5.1.2 等式的性质（分层作业）数学人教版2024七年级上册

5.1.2 等式的性质 分层作业 1．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 3．在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 4．填空： （1）若，则．这是根据等式的性质 ，在等式两边 ； （2）等式两边 ，得 ，其依据是 ； （3）已知等式，根据等式的性质 ，两边 ，可以得到． 5．关于的方程的解是 ． 6．由，用含x的代数式表示y，得 ． 7．若是关于x的方程的解，则 ． 8．利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 1．等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 3．有下列变形：若，则；若，则；若，则；若 ，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 4．夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 5．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，则的值为__________ 6．已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 7．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 8．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 1．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为_________ 2．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如．我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.2 等式的性质 分层作业 1．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原等式变形错误，不符合题意； B． 若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意； C． 若，则，故原等式变形正确，符合题意； D． 若，则，故原等式变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A、等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； B、在等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； C、由 ，得，故本选项正确； D、在等式的两边同时加上，得到，故本选项错误． 故选：C． 3．在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握， 等式基本性质1：等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式，等式仍然成立；等式性质2：等式的两边同时乘同一个式子，等式仍成立；等式性质3： 等式的两边同时除同一个式子(不为零)，等式仍成立． 【详解】解：在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故满足等式的性质2． 故选B． 4．填空： （1）若，则．这是根据等式的性质 ，在等式两边 ； （2）等式两边 ，得 ，其依据是 ； （3）已知等式，根据等式的性质 ，两边 ，可以得到． 【答案】 2 都除以 都减去 等式的性质1 1 都加3 【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘或除同一个数（除数不能为0），等式仍成立． （1）根据等式的性质2得出即可； （2）根据等式的性质1得出答案即可； （3）根据等式的性质1得出答案即可． 【详解】解：（1）若，则．这是根据等式的性质2，在等式两边都除以， 故答案为：2，都除以； （2）等式两边都减去，得，其依据是等式的性质1， 故答案为：都减去，，等式的性质1； （3）等式，根据等式的性质1，两边都加3，可以得到， 故答案为：1，都加3． 5．关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据等式的性质解一元一次方程，根据等式性质两边除以即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 6．由，用含x的代数式表示y，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为： 7．若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故答案为：3． 8．利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 9．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 1．等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 2．已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．有下列变形：若，则；若，则；若，则；若 ，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若 ，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 4．夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，则的值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 6．已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 7．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】先求得方程的解，再求得的值，代入方程求解即可． 【详解】解：解方程可得： 将代入可得：，解得 将代入可得： 解得 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 8．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 1．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为_________ 【答案】18 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为. 2．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如．我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，利用等式的性质将变形为，然后将其代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得：， 即：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的性质，合并同类项，代数式求值等知识点，利用等式的性质将变形为是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$