章节巩固练5 一元一次方程 2025-2026学年人教版七年级数学上册阶段性限时高效复习方案（河北专用）

章节巩固练5 一元一次方程 时间：60分钟 满分：100分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北衡水·期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知是方程的解，则的值是（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）将方程的两边同除以，将得，其原因是（    ） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．如果，那么方程两边不能同时除以 D．一定条件下 5．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若x与2的差的是1的相反数，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2025·河北邯郸·三模）《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程 ，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 8．（24-25七年级上·河北唐山·期末）解方程时，去分母的步骤如图：则“□”内填的数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 9．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河北张家口·期末）某动点从数轴上的点出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点，且点，所表示的数的绝对值相同，则点表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则a的值为 ． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）有一个算式为，墨迹覆盖了“3■”的个位数字和“■3”的十位数字、若被“■”覆盖的两处均为同一个数字，则该数字为 ． 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）符号 “”称为“二阶行列式”，规定它的运算法则为，则中x的值为 ． 14．（24-25七年级上·河北邢台·期末）盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的三分之一，丙再取走5个，这时，还剩3个，则盒子里原有 个小球． 15．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ． 三、解答题（共55分） 16．（24-25七年级上·河北承德·期末，6分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是嘉淇同学的解题过程． 解方程：． 解：方程两边同时乘4，得，…① 去分母，得，…② 去括号，得，…③ 移项，得，…④ 合并同类项，得，…⑤ 系数化为1，得．…⑥ (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 17．（24-25七年级上·河北承德·期末，6分）当的取值不同时，代数式（其中，是常数）的值也不同，具体情况如表所示： 0 1 4 2 0 观察上表，解答下列问题： 【初步感知】 (1)填空：代数式的值为0时，则__________． (2)直接写出关于的方程的解_______． 【规律归纳】 (3)根据表格推断时代数式值，并简要说明理由． 【问题解决】 (4)请写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值减小，且当时，代数式的值为． 18．（2025·河北邯郸·一模，6分）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 19．（24-25七年级上·河北廊坊·期末，6分）某公司日前收购了杨树原木，根据市场需求，计划用20天完成这批木材的加工任务，已知该公司每天能够精加工杨树或者粗加工杨树． (1)该公司应如何安排精加工、粗加工的天数，才能按期完成这批木材的加工任务？ (2)若每立方米杨树精加工、粗加工后的利润分别是500元、300元，则该公司加工这批木材后可获利多少元？（结果用科学记数法表示） 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期末，7分）为了丰富学生的课余活动，学校准备购买10副羽毛球拍和x只羽毛球不少于已知某商店每副羽毛球拍定价60元，每只羽毛球定价5元，优惠方案如图所示两种优惠方案不可混用 (1)分别用含有x的代数式表示两种方案购买所需的费用； (2)当购买多少只羽毛球时，两种方案所需费用相同？ (3)当购买100只羽毛球时，哪种购买方案比较优惠？请说明理由． 21．（24-25七年级上·河北张家口·期末，8分）项目学习 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6（阴影） 7 8（阴影） 9 10 11 12 13（阴影） 14（阴影） 15（阴影） 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 操作发现：如图是2024年2月份的月历，同学们用带阴影的“凹”型框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是______； (2)设覆盖的最小数为x，请用式子表示所覆盖的五个数之和． (3)在移动“凹”字型框过程中，嘉嘉说被框住的5个数字之和可能为86，琪琪说被框住的5个数字之和可能为98，你同意他们的说法吗？请说明理由． 22．（24-25七年级上·河北唐山·期末，8分）为鼓励市民节约用水，增强节水意识，某市决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定如下表： 阶梯 每月的用水量（m） 单价/（元/m） 第一阶梯 不超过 2.2 第二阶梯 超过但不超过的部分 2.9 第三阶梯 超过的部分 5 (1)小明家3月份的用水量，则他家的水费是多少元； (2)小明家5月份用水量为，缴纳水费27.8元．求出a的值； (3)小明家在8月份的水费是41.5元，直接写出小明家该月的用水量． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末，8分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C A A A D C D 1．A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程定义，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义判定即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、未知数最高次数是二次不是一次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，未知数最高次数是二次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、如果，且，那么，故本选项错误，符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则如果，那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 3．D 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，把代入求解即可． 【详解】解：把代入得：，解得：， 故选：D． 4．C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、等式的性质2 【分析】本题主要查了根据等式的性质2，解一元一次方程．根据等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以时要保证，条件没给出，所以不能同除以． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当两边同除以时，无意义， ∴错误的原因是：如果，那么方程两边不能同时除以， 故选：C． 5．A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了相反数的应用及解一元一次方程，根据题意列出方程，是解题的关键．根据x与2的差的是1的相反数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故选：A． 6．A 【知识点】整式加减的应用、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，先根据等式两边都除以5，即得等式①为，然后依次得出等式②和等式③，即可得出答案． 【详解】解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 7．A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意，分别分析嘉嘉和淇淇所列方程的正确性。嘉嘉设圭的长度为x尺，则表的长度为尺，两者之和为，符合题意；淇淇设表的长度为y尺，则圭的长度为尺，两者之和为，同样符合题意，因此两人均正确. 【详解】解：嘉嘉的方程：设圭的长度为尺，则表的长度为尺， 根据题意，圭和表的长度之和为21尺， 故方程为：， 淇淇的方程：设表的长度为尺，则圭的长度为尺，根据题意，两者之和为21尺，故方程为：； 综上，两人所列方程均正确， 故选A 8．D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程的去分母．根据去分母的步骤进行解答即可． 【详解】解： 两边同乘以6得到， 故“□”内填的数是12， 故选：D 9．C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 10．D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数、相反数、绝对值、一元一次方程的应用等知识，理解相反数的定义是解题关键．根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同，即点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数，设点所表示的数为 ，则点所表示的数为，列出关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同， 所以点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数， 设点所表示的数为 ，则点所表示的数为， 则，解得， 即点表示的数为． 故选：D． 11． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】把代入方程中解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，解方程，熟练掌握解方程的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的解， 故， 解得． 故答案为：． 12． 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设被“■”覆盖的两处数字为，根据题意建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设被“■”覆盖的两处数字为，根据题意得， 解得： 故答案为：． 13． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据二阶行列式的定义把方程转化为一般形式的一元一次方程，解一元一次方程求出未知数的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为得：． 故答案为：． 14．24 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一次方程的应用，设盒子原来有小球x个，取走一半后剩下,又取走，再取走5个，以小球的总数作为等量关系可列方程求解． 【详解】解：设盒子原来有小球x个． ， 解得，． 所以，盒子里有24个小球． 故答案为：24． 15．99 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 16．(1)② (2)过程见解析 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）检查嘉淇同学的解题过程，找出出错的步㡠即可； （2）根据解一元一次方程的基本步骤写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）上述嘉淇解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号； （2）方程两边同时乘4，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17．(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程，根据题意发现规律是解题关键． （1）根据表格中的数据即可得到代数式的值为0时的值； （2）将方程变形为，再根据表格数据即可求解； （3）观察表格中数据的变化规律即可作答； （4）根据的值每增加，代数式的值减小，可设代数式为，又由当时，代数式的值为，即可求得的值，从而得到代数式． 【详解】（1）解：表格中，当时，代数式的值为0． 故答案为：． （2）解：方程可变形为，表格中，当时，代数式的值为2． 故答案为：． （3）解：当时，代数式的值，理由如下： 由表格可得：随着每增加，代数式的值减少， 当时，代数式的值为． （4）解： 的值每增加，代数式的值减小， 设代数式为， 当时，代数式的值为， ， 解得， 这个代数式为． 18．(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 19．(1)精加工8天，粗加工12天； (2)元 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，解题关键是根据已知条件找出等量关系，列出方程； （1）设精加工用x天，则粗加工用天，根据用20天完成杨树原木，列一元一次方程，即可解答； （2）在（1）的基础上将精加工和粗加工利润代入计算即可解答． 【详解】（1）解：设精加工用x天，则粗加工用天， 由题意得， 解得 ∴（天）． （2）解：∵每立方米杨树精加工、粗加工后的利润分别是500元、300元， ∴共获利 元， 将430000元用科学记数法表示为元． 20．(1)选择方案一购买所需的费用为元；选择方案二购买所需的费用为元 (2)当购买80只羽毛球时，两种方案所需费用相同 (3)选择方案二比较优惠 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式： 利用总价单价数量，结合该商店给出的两种优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择两种方案购买所需的费用； 根据两种方案所需费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 代入，可求出选择两种方案购买所需的费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得： 选择方案一购买所需的费用为元； 选择方案二购买所需的费用为元； （2）根据题意得：， 解得： 答：当购买80只羽毛球时，两种方案所需费用相同； （3）选择方案二比较优惠，理由如下： 当时，选择方案一所需的费用为元； 选择方案二所需的费用为元 ， 选择方案二比较优惠． 21．(1)9 (2) (3)同意嘉嘉的说法，不同意琪琪的说法，理由见解析 【知识点】列代数式、整式加减的应用、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、列代数式、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、列出代数式和一元一次方程成为解题的关键． （1）根据这5个数中，最小数是6，最大数是15，然后作差即可解答； （2）设覆盖的最小数为x，则阴影框中其余的4个数为，然后求和即可； （3）分别令（2）所得的代数式等于96和98得到方程，然后根据方程解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵这5个数中，最小数是6，最大数是15， ∴最小数与最大数的差为． 故答案为：9． （2）解：设覆盖的最小数为x，则阴影框中其余的4个数为， 则所覆盖的五个数之和为：． ∴所覆盖的五个数之和为． （3）解：同意嘉嘉的说法，不同意琪琪的说法，理由如下： 令，解得：， ∴观察日历，符合题意； ∴5个数字之和不可能为86； 令，解得：， ∵日期不可能为分数， ∴5个数字之和不可能为86． 22．(1)元 (2) (3) 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）直接利用根据不超过的部分按2.2元收费，即可得出答案； （2）先求出的范围，根据的范围，列出方程求解即可； （3）由于，可知水费为41.5元时的用水超过，属于第3级，根据阶梯式计量水价列出方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元． 答：他家的水费是17.6元； （2）解：, , , , 解得：； （3）解：， 小明家在8月份用水量超过， 设小明家在8月份用水量是， ． 根据题意得， 解得． 答：小明家该月的用水量是． 23．(1)是“美好方程”，理由见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $