5.2解一元一次方程讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第五章 一元一次方程 第三节 解一元一次方程 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1解一元一次方程的一般步骤 2 知识点2 一元一次方程的同解 2 题型精讲1解一元一次方程—合并同类项与移项 2 题型精讲2解一元一次方程—去括号 5 题型精讲3解一元一次方程—去分母 8 题型精讲4已知一元一次方程的解，求参数 10 题型精讲5一元一次方程解的关系 12 题型精讲6绝对值方程 16 03拓展培优 19 04课堂检测 28 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），能规范求解不含括号、含括号的一元一次方程，契合新教材例题编排。 2. 素养能力：通过按步骤解方程，提升运算准确性与逻辑推理能力，对接中考对解方程步骤完整性的考查要求。 3. 情感应用：运用解方程解决简单实际问题（如行程、工程问题），体会方程的实用性，为后续列方程解应用题奠基。 【新知学习】 【知识点1】解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的核心是利用等式的性质，将方程逐步转化为 “x = a（a为常数）” 的形式，具体步骤如下： 1. 去分母： 在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母（注意：不含分母的项也要乘最小公倍数，避免漏乘）。 2. 去括号： 去括号法则：括号前是 “+”，去括号后各项符号不变；括号前是 “-”，去括号后各项符号均改变（注意：括号外的系数要与括号内每一项相乘，避免漏乘）。 3. 移项： 将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项时要改变该项的符号。 4. 合并同类项： 分别合并方程左边的含未知数项和右边的常数项，简化方程形式（依据 “合并同类项法则”，同类项的系数相加，字母及指数不变）。 5. 系数化为 1： 在方程两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），使未知数的系数变为 1。 【易错提醒】 1. 去分母时，方程中 “单独的常数项”必须乘最小公倍数，避免漏乘； 2. 去括号时，括号外是负数，括号内每一项都要变号，不能只变第一项； 3. 移项时必须变号，未移项的项保持原符号不变。 【知识点2】一元一次方程的同解 方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 题型精讲 题型精讲1解一元一次方程—合并同类项与移项 【例题1】方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】解：3x＝2x＋7 移项得，3x-2x=7； 合并同类项得，x＝7； 故选：C． 【变式训练1】解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【思维建模】整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果 【变式训练2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： 【思维建模】一元一次方程的一般步骤 （1） 根据移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可 （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可 【变式训练3】定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：． (1)直接写出 ； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【知识点】有理数加法运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为2或； （3）解：， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 题型精讲2解一元一次方程—去括号 【例题1】下列式子的变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、根据移项，由得，原选项变形错误，不符合题意； B、根据移项，由得，原选项变形正确，符合题意； C、根据系数化为1，由得，原选项变形错误，不符合题意； D、根据去括号，由得，原选项变形错误，不符合题意； 故选：B ． 【变式训练1】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【详解】（1）解： ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【变式训练2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【详解】（1）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式训练3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【详解】（1）解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； （2）解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 题型精讲3解一元一次方程—去分母 【例题1】解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 【变式训练1】小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：B． 【变式训练2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1） 解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 【变式训练3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型精讲4已知一元一次方程的解，求参数 【例题1】已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵该方程有解， ∴， ∴， ∵该方程的解为正整数， ∴或， ∴，， 解得：，， 符合条件的所有整数的积为：． 故答案为：． 【变式训练1】若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【详解】解：解方程，得， 关于x的方程与方程有相同的解， 代入到方程，得， 解得：， a的值为3． 【变式训练2】若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】判断是否是一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：4． 【易错提醒】一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零． 【变式训练3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数 【详解】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 题型精讲5一元一次方程解的关系 【例题1】定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，， 【知识点】有理数四则混合运算、已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴的值为：，，，． 【变式训练1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程解的关系 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 【变式训练2】若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 【变式训练3】已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型精讲6绝对值方程 【例题1】若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式训练1】若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【详解】解： ， 故选：C． 【变式训练2】若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】绝对值方程 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 【变式训练3】对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________； ②的值为________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或或 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【详解】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为， 故答案为： （2）解：和关于的“相对关系值”为， ， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，的值为或； （3）解：①和关于的“相对关系值”为， ； 分四种情况： 当，时，，则； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 由此可知的最大值为； 故答案为： ②分五种情况， 当时，，解得， 由可得，， 可得， ； 当时，， ，此种情形不存在； 当时，，，，； ； 当时，， ， ， ， ，，，， ，即， ，即， 同理可得：，，， ，，，，， ； 当，时，由可得， 即，此种情形不存在； 当，时，可得，，，，， ，，，，， ； 综上，的值为或或或； 故答案为：或或或 【拓展培优】 【典例1】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 【典例2】任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 【答案】 231 1986 【知识点】整式加减的应用、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：当时，则：， ∴； 当时，则：， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：231，1986． 【变式训练1】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用、已知式子的值，求代数式的值 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例3】已知三个数，，，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是； ②若，，，且，，中最小值为，则或； ③若，则第次操作的结果为，，． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、绝对值的几何意义、绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】解：①若，，， 则，，， ，，三个数中最大的数是，故①正确； ②若，，，即，，， 则，，， ，，中最小值为， 当时， 解得：或， 此时，，，或，，，满足题意； 当时， 解得：， 此时，，，满足题意； 综上，或或， 故②错误； ③若，即，，， 则第次操作：，，， 当时， 则第次操作：，，， 第次操作：，， ， 第次操作：，，， 第次操作的结果为，，； 当时， 则第次操作：，，， 第次操作： ，， ， 第次操作： ，，， 第次操作的结果为，，； 综上，当时，第次操作的结果为，，；当时，第次操作的结果为，，， 故③错误； 故选：B． 【变式训练1】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【变式训练2】有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．云汉数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，且x为整数）时，． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、绝对值的几何意义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】解：根据题意有， ①当时，， 故①结论错误； ②当时，， ， 故②结论正确； ③当时， 则有：，，， 当时，或， 故③结论错误； ④，（，且x为整数）时， ， 故④结论正确； 综上所述，正确的结论个数为2个． 故选：B． 【变式训练3】对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式加减中的无关型问题、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：①当，时，为奇数， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴为偶数， ∴，故②错误； ③， 解得：， ∵方程的解是正整数 ∴或2或3或1， ∴或6或7或5， ∴， ∴为奇数， ，故③正确； ④当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则m为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴当时，方程为，此方程无解， 当，方程为，此方程有解，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．方程左右两边同乘以，即可求出解． 【详解】解：方程， 系数化为1得：． 故选：B． 3．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 4．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．将等式两边同时乘以4化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以4得，． 故选：D． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由，得到原方程的解为，且，则，即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵， ∴原方程的解为，且， ∴． 故选A． 6．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，将代入方程即可求得a的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴，解得， 故选：A． 7．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 8．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）方程的解是 ． 【答案】x＝﹣ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查的知识点是一元一次方程的解法，关键掌握解一元一次方程的基本步骤，即移项、合并同类项和系数化为来求解方程．；移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，使含未知数的项和常数项分别在等号两侧；合并同类项：将等号同侧同类项（如含x的项）的系数相加，化简方程形式；系数化为：在方程两边同时除以未知数的系数，最终求出未知数的值． 【详解】解： 移项及合并同类项，得 系数化为，得， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的方程的解是，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 根据题意，先把代入方程，得出关于a的一元一次方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 移项、合并同类项，得， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】144 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，绝对值，解一元一次方程，代数式求值，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，得到且，求出，再将代入方程，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴， 则， 解得， ∴． 故答案为：144． 12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ① ，②若，则有 种可能的值． 【答案】 / 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较，一元一次方程的应用．①根据题意得到或，即可求解；②由题意，相当于，设的小数部分为，根据表示有理数到离它最近的整数的距离，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①或， 故答案为：； ②设，相当于，则 设的小数部分为， 当时，，此时， ∴或或或 解得：或或或或或或 当时，， ∴或或或 解得：或（舍去）或或或或或（舍去） 则或或或 综上所述，可能为，共种可能的值． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 16．（24-25七年级上·山东德州·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 17．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 18．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 第三节 解一元一次方程 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1解一元一次方程的一般步骤 2 知识点2 一元一次方程的同解 2 题型精讲1解一元一次方程—合并同类项与移项 3 题型精讲2解一元一次方程—去括号 4 题型精讲3解一元一次方程—去分母 4 题型精讲4已知一元一次方程的解，求参数 5 题型精讲5一元一次方程解的关系 6 题型精讲6绝对值方程 7 03拓展培优 8 04课堂检测 9 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），能规范求解不含括号、含括号的一元一次方程，契合新教材例题编排。 2. 素养能力：通过按步骤解方程，提升运算准确性与逻辑推理能力，对接中考对解方程步骤完整性的考查要求。 3. 情感应用：运用解方程解决简单实际问题（如行程、工程问题），体会方程的实用性，为后续列方程解应用题奠基。 【新知学习】 【知识点1】解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的核心是利用等式的性质，将方程逐步转化为 “x = a（a为常数）” 的形式，具体步骤如下： 1. 去分母： 在方程两边同时乘所有分母的 ，消去分母（注意：不含分母的项也要乘最小公倍数，避免漏乘）。 2. 去括号： 去括号法则：括号前是 “+”，去括号后各项符号 ；括号前是 “-”，去括号后各项符号均 （注意：括号外的系数要与括号内每一项相乘，避免漏乘）。 3. 移项： 将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项时要改变该项的 。 4. 合并同类项： 分别合并方程左边的含未知数项和右边的常数项，简化方程形式（依据 “合并同类项法则”，同类项的系数相加，字母及指数不变）。 5. 系数化为 1： 在方程两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），使未知数的系数变为 1。 【易错提醒】 1. 去分母时，方程中 “单独的常数项”必须乘最小公倍数，避免漏乘； 2. 去括号时，括号外是负数，括号内每一项都要变号，不能只变第一项； 3. 移项时必须变号，未移项的项保持原符号不变。 【知识点2】一元一次方程的同解 方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 题型精讲 题型精讲1解一元一次方程—合并同类项与移项 【例题1】方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 【变式训练1】解方程：． 【思维建模】整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果 【变式训练2】解方程： (1) (2) 【思维建模】一元一次方程的一般步骤 （1） 根据移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可 （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可 【变式训练3】定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：． (1)直接写出 ； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，则的值为 ． 题型精讲2解一元一次方程—去括号 【例题1】下列式子的变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式训练1】解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式训练2】解下列方程： (1) ； (2) ． 【变式训练3】解方程： (1) (2) 题型精讲3解一元一次方程—去分母 【例题1】解方程：． 【变式训练1】小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】解方程： (1) ； (2) ． 【变式训练3】解方程： (1) ； (2) ． 题型精讲4已知一元一次方程的解，求参数 【例题1】已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 【变式训练1】若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【变式训练2】若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【易错提醒】一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零． 【变式训练3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1) 若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2) 若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 题型精讲5一元一次方程解的关系 【例题1】定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1) 对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2) 解方程∶； (3) 若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【变式训练1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 题型精讲6绝对值方程 【例题1】若，则 ． 【变式训练1】若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 【变式训练2】若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式训练3】对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________； ②的值为________（用含的式子表示）． 【拓展培优】 【典例1】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【典例2】任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 【变式训练1】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【典例3】已知三个数，，，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是； ②若，，，且，，中最小值为，则或； ③若，则第次操作的结果为，，． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【变式训练2】有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．云汉数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，且x为整数）时，． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 2．（2024·广东·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 4．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 6．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 7．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 8．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）方程的解是 ． 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的方程的解是，则 ． 11．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若是关于x的一元一次方程，则 ． 12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ① ，②若，则有 种可能的值． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏·期末）解下列方程： (1)； (3) ． 16．（24-25七年级上·山东德州·期末）解一元一次方程： (1)； (3) ． 17．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 18．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $