专题15 对数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数 15 题型1 对数的概念 7 题型2 指数式与对数式的互化 8 题型3 利用指数式与对数式的关系求值 9 题型4 利用对数式性质 10 题型5 对数方程求解 11 题型6 换底公式的应用 12 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.对数的概念 （1）对数的概念 （2）指数式与对数式的互化 2.对数的运算 （1）对数的运算性质 对数运算求值 对数方程求解 换底公式的应用 2 知识储备 对数的定义知识点 01 （1）定义表述 若且，，存在唯一实数使得，则称为“以为底的对数”，记作． 各部分名称：称为底数（要求且，与指数式底数限制一致），称为真数（要求，因，故真数必为正数），称为对数的值． （2）指数式与对数式的互化 对数与指数是“同一关系的两种表达”，互化是解决对数问题的核心工具，对应关系如下： 形式 底数 指数/对数 结果/真数 指数式 （指数） （幂值） 对数式 （对数） （真数） 互化公式 （） （3）两种特殊对数（常用简化形式） 常用对数：以10为底的对数，记作，即（如）； 自然对数：以无理数（）为底的对数，记作，即（如）． 对数的基本性质知识点 02 基于“指数与对数互化”，可直接推导以下基本性质（前提：，真数满足取值范围）： 1.：因，互化后得（任何非1正数的0次幂为1）； 2.：因，互化后得（任何非1正数的1次幂为自身）； 3.：将代入指数式，直接得此式（“对数的指数还原”，核心恒等式）； 4.：将代入对数式，得（“指数的对数还原”，如）； 5.零和负数无对数：因真数，故时，无意义（解题时需先保证真数大于0）． 对数的运算性质知识点 03 设，，，为任意实数，则对数的运算性质如下，需严格遵循“同底”前提： 运算类型 运算性质公式 核心说明 同底对数相加 同底对数相加→真数相乘（逆用：真数相乘→对数相加） 同底对数相减 同底对数相减→真数相除（逆用：真数相除→对数相减） 对数的幂运算 真数的幂→对数乘以幂指数（逆用：对数乘常数→真数升幂） 易错提醒： 无“”或“”的性质，切勿与乘法分配律混淆； 运算性质仅适用于“同底对数”，不同底对数需先通过“换底公式”统一底数，再应用性质． （4）换底公式（突破“不同底”限制） 当对数底数不同时，需用换底公式转化为同底（通常换为常用对数或自然对数），公式如下： （，，） 常用推论（由换底公式推导，简化计算）： 1.（如）； 2.（如）； 3.（“连锁换底”，最终化简为1）． 3 技巧总结 1.指数式与对数式的互化技巧 互化是解决“指数型方程”“对数型方程”“求对数值”的核心方法，关键是“找准底数、指数/对数、真数/幂值的对应关系”： 场景1：求对数的值（如求）：设，互化为指数式，得； 场景2：解指数方程（如解）：先化为，再互化为对数式，得； 场景3：解对数方程（如解）：互化为指数式，得（需验证真数，符合要求）． 2.对数运算的“统一底数法” 面对多对数混合运算，优先统一底数，再应用运算性质，步骤如下： 1.观察所有对数的底数，选择最简便的底数（如常用对数、自然对数，或题目中出现频率高的底数）； 2.用换底公式将不同底对数转化为统一底数； 3.应用“相加→相乘、相减→相除、幂→乘常数”的运算性质化简； 4.最终结果若为特殊值（如、），需计算出具体数值． 3.对数化简的“真数拆分法” 当对数的真数为“多因数乘积”或“幂的形式”时，可拆分真数简化计算： 1.将真数拆分为“质数幂的乘积”（如、）； 2.应用“对数的幂运算性质”和“同底对数加减性质”，将复杂对数拆为多个简单对数（如）； 3.若已知简单对数的值（如已知），可代入计算最终结果（如）． 4.对数定义域的“真数优先法” 求含对数的表达式（如对数函数、对数方程、对数不等式）的定义域，核心是“保证所有真数大于0”，步骤如下： 1.列出所有对数的真数表达式； 2.对每个真数表达式列“大于0”的不等式； 3.解所有不等式，取解集的交集（若含其他限制条件，如分母不为0、偶次根式被开方数非负，需同时满足）； 4.交集即为定义域（需注意：对数的底数仅需满足，若底数为常数，无需额外求解；若底数含变量，需额外列底数的限制不等式）． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.对数与指数的逆运算关系（深层理解） 对数与指数是“双向逆运算”，其定义域、值域呈“互逆对应”，具体如下： 维度 指数函数（） 对数（对应逆运算）（） 定义域 （指数可取任意实数） （真数必为正数） 值域 （幂值恒为正数） （对数值可取任意实数） 核心作用 已知底数、指数，求幂值 已知底数、幂值，求指数 此关系为后续“对数函数”的学习铺垫：对数函数本质是指数函数的反函数，二者图象关于直线对称． 2.对数的实际应用场景（解决“大范围数值”问题） 对数的核心实际价值是“将大范围的数值压缩为小范围数值”，常见应用场景： pH值计算：溶液的pH值定义为，其中为氢离子浓度（单位：mol/L），通过对数将（可能为到的范围）压缩为0到14的pH值范围； 地震震级（里氏震级）：震级，其中为地震波振幅，为标准振幅，通过对数将振幅的巨大差异（如相差倍）转化为震级的小范围差异（如1到10级）； 声音强度（分贝）：分贝值，其中为声音实际强度，为基准强度，通过对数将强度的大范围差异转化为0到120分贝的可感知范围． 3.对数运算与代数变形的结合（衔接复杂问题） 对数运算常与“完全平方公式”“因式分解”结合，解决含对数的代数式求值问题： 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 对数的概念 【典例1】　（2025春•宝山区期中）若log2x＝3，则实数x的值为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】把对数化为指数即可． 【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8． 故答案为：8． 【典例2】　（2024秋•浦东新区期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　（0，）　 ． 【答案】（0，）． 【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得0＜a， 故a的取值范围为（0，）． 故答案为：（0，）． 【典例3】　（2023秋•延边州期中）在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足， 解得3＜a＜4或4＜a＜5， 所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）． 故选：D． 题型2 指数式与对数式的互化 【典例4】　（2025春•西湖区期中）关于x的方程ex＝2的解为　ln2　 ． 【答案】ln2． 【分析】根据对数运算得解． 【解答】解：由ex＝2，可得x＝ln2， 故答案为：ln2． 【典例5】　（2024秋•辽宁期末）已知2m＝3，log25＝n，则2m+n＝ 　15　 ． 【答案】15． 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解． 【解答】解：2m＝3，log25＝n， 由log25＝n，得2n＝5，而2m＝3， ∴2m+n＝2m•2n＝3×5＝15． 故答案为：15． 【典例6】　（2025•文安县开学）下列指数式与对数式互化正确的一组是（　　） A．100＝1与lg1＝0 B．log34＝2与 C．与 D．log55＝1与51＝5 【答案】ACD 【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果． 【解答】解：100＝1可转化为lg1＝0，故A正确； 可转化为，故B错误； 可转化为，故C正确； 51＝5可转化为log55＝1，故D正确． 故选：ACD． 题型3 利用指数式与对数式的关系求值 【典例7】　（2025春•兴宁市月考）已知2a＝3b＝t，且，则t＝（　　） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解． 【解答】解：由2a＝t可得a＝log2t， 所以logt2， 由3b＝t可得b＝log3t， 所以logt3， 故2logt2+logt3＝logt4+logt3＝logt12＝2， 故t2＝12，由于t＞0， 故． 故选：B． 【典例8】　（2025•渝中区模拟）已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且，则a＝（　　） A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：2x＝3y＝5z＝k， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 故logk3+logk2＝logk6＝alogk5， 故alog56． 故选：D． 【典例9】　（2025•慈溪市模拟）已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　6　 ． 【答案】6． 【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可． 【解答】解：∵实数a，b，c满足9a＝24b＝c，∴c＞0，a＝log9c，b＝log24c， ∴，即c3＝216， ∴c＝6． 故答案为：6． 题型4 利用对数式性质 【典例10】　（2025秋•清新区月考）　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值． 【解答】解：log32log23﹣6lglg ． 故答案为：﹣3． 【典例11】　（2024秋•沙依巴克区期末）（　　） A．10 B．11 C．12 D．3 【答案】B 【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可． 【解答】解：∵lg4+2lg5＝lg4+lg52＝lg4+lg25＝lg100＝2， log28＝3， 22＝4， ， ∴2+3+4+2＝11． 故选：B． 【典例12】　（2025春•柘荣县月考）式子（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得． 【解答】解：原式3×2+lg2+lg5＝6+lg10＝6+1＝7． 故选：C． 题型5 对数方程求解 【典例13】　（2024秋•浦东新区期末）方程log2（x+1）﹣log4（x+4）＝1的解为 　x＝5　 ． 【答案】5． 【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解． 【解答】解：由已知可得，log4（x+1）2﹣log4（x+4）＝1． ∴log41， ∴，解可得x＝5． 故答案为：x＝5． 【典例14】　（2023秋•金凤区期中）若log3（lgx）＝0，则x的值等于 　10　 ． 【答案】10． 【分析】通过指对互化即可求解． 【解答】解：因为log3（lgx）＝0，所以lgx＝3°＝1， 所以x＝101＝10 故答案为：10． 【典例15】　（2023秋•南关区期中）（1）计算：； （2）求下列式中的x的值：． 【答案】（1）5；（2）﹣2． 【分析】（1）利用有理数指数幂以及对数的运算性质化简即可求解； （2）利用对数的真数大于0，底数大于0且不等于1，转化为指数式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+（22） ＝lg5﹣lg2+2g2﹣1+5 ＝lg5+lg2+4 ＝1+4 ＝5． （2）由 （3x2+2x﹣1）＝1， 得， 解得x＝﹣2． 题型6 换底公式的应用 【典例16】　（2024秋•鼓楼区期中）求值：（log23）（log34）＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用换底公式后运用对数式的运算性质化简求值． 【解答】解：（log23）（log34）． 故答案为2． 【典例17】　（2024春•金凤区期末）计算（log54）•（log1625）＝（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果． 【解答】解：（log54）•（log1625） 1． 故选：B． 【典例18】　（2024秋•中江县期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）logac•logca； （2）log23•log34•log45•log52； （3）（log43+log83）（log32+log92）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可． 【解答】解：（1）logac•logca•1； （2）log23•log34•log45•log52•••1； （3）（log43+log83）（log32+log92）＝（）（） ＝（）（） • ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 对数 15 题型1 对数的概念 7 题型2 指数式与对数式的互化 7 题型3 利用指数式与对数式的关系求值 8 题型4 利用对数式性质 8 题型5 对数方程求解 8 题型6 换底公式的应用 9 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.对数的概念 （1）对数的概念 （2）指数式与对数式的互化 2.对数的运算 （1）对数的运算性质 对数运算求值 对数方程求解 换底公式的应用 2 知识储备 对数的定义知识点 01 （1）定义表述 若且，，存在唯一实数使得，则称为“以为底的对数”，记作． 各部分名称：称为底数（要求且，与指数式底数限制一致），称为真数（要求，因，故真数必为正数），称为对数的值． （2）指数式与对数式的互化 对数与指数是“同一关系的两种表达”，互化是解决对数问题的核心工具，对应关系如下： 形式 底数 指数/对数 结果/真数 指数式 （指数） （幂值） 对数式 （对数） （真数） 互化公式 （） （3）两种特殊对数（常用简化形式） 常用对数：以10为底的对数，记作，即（如）； 自然对数：以无理数（）为底的对数，记作，即（如）． 对数的基本性质知识点 02 基于“指数与对数互化”，可直接推导以下基本性质（前提：，真数满足取值范围）： 1.：因，互化后得（任何非1正数的0次幂为1）； 2.：因，互化后得（任何非1正数的1次幂为自身）； 3.：将代入指数式，直接得此式（“对数的指数还原”，核心恒等式）； 4.：将代入对数式，得（“指数的对数还原”，如）； 5.零和负数无对数：因真数，故时，无意义（解题时需先保证真数大于0）． 对数的运算性质知识点 03 设，，，为任意实数，则对数的运算性质如下，需严格遵循“同底”前提： 运算类型 运算性质公式 核心说明 同底对数相加 同底对数相加→真数相乘（逆用：真数相乘→对数相加） 同底对数相减 同底对数相减→真数相除（逆用：真数相除→对数相减） 对数的幂运算 真数的幂→对数乘以幂指数（逆用：对数乘常数→真数升幂） 易错提醒： 无“”或“”的性质，切勿与乘法分配律混淆； 运算性质仅适用于“同底对数”，不同底对数需先通过“换底公式”统一底数，再应用性质． （4）换底公式（突破“不同底”限制） 当对数底数不同时，需用换底公式转化为同底（通常换为常用对数或自然对数），公式如下： （，，） 常用推论（由换底公式推导，简化计算）： 1.（如）； 2.（如）； 3.（“连锁换底”，最终化简为1）． 3 技巧总结 1.指数式与对数式的互化技巧 互化是解决“指数型方程”“对数型方程”“求对数值”的核心方法，关键是“找准底数、指数/对数、真数/幂值的对应关系”： 场景1：求对数的值（如求）：设，互化为指数式，得； 场景2：解指数方程（如解）：先化为，再互化为对数式，得； 场景3：解对数方程（如解）：互化为指数式，得（需验证真数，符合要求）． 2.对数运算的“统一底数法” 面对多对数混合运算，优先统一底数，再应用运算性质，步骤如下： 1.观察所有对数的底数，选择最简便的底数（如常用对数、自然对数，或题目中出现频率高的底数）； 2.用换底公式将不同底对数转化为统一底数； 3.应用“相加→相乘、相减→相除、幂→乘常数”的运算性质化简； 4.最终结果若为特殊值（如、），需计算出具体数值． 3.对数化简的“真数拆分法” 当对数的真数为“多因数乘积”或“幂的形式”时，可拆分真数简化计算： 1.将真数拆分为“质数幂的乘积”（如、）； 2.应用“对数的幂运算性质”和“同底对数加减性质”，将复杂对数拆为多个简单对数（如）； 3.若已知简单对数的值（如已知），可代入计算最终结果（如）． 4.对数定义域的“真数优先法” 求含对数的表达式（如对数函数、对数方程、对数不等式）的定义域，核心是“保证所有真数大于0”，步骤如下： 1.列出所有对数的真数表达式； 2.对每个真数表达式列“大于0”的不等式； 3.解所有不等式，取解集的交集（若含其他限制条件，如分母不为0、偶次根式被开方数非负，需同时满足）； 4.交集即为定义域（需注意：对数的底数仅需满足，若底数为常数，无需额外求解；若底数含变量，需额外列底数的限制不等式）． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.对数与指数的逆运算关系（深层理解） 对数与指数是“双向逆运算”，其定义域、值域呈“互逆对应”，具体如下： 维度 指数函数（） 对数（对应逆运算）（） 定义域 （指数可取任意实数） （真数必为正数） 值域 （幂值恒为正数） （对数值可取任意实数） 核心作用 已知底数、指数，求幂值 已知底数、幂值，求指数 此关系为后续“对数函数”的学习铺垫：对数函数本质是指数函数的反函数，二者图象关于直线对称． 2.对数的实际应用场景（解决“大范围数值”问题） 对数的核心实际价值是“将大范围的数值压缩为小范围数值”，常见应用场景： pH值计算：溶液的pH值定义为，其中为氢离子浓度（单位：mol/L），通过对数将（可能为到的范围）压缩为0到14的pH值范围； 地震震级（里氏震级）：震级，其中为地震波振幅，为标准振幅，通过对数将振幅的巨大差异（如相差倍）转化为震级的小范围差异（如1到10级）； 声音强度（分贝）：分贝值，其中为声音实际强度，为基准强度，通过对数将强度的大范围差异转化为0到120分贝的可感知范围． 3.对数运算与代数变形的结合（衔接复杂问题） 对数运算常与“完全平方公式”“因式分解”结合，解决含对数的代数式求值问题： 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 对数的概念 【典例1】　（2025春•宝山区期中）若log2x＝3，则实数x的值为 　 　 ． 【典例2】　（2024秋•浦东新区期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　 　 ． 【典例3】　（2023秋•延边州期中）在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 题型2 指数式与对数式的互化 【典例4】　（2025春•西湖区期中）关于x的方程ex＝2的解为　 　 ． 【典例5】　（2024秋•辽宁期末）已知2m＝3，log25＝n，则2m+n＝ 　 　 ． 【典例6】　（2025•文安县开学）下列指数式与对数式互化正确的一组是（　　） A．100＝1与lg1＝0 B．log34＝2与 C．与 D．log55＝1与51＝5 题型3 利用指数式与对数式的关系求值 【典例7】　（2025春•兴宁市月考）已知2a＝3b＝t，且，则t＝（　　） A． B． C． D．12 【典例8】　（2025•渝中区模拟）已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且，则a＝（　　） A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 【典例9】　（2025•慈溪市模拟）已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　 　 ． 题型4 利用对数式性质 【典例10】　（2025秋•清新区月考）　 　 ． 【典例11】　（2024秋•沙依巴克区期末）（　　） A．10 B．11 C．12 D．3 【典例12】　（2025春•柘荣县月考）式子（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型5 对数方程求解 【典例13】　（2024秋•浦东新区期末）方程log2（x+1）﹣log4（x+4）＝1的解为 　 ． 【典例14】　（2023秋•金凤区期中）若log3（lgx）＝0，则x的值等于 　 　 ． 【典例15】　（2023秋•南关区期中）（1）计算：； （2）求下列式中的x的值：． 题型6 换底公式的应用 【典例16】　（2024秋•鼓楼区期中）求值：（log23）（log34）＝　 　 ． 【典例17】　（2024春•金凤区期末）计算（log54）•（log1625）＝（　　） A．2 B．1 C． D． 【典例18】　（2024秋•中江县期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）logac•logca； （2）log23•log34•log45•log52； （3）（log43+log83）（log32+log92）． 学科网（北京）股份有限公司 $