4.2整式的加法与减法讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第四章 整式的加减 第二节 整式的加法与减法 01体系构建·思维可视 2 02核心突破·靶向攻坚 3 知识点1同类项 3 知识点2合并同类项 3 知识点3加括号与去括号 3 知识点4整式的加减 4 题型精讲1同类项的判断 4 题型精讲2已知同类项求指数中字母或代数式的值 5 题型精讲3合并同类项 5 题型精讲4去括号 5 题型精讲5添括号 6 题型精讲6整式的加减运算 7 题型精讲7整式的加减中的化简求值 7 题型精讲8整式加减中的无关型问题 8 题型精讲9整式加减的应用 9 题型精讲10带有字母的绝对值化简问题 10 03拓展培优 11 04课堂检测 13 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解同类项定义，能准确判断并合并同类项；掌握去括号法则，会规范进行整式加减运算，符合新教材运算步骤要求。 2. 素养能力：通过整式加减运算，提升运算准确性与逻辑性，发展符号意识，对接中考对整式运算的基础考查。 3. 情感应用：运用整式加减解决几何面积计算、实际费用核算等问题，感受数学实用性，为后续复杂代数运算奠基。 【新知学习】 【知识点1】同类项 1. 同类项的定义：所含字母 ，相同字母的指数也 的单相思叫做同类项。 【易错提醒】 ①同类项中所含的字母可以看成是数，字母以及式子。 ②同类项的两个相同与两个无关：两个相同即字母与相同字母的次数必须相同；两个无关即与系数以及字母的顺序无关。 ③同类项还可以描述为“可以合并”、“和或差仍为单项式”。 边学边练请写出单项式的一个同类项： ． 【知识点2】合并同类项 1. 合并同类项的定义：把几个同类项合并为 的运算叫做合并同类项。 2. 合并同类项的法则：一相加，两不变：即把同类项的 相加， 和 不变。 注意：只有同类项才能进行合并，非同类项（如 3x 与 2y）因字母或指数不同，无法直接合并。 边学边练下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【知识点3】 加括号与去括号 1. 加括号： 若加的括号前是 “-”，则写进括号里的每一项均要 ；若加的括号前是 “+”，则只需把每一项 照写。 即：a - b + c - d = a - (b - c + d)；a - b + c - d = a + (-b + c - d)。 2. 去括号： 若括号前是 “-”，则去掉 “-” 和括号，括号里每一项均要 ；若括号前是 “+”，则去掉 “+” 和括号，括号里的每一项 照写（意思不变重写）。 即：a - (b - c + d) = a - b + c - d；a + (b - c + d) = a + b - c + d。 边学边练下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 边学边练若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【知识点4】整式的加减 1. 整式的加减 (1) 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算. (2) 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式 ，再用 连接，然后进行运算. (3) 运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2. 整式加减的一般步骤 （1） 如果有括号，那么先 ； （2） 观察有无 ； （3） 利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4） 合并 . 边学边练化简求值：，其中． 当时，原式 题型精讲 题型精讲1同类项的判断 【例题1】请写出的一个同类项： ． 【变式训练1】下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【思维建模】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同 【变式训练2】下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”，如，．给出下面四个结论： ①是“等次单项式”； ②“等次单项式”的次数可能是奇数； ③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”； ④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型精讲2已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例题1】若单项式的与是同类项，则 ． 【变式训练1】若与是同类项，则 ， ． 【变式训练2】已知单项式与是同类项，则 ． 【变式训练3】若单项式与的差是，则 ． 题型精讲3合并同类项 【例题1】下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【思维建模】运用合并同类项的法则∶ 1． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减． 2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】若多项式是关于的五次四项式，则 ． 题型精讲4去括号 【例题1】多项式去括号的结果是 ． 【思维建模】去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号． 【变式训练1】将去括号等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】化简： ． 【变式训练3】化简： (1) ； (2) ． 题型精讲5添括号 【例题1】若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【思维建模】添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号， 【变式训练1】填空：（ ）（ ）； 【变式训练2】若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【变式训练3】已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 题型精讲6整式的加减运算 【例题1】已知，，求． 【变式训练1】若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【变式训练2】已知多项式，． (1) 求的值； (2) 若的值与的取值无关，求的值． 【变式训练3】化简： (1) ； (2) ． 题型精讲7整式的加减中的化简求值 【例题1】化简并求值：，其中，． 【思维建模】整式的加减中的化简求值:先将原式去括号，合并同类项后得出最简结果 【变式训练1】若，则的值是 ． 【变式训练2】当时，代数式的值为 ． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中，． 【思维建模】整式加减的化简求值；从内往外依次去括号，再合并同类项，最后代值计算即可．注意每去一层括号，要合并同类项后，再去括号，减少运算量. 题型精讲8整式加减中的无关型问题 【例题1】关于的多项式不含项，则 ． 【变式训练1】多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【变式训练2】多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 【变式训练3】已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 题型精讲9整式加减的应用 【例题1】某批发商以每件50元购进品牌衬衣100件，预计每件70元售出．在实际销售过程中，他按预售价将x件衬衣售出后，决定将剩下的衬衣打九折销售，全部售完后，共可以获得的利润是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练1】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双倍递增数”．例如：四位数5132，∵，∴5132是“双倍递增数”；又如：四位数5314，∵，∴5314不是“双倍递增数”．若一个“双倍递增数”为，则这个数为 ；若一个“双倍递增数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的2倍的差能被13整除，且是整数，则满足条件的数是 ． 【变式训练2】如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ． 【变式训练3】对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 题型精讲10带有字母的绝对值化简问题 【例题1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知数轴上数对应点的位置如图所示，化简：． 【变式训练2】已知，则的值为 ． 【变式训练3】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 【拓展培优】 【典例1】我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 【变式训练1】一个四位正整数，各数位上的数字均不为0，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字小3，将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，将的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，记，若为整数，则称数为“善雅数”，若“善雅数”满足能被13整除，则 ． 【变式训练2】若一个各位上的数字均不为0且互不相等的四位数M满足：千位与十位数字之和等于9，百位与个数位数字之和等于6，则称这个数M为“吉祥如意数”．若“吉祥如意数”（，且a，b，c，d为整数）与234的和被7整除余3，则当 时，M满足条件，且M的值为 ． 【变式训练3】如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时 ；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 【典例2】现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（   ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1】如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若被9除余8，被10整除，当的值为某个自然数的平方时，B的值为 ． 【变式训练2】一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． 【典例3】对整式进行如下操作：将与另一个整式再相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得加与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于公，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当为奇数时，第次操作结果为；当为偶数时，第次操作结果为；四个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）去括号后为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列各组代数式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．和 C．2与 D．与 3．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算式去括号后正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在化简计算中，（   ），括号中应该填的代数式为 ． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如果，，且，那么 ． 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）化简： 12．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，，则 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知一列数的和，且，则 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值．，其中 15．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (3) ． 16．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c，且满足，点C是由点B向左移动5个单位得到的． (1)请直接写出________，________，________． (2)若点P从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点M从点B处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点N从点C处以每秒2个单位长度向右运动．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________，点M表示的数为________，点N表示的数为________． ②请问：是否存在t的值使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 17．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，已知，．（计算结果保留） (1)用代数式表示阴影部分的面积；（用，表示） (2)求，时，的值． 18．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 第二节 整式的加法与减法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1同类项 2 知识点2合并同类项 2 知识点3加括号与去括号 3 知识点4整式的加减 4 题型精讲1同类项的判断 5 题型精讲2已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 题型精讲3合并同类项 7 题型精讲4去括号 7 题型精讲5添括号 8 题型精讲6整式的加减运算 9 题型精讲7整式的加减中的化简求值 11 题型精讲8整式加减中的无关型问题 12 题型精讲9整式加减的应用 题型精讲10带有字母的绝对值化简问题 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解同类项定义，能准确判断并合并同类项；掌握去括号法则，会规范进行整式加减运算，符合新教材运算步骤要求。 2. 素养能力：通过整式加减运算，提升运算准确性与逻辑性，发展符号意识，对接中考对整式运算的基础考查。 3. 情感应用：运用整式加减解决几何面积计算、实际费用核算等问题，感受数学实用性，为后续复杂代数运算奠基。 【新知学习】 【知识点1】同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单相思叫做同类项。 【易错提醒】 ①同类项中所含的字母可以看成是数，字母以及式子。 ②同类项的两个相同与两个无关：两个相同即字母与相同字母的次数必须相同；两个无关即与系数以及字母的顺序无关。 ③同类项还可以描述为“可以合并”、“和或差仍为单项式”。 边学边练请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【知识点2】合并同类项 1. 合并同类项的定义：把几个同类项合并为一个单项式的运算叫做合并同类项。 2. 合并同类项的法则：一相加，两不变：即把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 注意：只有同类项才能进行合并，非同类项（如 3x 与 2y）因字母或指数不同，无法直接合并。 边学边练下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 【知识点3】 加括号与去括号 1. 加括号： 若加的括号前是 “-”，则写进括号里的每一项均要改变符号；若加的括号前是 “+”，则只需把每一项保持原符号不变照写。 即：a - b + c - d = a - (b - c + d)；a - b + c - d = a + (-b + c - d)。 2. 去括号： 若括号前是 “-”，则去掉 “-” 和括号，括号里每一项均要改变符号；若括号前是 “+”，则去掉 “+” 和括号，括号里的每一项保持原符号不变照写（意思不变重写）。 即：a - (b - c + d) = a - b + c - d；a + (b - c + d) = a + b - c + d。 边学边练下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 边学边练若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故选：A． 【知识点4】整式的加减 1. 整式的加减 (1) 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算. (2) 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算. (3) 运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2. 整式加减的一般步骤 （1） 如果有括号，那么先去括号； （2） 观察有无同类项； （3） 利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4） 合并同类项. 边学边练化简求值：，其中． 【答案】，13 【详解】解： ， 当时，原式 题型精讲 题型精讲1同类项的判断 【例题1】请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 【变式训练1】下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 【思维建模】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同 【变式训练2】下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2． A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意； C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练3】关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”，如，．给出下面四个结论： ①是“等次单项式”； ②“等次单项式”的次数可能是奇数； ③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”； ④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】单项式规律题、同类项的判断 【详解】①的x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”，故选项原说法正确； ②x 和 y 的指数相等且为正整数，那么它们的和（即次数）必然是偶数，故选项原说法错误； ③两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，如不是“等次单项式”，故原说法错误； ④五个“等次单项式”的次数均不高于8，即它们的次数分别为2，4，6，8，那么必定会有一个“等次单项式”的次数为2或4或6或8，即至少有两个“等次单项式”的次数是相同的．故本选项说法正确； 综上所述：正确得有①④， 故选：B． 题型精讲2已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例题1】若单项式的与是同类项，则 ． 【答案】6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】若与是同类项，则 ， ． 【答案】 6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】解：， 解得：， 故答案为：6，． 【变式训练2】已知单项式与是同类项，则 ． 【答案】3 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴2m=4，n+2=-2m+7， 解得：m=2，n=1， 则m+n=2+1=3． 故答案是：3． 【变式训练3】若单项式与的差是，则 ． 【答案】13 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】解：单项式与的差是， ， 解得：，， 把，代入， 故答案为：13 题型精讲3合并同类项 【例题1】下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【详解】解：A、，故选项正确，符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 【思维建模】运用合并同类项的法则∶ 1． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减． 2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【变式训练1】计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练2】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【详解】解： ， 故选：A． 【变式训练3】若多项式是关于的五次四项式，则 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、合并同类项 【详解】解：由于是关于的五次四项式， 多项式中最高次项的次数是5次，二次项的系数的值是0， ∴，， ∴， 则． 故答案为：． 题型精讲4去括号 【例题1】多项式去括号的结果是 ． 【答案】 【知识点】去括号 【详解】解：． 故答案为：． 【思维建模】去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号． 【变式训练1】将去括号等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【详解】解： ； 故选：C． 【变式训练2】化简： ． 【答案】 【知识点】去括号、整式的加减运算 【详解】解： 故答案为：． 【变式训练3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型精讲5添括号 【例题1】若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【详解】解：， 故选：C． 【思维建模】添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号， 【变式训练1】填空：（ ）（ ）； 【答案】 【知识点】添括号 【详解】解：； 故答案为：；． 【变式训练2】若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式训练3】已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【详解】解： ∴ 故选：A． 题型精讲6整式的加减运算 【例题1】已知，，求． 【答案】 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【详解】解： ． 【变式训练1】若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 【变式训练2】已知多项式，． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， 又∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 【变式训练3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】去括号、整式的加减运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型精讲7整式的加减中的化简求值 【例题1】化简并求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【思维建模】整式的加减中的化简求值:先将原式去括号，合并同类项后得出最简结果 【变式训练1】若，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3. 【变式训练2】当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【思维建模】整式加减的化简求值；从内往外依次去括号，再合并同类项，最后代值计算即可．注意每去一层括号，要合并同类项后，再去括号，减少运算量. 题型精讲8整式加减中的无关型问题 【例题1】关于的多项式不含项，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解： ， ∵多项式不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解：， ∵多项式合并同类项后，不含项， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练2】多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解： ∵多项式与的差中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练3】已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解：，， ， 的值与的取值无关， ， 解得：． 题型精讲9整式加减的应用 【例题1】某批发商以每件50元购进品牌衬衣100件，预计每件70元售出．在实际销售过程中，他按预售价将x件衬衣售出后，决定将剩下的衬衣打九折销售，全部售完后，共可以获得的利润是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【详解】解：总成本为 元， 原价销售利润：前x件每件售价70元，利润为 元， 打折销售利润：剩余 件打九折，售价为 元/件，利润为 元， ∴总利润：将两部分利润相加，得 （元）， ∴总利润为 元， 故选：B． 【变式训练1】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双倍递增数”．例如：四位数5132，∵，∴5132是“双倍递增数”；又如：四位数5314，∵，∴5314不是“双倍递增数”．若一个“双倍递增数”为，则这个数为 ；若一个“双倍递增数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的2倍的差能被13整除，且是整数，则满足条件的数是 ． 【答案】 9153 4867 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：∵为“双倍递增数”， ∴， ∴， ∵“双倍递增数”各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，c，d是正整数， ∴，， ∴这个数为9153； 根据题意得：， 整理得：， ∵这个“双倍递增数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的2倍的差能被13整除， ∴， 整理得：被13整除， ∵是整数，是整数， ∴，， ∴， ∵“双倍递增数”各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，， ∴满足条件的数是4867， 故答案为：9153，4867． 【变式训练2】如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ． 【答案】5 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“优美矩形”ABCD的周长为26， ∴4d+2c=26， ∵a=2b，c=a+b，d=a+c， ∴c=3b，则b=c， ∴d=2b+c=c，则c=d， ∴4d+d =26， ∴d=5， ∴正方形d的边长为5， 故答案为：5． 【变式训练3】对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 6200 9313 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 题型精讲10带有字母的绝对值化简问题 【例题1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【详解】解：根据数轴可知，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练1】已知数轴上数对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】0 【知识点】用数轴上的点表示有理数、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ∴，，， 则原式． 【变式训练2】已知，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，，， 故答案为：＜，＜，＞； （2）解：∵，，， ∴ ． 【拓展培优】 【典例1】我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 【变式训练1】一个四位正整数，各数位上的数字均不为0，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字小3，将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，将的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，记，若为整数，则称数为“善雅数”，若“善雅数”满足能被13整除，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：设（，，c，，a，b，c，d为整数）， 由题意得：，即， 的结果为整数， 为整数， 故是3的整数倍， ∵ ， 即是的整数倍， ∴当时，是的整数倍，不是正整数，不合题意， ∴当时，是的整数倍，， 此时是3的倍数， 当，，是的整数倍，不是正整数，不合题意， ……同理可得当时，不能为整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】若一个各位上的数字均不为0且互不相等的四位数M满足：千位与十位数字之和等于9，百位与个数位数字之和等于6，则称这个数M为“吉祥如意数”．若“吉祥如意数”（，且a，b，c，d为整数）与234的和被7整除余3，则当 时，M满足条件，且M的值为 ． 【答案】 23 6531 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：由已知可得，，， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∵M与234的和被7整除余3， ∴能被7整除， ∴， ①当时，，a，b无法取得符合题意的值； ②当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，此时，，不合题意，舍去； ③当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，，不合题意，舍去； 或，此时，，不合题意，舍去； ④当时，，则 ，此时，，不合题意，舍去； 或，此时，，符合题意； 或，，不合题意，舍去； ⑤当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，，不合题意，舍去； 综上所述，当时，即，，，时M符合条件，此时． 故答案为：23，6531． 【变式训练3】如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时 ；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：∵一个“天天向上数”为， ∴， ∴， 解得：； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴， ∴， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴（为正整数）， 由题意得：，，，， ∴， ∵的和为偶数， ∴或或， 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为； 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为，，，， ∵， ∴， 故答案为：，． 【典例2】现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（   ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减计算，有理数的乘除法运算，化简绝对值，还涉及因数，倍 【详解】解：（1）原数列：（均为负数）， 第一次后：（均为正数）， 第二次后：，此时有25个正数，25个负数，且奇正偶负， 第三次后： ， ∵， ∴这50个数中有16个3的倍数，且为8个奇数，8个偶数，且为奇负偶正，其余各数符合不变， ∴有25个正数，25个负数 第四次后，， ∵， ∴这50个数中有12个4的倍数，为第个数， ∴第个数变为负数，第个数变为正数， ∴正数有个，负数有个， ∴（1）正确； （2）∵角标为1的因数为1，有1个， ∴当时，为正； 角标为2的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为3的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为4的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为9的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为的因数为，有5个， ∴当时，为正； 因此不难发现，当角标数的因数有奇数个且角标数为完全平方数时，第50次操作后为正， ∴当角标数为时，第第50次操作后为正，故有7个， ∴（2）正确； （3）对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∵，，， ∴， 对于取不到最小值2，取不到最小值4， 故使和尽可能小即可， 即最接近5或7，最接近11或15， ∴当， ， ∴的最小值为24， ∴（3）正确， 故选： D． 【变式训练1】如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若被9除余8，被10整除，当的值为某个自然数的平方时，B的值为 ． 【答案】 90 4653 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：（1）当A取最大值，B取最小值时，，， ； （2）设A的千位数字为a，百位数字为b，其中，， 则， ； 设B的千位数字为m，百位数字为n，其中，， 则， ； 被9除余8， 能被9带除， ，是9的倍数， ， ； 被10整除， ，是10的倍数， ， ； ， 分情况讨论： 当，时，， 通过尝试可知，只有时，，是自然数8的平方， 此时，，，符合题意； 当，时，， 通过尝试可知，没有m的值可以使是自然数的平方； 当，时，或，时，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 当，时，， 通过尝试可知，没有m的值可以使是自然数的平方； 当，时，， 通过尝试可知，只有时，，是自然数12的平方， 此时，，，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 综上可知，B的值为4653． 故答案为：90；4653． 【变式训练2】一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． 【答案】 9 2882 【知识点】整式加减的应用 【详解】解：“丙午数”，， ， 解得， ， 四位数，其中，，，均为整数，四位数，其中，，，均为整数， 数中的千位数字是6，百位数字是，十位数字是2，个位数字是，数中的千位数字是，百位数字是3，十位数字是2，个位数字是4， 与都是“丙午数”， ，， ，． 由，得当时，，这时为6226； 当时，，这时为6325； 当时，，这时为 6424； 当时，，这时为6523； 当时，，这时为6622； 当时，，这时为6721． 由，得当时，，这时为1364； 当时，，这时为2354； 当时，，这时为3344． 对中四位数，，，， ，． 对四位数，，． ①当，时，（不符合题意，舍去）； ②当，时，（不符合题意，舍去）； ③当，时，，符合题意； ④当，时，（不符合题意，舍去）； ⑤当，时，（不符合题意，舍去）； ⑥当，时，（不符合题意，舍去）； ⑦当，时，，（不符合题意，舍去）； ⑧当，时，（不符合题意，舍去）； ⑨当，时，（不符合题意，舍去）； ⑩当，时，（不符合题意，舍去）； ⑪当，时，，符合题意； ⑫当，时，（不符合题意，舍去）； ⑬当，时，（不符合题意，舍去）； ⑭当，时，（不符合题意，舍去）； ⑮当，时，（不符合题意舍去）； ⑯当，时，（不符合题意，舍去）； ⑰当，时，（不符合题意，舍去）； ⑱当，时，（不符合题意，舍去）． 综上所述，符合题意的有两种情况，即当，时，； 当，时，， ， 的最小值为2882． 故答案为：9；2882． 【典例3】对整式进行如下操作：将与另一个整式再相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得加与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于公，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当为奇数时，第次操作结果为；当为偶数时，第次操作结果为；四个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【详解】解：由题意可知： 第一次操作：，即， 第二次操作：，即， 第三次操作：，即， 第四次操作：，即， 第五次操作：，即， 第六次操作：，即， 第七次操作：，即， 第八次操作：，即， ，其中为正整数； 同理，由上述求解过程可知： 第一次操作：，即， 第二次操作：，即， 第三次操作：，即， 第四次操作：，即， 第五次操作：，即， 第六次操作：，即， 第七次操作：，即， 第八次操作：，即， ，，其中为正整数； ，其中为正整数； 对于， 当时，为正整数，为奇数、为偶数，则 ； 对于，为正整数，为奇数、为偶数，则 ； 综上所述，，，，其中为正整数； ①当时，，正确； ②当时，，，则，正确； ③当时，；当时，，则，错误； ④当为奇数时，第次操作结果为；当为偶数时，第次操作结果为，正确； 综上所述，正确的说法是①②④，共三个， 故选：C． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）去括号后为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式减法中的去括号，解决本题的关键是注意变号． 根据整式减法的运算性质，去括号时要变号求解即可． 【详解】解：． 故选：D ． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列各组代数式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．和 C．2与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 根据同类项的定义逐一判断即可． 【详解】A、与所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，是同类项； C、2与均为常数项，是同类项； D、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，是同类项； 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】此题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么就称这两个单项式为同类项． 根据同类项的定义可得，即可求出，代入即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， ∴．     故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．按照去括号，合并同类项的顺序化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算式去括号后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：， 故选：D． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 7．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．根据a、b、c在数轴上的位置判断出绝对值内部式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值． 【详解】解：①多项式，互相交换任意两个系数共有种不同结果，所以共有个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得：，故③正确，符合题意； ④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得：，故④正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在化简计算中，（   ），括号中应该填的代数式为 ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如果，，且，那么 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减． 将变为，再将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）化简： 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查的知识点是整式的加减，数轴，绝对值，解题关键是正确理解绝对值的含义．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴原式． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，，则 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减、代数式求值，根据已知，结合整式的加减得到，，，进而代入值求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以，，． 所以， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知一列数的和，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式加减混合运算和代数式求值，重点在观察式子特征，能够相互联系起来，先将所有式子相加，从而出现求得k值，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可． 【详解】解： = = ， ∴2024个k相加等于0，则， 则， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值．，其中 【答案】; 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简以及代数式的求值，先根据去括号法则去掉括号（注意乘括号内x和1时的符号变化）；再合并同类项，将代数式化为最简形式；最后把代入最简代数式，计算出结果． 【详解】解： 当时， 15．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c，且满足，点C是由点B向左移动5个单位得到的． (1)请直接写出________，________，________． (2)若点P从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点M从点B处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点N从点C处以每秒2个单位长度向右运动．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________，点M表示的数为________，点N表示的数为________． ②请问：是否存在t的值使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 【答案】(1)；6；1 (2)①；；；②不存在t的值使得，理由见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、列代数式、整式的加减运算 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再由“左移减，右移加”可得； （2）①根据“左移减，右移加”列出代数式即可； ②根据代数式求得的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点C是由点B向左移动5个单位得到的， ； （2）解：①由题意得，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为； ②不存在t的值使得，理由如下： ，， ，即点M与点N之间的距离总是比点P与点N之间的距离大2， 不存在t的值使得． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离及动点问题，正确分析题目中的等量关系，列出代数式是解题的关键． 17．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，已知，．（计算结果保留） (1)用代数式表示阴影部分的面积；（用，表示） (2)求，时，的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查列代数式，合并同类项，求代数式的值，准确识图，熟练掌握求代数式的值是解题的关键． （1）根据阴影部分面积等于个圆的面积加上长方形的面积减去三角形，三角形的面积，即可求解； （2）将，代入（1）中的式子进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）当，时，     原式=     18．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $