5.1.2等式的性质讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第五章 一元一次方程 第二节 等式的性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等式的性质1 2 知识点2等式的性质2 2 知识点3 性质的核心作用 3 题型精讲1等式的性质1 5 题型精讲2等式的性质2 6 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解等式的两条基本性质，能准确表述性质内容；会用等式性质对等式进行规范变形（如移项、系数化 1 的初步操作），契合新教材示例逻辑。 2. 素养能力：通过探究等式变形规律，发展逻辑推理与代数运算能力，对接中考对等式变形合理性的考查要求。 3. 情感应用：运用等式性质解决简单的实际等量问题，体会性质的工具性，为后续解一元一次方程提供理论支撑。 【新知学习】 【知识点1】等式的性质1 等式两边同时加（或减）同一个数（或同一个整式），所得结果仍为等式。 符号表示：若a = ，则a + c = b + c，a - c = b - c（其中c为任意数或整式）。 边学边练下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、若，则，选项说法正确，符合题意； B、若，则，选项说法错误，不符合题意； C、若，则，选项说法错误，不符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【知识点2】等式的性质 等式两边同时乘同一个数（或同一个整式），或除以同一个不为 0 的数（或不为 0 的整式），所得结果仍为等式。 注意：除以的数（或整式）不能为 0，否则等式无意义。 边学边练解方程时，应在方程两边（   ） A．都乘 B．都除以 C．都乘 D．都除以 【答案】B 【详解】解：， ， ， ∴利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时乘以， 也就是方程的两边同时除以， 故选：B． 【知识点3】性质的核心作用 等式的性质是解方程的理论依据，通过等式变形可逐步将方程转化为 “未知数 = 常数” 的形式，实现求解目的。 题型精讲 题型精讲1等式的性质 【例题1】下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； C、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； D、如果，那么，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 【思维建模】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【变式训练1】下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、如果，那么，正确，不符合题意； B、如果，那么，当时，等式无意义，不一定正确，符合题意； C、如果，那么，正确，不符合题意； D、如果，那么，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A．若，当时，则，故不正确； B．若，则，故不正确； C．若，则或，故不正确； D．若，则，正确； 故选D． 【变式训练3】等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、等式的性质1 【详解】解： ，等式两边分别加上， 可得：； 故选：A 题型精讲2等式的性质2 【例题1】若等式成立，则下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、当时，由不一定能得到，原式不成立，符合题意； B、由，可以根据等式的性质1得到，原式成立，不符合题意； C、由，可以根据等式的性质1得到，原式成立，不符合题意； D、由，可以根据等式的性质2得到，原式成立，不符合题意； 故选：A． 【思维建模】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【变式训练1】下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、，两边都乘以2，得，故本选项错误，不符合题意. B、，当时，，故本选项错误，不符合题意； C、，等号两边都减y加3，得，故本选项正确，符合题意； D、，当时，，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：A、若，则，原选项变形错误，不符合题意； B、若，则，原选项变形错误，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，符合题意； D、若，且时，则，，选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【变式训练3】已知，，则式子的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、等式的性质2 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 【答案】 【知识点】等式的性质 【详解】解：先把个球分成个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组； 再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球； 若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球， 故至少次可以找出这个较轻的球． 故答案为： 【典例2】某商家主营的，，三种商品在月份的销售单价之比为，其销售数量之比为．随着市场形势的变化，月份时，商品增加的销售额占月份，，三种商品销售总额的，同时，两种商品增加的销售额之比为．如果，两种商品月份销售额相等，那么该商家主营的这三种商品月份与月份的销售总额之比为 ． 【答案】 【知识点】等式的性质、列代数式 【详解】∵，，三种商品在月份的销售单价之比为， 设在月份A商品的单价为，则B，C商品的单价分别为，； 设A商品月份的销售数量为，则B、C商品月份的销售数量分别为：、．由此可得， 月份A商品的销售额为：， 月份B商品的销售额为：， 月份C商品的销售额为：， 月份A，B，C三种商品销售总额为：； 设月份A，B，C三种商品销售总额为：m， 则月份A商品增加的销售额为，B和C两种商品增加的销售额为， 又B，C两种商品增加的销售额之比为， 因此B商品增加的销售额为：， C商品增加的销售额为：， 由此可得： 月份B商品的销售额为：， 月份C商品的销售额为：， 由B，C两种商品月份销售额相等可得： 解得：， 所以这三种商品月份与月份的销售总额之比为：， 故答案为： 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，将其化成用含的代数式表示的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．通过等式的基本性质，将移到等式的右边，再将方程两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵ 方程两边同时减，得， 方程两边同时除以2，得． 故选D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：A. 如果，两边同时加3应得，但选项A中右边变为，不符合等式性质，错误； B. 原式，两边同时加得，即，但选项B中结果为，错误； C. 原式，两边同时除以2得，但选项C中结果为，计算错误； D. 原式，两边同时乘以2得，符合等式两边同乘同一数的性质，正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知，则下列变形不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、， ，该选项变形正确，不符合题意； 、， 当时，；当时，无意义，该选项变形错误，符合题意； 、， ，该选项变形正确，不符合题意； 、， ∴， ，该选项变形正确，不符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，熟练掌握等式的基本性质2是解题关键．根据等式的基本性质2逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则（等式的两边同乘以，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； B、若，则（等式的两边同乘以，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； C、若，则（等式的两边同乘以，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； D、若，则（只有当时，等式的两边同除以，结果仍相等），则此项错误，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B． 如果，那么，故本选项正确，符合题意； C． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题 9．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）等式的两边 得到． 【答案】同时减去 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据等式的性质即可直接得出答案． 【详解】解：等式的两边同时减去，得： ， 整理，得：， 故答案为：同时减去． 10．（24-25七年级上·福建南平·期末）比a小5的数等于3，列等式表示为 ． 【答案】 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的性质，根据题意找到数量之间的相等关系是解题的关键．根据题意列出等式即可． 【详解】解：比a小5的数等于3，列等式表示为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 【答案】 互为相反数 互为倒数 【知识点】相反数的定义、倒数、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质及相反数、倒数的概念．需通过变形等式，填入合适的数或关系． （1）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （2）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解； （3）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （4）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解． 【详解】（1）如果，那么，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 故答案为：， 互为相反数． （2）如果，那么，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数； 故答案为：，互为倒数． （3）如果，那么，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为； 故答案为：，． （4）如果，那么，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为． 故答案为：，． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）有下列条件：①；②；③；④；⑤，其中可以得到的条件有 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等式的性质进行判断即可． 【详解】解：，两边同时加上4得，则①符合题意； ，当时，与不一定相等，则②不符合题意； ，两边同时加上6再同时除以3得，则③符合题意； ，那么，则④不符合题意； ，两边同时乘得，则⑤符合题意； 综上，可以得到的条件有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 13．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【知识点】等式的性质1 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据等式的基本性质对方程进行变形求解． （1）通过等式两边同时除以未知数的系数求解； （2）先根据等式性质化简，再求解未知数． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 16．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质2 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 17．（24-25七年级上·山东济南·期末）泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】 借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】 （1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】 当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】 （3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、列代数式、等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质、列代数式，绝对值，有理数的加法，掌握列代数式，绝对值，有理数的加法是解题的关键． （1）将，，，代入，即可解答； （2）根据题意得，景点的图鉴数：，景点的图鉴数：，即可解答； （3）根据题意得可以看作是数轴上对应的点到、、和的距离和，即当时，距离之和最小，即可解答． 【详解】解：（1）（张）， 故答案为：； （2）根据题意得，景点的图鉴数：，景点的图鉴数：， ，， ， 故答案为：；； （3）， 可以看作是数轴上对应的点到、、和的距离和， 当时，距离之和最小为， ， 故答案为：． 18．（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 第二节 等式的性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等式的性质1 2 知识点2等式的性质2 2 知识点3 性质的核心作用 2 题型精讲1等式的性质1 3 题型精讲2等式的性质2 3 03拓展培优 4 04课堂检测 5 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解等式的两条基本性质，能准确表述性质内容；会用等式性质对等式进行规范变形（如移项、系数化 1 的初步操作），契合新教材示例逻辑。 2. 素养能力：通过探究等式变形规律，发展逻辑推理与代数运算能力，对接中考对等式变形合理性的考查要求。 3. 情感应用：运用等式性质解决简单的实际等量问题，体会性质的工具性，为后续解一元一次方程提供理论支撑。 【新知学习】 【知识点1】等式的性质1 等式两边同时加（或减）同一个 ，所得结果仍为等式。 符号表示：若a = ，则a + c = b + c，a - c = b - c（其中c为任意数或整式）。 边学边练下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【知识点2】等式的性质 等式两边同时乘同一个数（或同一个整式），或除以同一个不为 0 的数（或不为 0 的整式），所得结果仍为等式。 注意：除以的数（或整式）不能为 0，否则等式无意义。 边学边练解方程时，应在方程两边（   ） A．都乘 B．都除以 C．都乘 D．都除以 【知识点3】性质的核心作用 等式的性质是解方程的理论依据，通过等式变形可逐步将方程转化为 “未知数 = 常数” 的形式，实现求解目的。 题型精讲 题型精讲1等式的性质 【例题1】下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【思维建模】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【变式训练1】下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式训练2】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3】等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 题型精讲2等式的性质2 【例题1】若等式成立，则下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【思维建模】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【变式训练1】下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式训练2】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3】已知，，则式子的值为 ． 【拓展培优】 【典例1】有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 【典例2】某商家主营的，，三种商品在月份的销售单价之比为，其销售数量之比为．随着市场形势的变化，月份时，商品增加的销售额占月份，，三种商品销售总额的，同时，两种商品增加的销售额之比为．如果，两种商品月份销售额相等，那么该商家主营的这三种商品月份与月份的销售总额之比为 ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，将其化成用含的代数式表示的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级下·山东淄博·期中）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知，则下列变形不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 二、填空题 9．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）等式的两边 得到． 10．（24-25七年级上·福建南平·期末）比a小5的数等于3，列等式表示为 ． 11．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）有下列条件：①；②；③；④；⑤，其中可以得到的条件有 ．（填序号） 13．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 三、解答题 15．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； (1) (2) 16．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (3) ； (4) 17．（24-25七年级上·山东济南·期末）泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】 借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】 （1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】 当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】 （3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 18．（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $