因为圆心到轴的距离为1，且， 所以圆与轴相交，即与轴有两个交点， 因为圆心到轴的距离为2，且等于半径， 所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点， 综上坐标轴与圆有3个交点， 故选：C 例2.直线与圆的位置关系为（ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【答案】C 【解析】 由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 例3. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（ ） A.相切 B.相交 C.相离 D相切或相交 【答案】C 【解析】 由题意知为圆内异于圆心的一点， 则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离， 故选：C 例4.若直线与圆相离，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 直线的方程转化为，一般式为，圆的圆心坐标是，半径为，因为直线和圆相离，所以圆心到直线的距离，解得，所以实数的取值范围是 练习： 1.已知圆，直线，则圆与直线（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且直线过圆的圆心 【答案】B 【解析】 由可得， 故圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆C相切． 故选：B 2.直线与圆的位置关系为（ ） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 【答案】B 【解析】 圆心到直线的距离因为，所以直线与圆相交，但不过圆心. 3.直线和圆的交点个数为（ ） A. B. C. D.与，有关 【答案】C 【解析】 因为直线的方程可化为，所以直线恒过定点，而在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点. 4.直线，与圆的位置关系是________. 【答案】相交或相切 【解析】 直线的方程可化为， 由，得，即直线过定点， 又因为在圆上， 所以直线与圆相交或相切 5.设圆，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） A. B. C. D.以上都有可能. 【答案】C 【解析】 解：直线在轴上的截距为， 直线过定点， ， 点在圆内， 直线与的交点个数为个． 故选：． 6.已知圆的圆心在直线上，且过点和. （1）求圆的方程; （2）求证：直线与圆恒相交. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【解析】 （1）因为圆过点和，则圆心在线段的中垂线上， 线段的中点，直线的斜率为，因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则点，圆半径， 所以圆的方程为. （2）直线：，即，，由解得， 因此直线恒过定点，而，则点在圆内， 所以直线与圆恒相交. 7.已知圆，直线，若与圆相交，则（ ） A.点在上 B.点在圆上 C. 在圆内 D.点 在圆外 【答案】D 【解析】 由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径， 则有，故， 把代入，所以点不在直线l上，故A错误； 又，则点在圆O外，故D正确. 故选：D． 8.已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 【答案】C 【解析】 利用圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】利用圆心距和半径的关系来确定直线与圆的位置关系. 由题意可得，于是，所以直线和圆相切. 故选: C. 9.已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 依题意，如图所示    则， ， ∴即时，面积最大， 此时圆心到直线的距离为, ,解得， 又， 故选：B. 10.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 2.直线与圆相交问题 例5.求直线被圆所截得的弦长. 【答案】4 【解析】 由题意得弦心距，半径，所以弦长为. 例6.若圆截直线所得的弦长为，求的值. 【答案】或. 【解析】 （2）由题意得圆心，半径，圆心到直线的距离，又，所以，解得或. 例7.过点作圆的最短弦，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 圆，圆心为，， 所以这条弦所在的直线，则， 又因为，所以直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 例8.圆上到直线的距离为的点共有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 圆可化为,所以圆心为,半径为2, 圆心到直线的距离为:,所以,. 所以圆上到直线的距离为3的点共有1个. 故选: A 练习： 1.已知圆过两点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程。 （2）过点的直线交圆于，两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 2.直线过点，被圆，截得的弦长为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 由的圆心坐标为，半径为，直线过点，被圆截得的弦长为，点在轴上，圆与轴相切， 则圆到直线的距离等于且直线的斜率存在， 所以设所求直线的方程为，即， 所以，解得或，即所求方程为或 3.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. D. D. 【答案】C 【解析】 的圆心为，半径为， 直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点连线垂直于弦， 弦心距为，选C 4.已知圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于，两点，且，则圆的方程为直线被圆C截得弦长最短时的的值为__________. 【答案】 ； . 【解析】 依题意设圆的方程为（）， 由可得，则， 所以圆的方程为. 显然，直线恒过圆内一定点，易得当直线与垂直时被圆截得的弦长最短. 因为的斜率为，所以，直线的斜率为. 故答案为：① ；② . 5.若圆上恒有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 选A.计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.故选A. 6.已知在圆内，且过点的最长弦和最短弦分别是和，则是四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】 圆，圆心为，半径为， 由已知可得最长弦为直径，所以， 因为点，， 所以当最短时，弦和垂直，且经过点， 此时，所以四边形的面积为。 7.（多选）已知圆，直线有以下几个命题，其中正确的命题是（ ） A.直线横过定点 B.圆被轴截得的弦长为 C.直线与圆恒相交 D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABCD 【解析】 将直线的方程整理为，由，解得， 即无论为何，直线恒过定点，A正确， 在圆的方程中，令，可得，解得， 故圆被轴截得的弦长为，B正确， 因为，点在圆的内部，直线与恒相交，C正确， 圆心，半径为，，当截得的弦最短时，，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即，D正确. 8.如图，已知一艘海监船上配有雷达，其雷达监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续多长时间？（要求用坐标法） 【答案】 【解析】 如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则，，， 圆的方程为，直线的方程为，即， 设到距离为， ， 所以能被海监船检测到， 设持续时间为，则 9.已知圆的圆心是，直线与直线的交点，直线与圆相交的弦长为，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】直线与直线的交点为， 所以圆的圆心为，设的半径为， 由题意可知，即，， 所以圆的方程为 3.直线与圆相切问题 例9.求圆在点处的切线方程. 【答案】 【解析】 由圆的方程，又由点在圆上， 可得，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 例10.过点且和圆相切的直线方程为_________. 【答案】或 【解析】 由已知圆的圆心为，半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，此时直线方程为，即； 当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，成立. 例11.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. B. C. D.8 【答案】C 【解析】 已知直线是圆的对称轴，圆心，半径， 所以直线过圆心，即，故， 所以，则， 练习： 1.已知点在圆上，过点做圆的切线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得， 当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意， 当的斜率存在时，设切线的方程为， 则，解得， 设的倾斜角为， 故的倾斜角为. 故选：D 2.已知点，，经过点作圆的切线，与轴交于点，则__________. 【答案】 【解析】如图所示，设圆心为点，则， ，则点在圆上，且， 由与圆相切可得，所以切线方程为， 令，解得，故， 所以 故答案为：. 3.过点和圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D.不确定 【答案】C 【解析】 由已知在圆外，故过点的切线应有两条， 当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即， 由直线与相切，所以圆心到直线的距离，解得，即切线方程为， 当直线斜率不存在时，直线为，与圆相切，成立. 4.已知圆的方程为. （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 （1）当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 直线与圆相切，，此时直线的方程为； 当斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆相切，满足题意， 所以满足条件的直线方程为或； （2）根据题意，若，则圆心到直线的距离， 结合（1）可知的斜率一定存在， 设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以满足条件的的方程或. 5.已知圆经过点和，且圆关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）过点作直线与圆相切，求的方程. 【答案】(1)； (2)和. 【解析】 【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，， ∴AB的垂直平分线为：， 由解得圆心，半径 故圆的方程为； （2）若直线的斜率存在，方程可设为，即 圆心到直线的距离为，解得， 所求的一条切线为； 当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切， 所以直线的方程为和． 6.已知点，圆，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知圆的圆心为，半径为， 如图所示，作点关于轴的对称点， 连接交圆于， 则， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 又， 所以，故选：C. 7.一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在的直线方程的斜率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 易得关于直线的对称点为； 由题意可知，反射光线所在直线斜率存在，点在反射光线上， 所以设反射光线所在直线方程为，即， 圆的方程可化为X+2，圆心为，半径为， 所以，解得 8.已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，为切点，则弦长的最小值为__________. 【答案】 【解析】 弦长最小等价于最小，等价于最小，的最小值为圆心到直线直线的距离，即，此时，，所以 9.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程； （3）若直线一条直线经过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 【解析】 （1）设，则，即或（舍），故圆的方程为； （2）由题意可知圆心到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线，则有，即，此时； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足圆心到的距离为； （3）当直线轴时，对轴正半轴上一点，轴平分， 当直线斜率存在时，设到直线的方程为， ，，，由，得， 所以，，若轴平分， 则，即，即， 即，即，， 解得 10.已知点的坐标满足方程. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）圆表示以为圆心，为半径是圆， ，表示圆上的点与点连线的斜率， 由于，故可设过点的直线方程为， 则有圆心到直线的距离，解得， 则； （2）有点到直线距离公式可知为点到直线的距离的 倍，即，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离最大值为，最小值为，即，则 11.在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求的方程. 【答案】 （1）或；（2）或 【解析】 （1）点在圆外，所以有两条切线， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离，解得， 此时，即， 当直线斜率不存在时，直线方程为，满足与圆相切，成立； （2）由题意可知直线的斜率存在， 设直线方程为，则圆心到直线距离 由已知弦长为， 则，解得或， 所以直线方程为或， 即或. 2.与圆有关的最值问题 例12.已知圆，当变化时，圆上的点与原点的最短距离是________. 【答案】 【解析】 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，则|OC|＝，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1. 例13.若点是圆上任意一点，则的最大值是____________，点到直线的最大距离是_________. 【答案】， 【解析】 由圆方程， 得，则圆心，半径， 因为点是圆上任意一点， 所以表示圆上的点到原点的距离的平方， 连接OC并延长OC交圆C于点A,如图所示， 由图可得的最大值为, 且， 所以的最大值为； 直线如图所示：    过点作直线的垂线，垂足为，延长与圆交于点， 则点到直线的最大距离是， 所以， 所以点到直线的最大距离是6. 故答案为：；6. 练习： 1.已知实数，满足，的最大值为________. 【答案】 【解析】实数满足，即表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故的最大值为． 故答案为：36 2.（多选）已知点在上，点，点，则（ ） A. 到直线的距离最大值是 B.满足AP的点有个 C.过直线上任意一点做的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为，A正确； 对B，设点，则，且，由题意， 两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为， 于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个，B正确； 对C，如图，过作切线时，直线显然不经过，故C错误；      对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵， 则有，即，∴，， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 3. 为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为圆，即，所以圆心，半径， 又因为长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径，且圆心到直线距离， 所以， 故选：A. 4.若圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 圆的方程化为标准方程得，则， 圆的半径为，设圆心到直线的距离为， 当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，即，解得. 此时，，直线与圆相离，合乎题意. 当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，舍去，综上，故选：D. 5.已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆， 则根据圆的性质可知，的最小值为， 设关于直线的对称点为， 则可得，解得，即， 连接，分别交直线与圆于， 则， 当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为: 6.设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由已知圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线距离的最小值为 7.已知点，，且点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，，则方程为，且， 则圆心到直线的距离，则圆上的点到直线距离的最大值为， 即此时三角形面积最大为 8.已知点，圆，点为在圆上的一点，则点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知圆的圆心为，半径为， 如图所示，作点关于轴的对称点， 连接交圆于， 则， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 又， 所以，故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $