3.2代数式的值　讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第三章 代数式 第二节 代数式的值 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1代数式的值的概念 2 知识点2求代数式的值 2 知识点3 用公式进行计算 3 题型精讲1已知字母的值，求代数式的值 5 题型精讲2已知式子的值，求代数式的值 6 题型精讲3程序流程图与代数式求值 7 题型精讲4数字类规律探索 7 题型精讲5图形类规律探索 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解代数式的值的定义，能按 “代值（负数、分数加括号）— 运算（遵先乘方再乘除后加减）” 步骤准确计算，掌握字母取值需使代数式有意义的原则（如分式分母不为 0）。 2. 素养能力：体会字母取值与代数式值的关联，发展运算、推理能力，契合中考对代数运算规范、准确的要求。 3. 情感应用：结合商品总价、图形面积等实例，感受求值的实际意义，增强用数学解决问题的意识，夯实代数基础。 【新知学习】 【知识点1】代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出结果，叫作代数式的值。 求代数式的值的注意事项： （1） 代数式中的运算符号和具体数字都不能改变，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原，如例1； （2） 字母在代数式中所处的位置必须搞清楚； （3） 若字母取值是分数，做乘方运算时必须加上括号，若字母取值是负数也必须加上括号； （4） 代数式若有现实背景，也不可取不符合实际意义的值，如李明买了n个足球，这里的n就不能取正整数以外的值. 边学边练当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【知识点2】求代数式的值 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”.代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”.代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同. 边学边练若，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 【知识点3】用公式进行计算 用公式进行计算：在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 边学边练如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，与4是相对面，和1是相对面， ∴，， ∴， 故选A． 题型精讲 题型精讲1已知字母的值，求代数式的值 【例题1】若，则 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【思维建模】将代入代数式求解即可． 【变式训练1】当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：把代入代数式得：； 故选：D． 【变式训练2】设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则 ． 【答案】0 【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：∵是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数， ， ， 故答案为：0． 【思维建模】本题考查的是求解代数式的值，绝对值的含义，熟练的求解a、b、c的值是解本题的关键． 由是a最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数，可得的值，再代入计算即可． 【变式训练3】若，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 题型精讲2已知式子的值，求代数式的值 【例题1】若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】∵， ∴ ∴， 故选：A． 【思维建模】把变形后整体代入求值即可． 【变式训练1】已知，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：， ， 故答案为：2 【变式训练2】若，则 ． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 【变式训练3】若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 题型精讲3程序流程图与代数式求值 【例题1】按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ） A．59 B．－1 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【详解】解：由题意可得：运算式为， 则把代入， ∴原式， 故答案为：B． 【变式训练1】按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【答案】C 【知识点】程序流程图与代数式求值 【详解】解：， ， 输出的值是． 故选：C． 【变式训练2】按如图所示的运算程序，当输入x的值为1时，输出y的值为（   ） A． B． C．9 D．11 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值 【详解】解：当输入x的值为1时，， 当输入x的值为时，， ∴输出y的值为11， 故选：D． 【思维建模】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中求出y的值， 若y的值大于等于0，则输出y的值，否则把y的值重新赋值给x再代入中计算，如此反复，直到计算出的y值大于等于0后输出即可． 【变式训练3】如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2024次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【详解】开始输入x的值为3， 3为奇数， 输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， …． 依次类推，输出分别以，，，，，循环， ， 第2024次输出的结果是， 故选：A． 题型精讲4数字类规律探索 【例题1】观察下列算式：…，则第n个算式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【详解】解：观察算式，第1个结果为， 第2个为， 第3个为， 第4个为， …， 第n个为， 故选：A． 【变式训练1】将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则的值是（    ） A．257 B．258 C．508 D．509 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【详解】解：根据题意得：奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，每行4个数， 观察第三列的数的排列规律， 得出第三列数：3，11，19，27，…， ∴第行第三列的数为， ∵， ∴应该在第254行第4列， ∴． 故选：B． 【思维建模】本题主要考查数字规律，根据题意可得奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，每行4个数，通过观察第三列的数的排列规律，可得第三列的数为，从而得到应该在第254行第4列，即可求解．解题的关键是发现数字的规律． 【变式训练2】已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【详解】解：∵， ∴，，，，…….； 由此可得规律为按2、、、四个数字一循环， ∵， ∴； 故选A． 【变式训练3】有两个整数把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（    ） ①若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为； ②三次操作后得到的整数对可能为； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【详解】解：对分别进行第一次操作，得，，， 第二次操作得，，， ，，， ，，， ∴若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为， 故①正确； ∵第二次操作中的经过的操作可得， ∴三次操作后得到的整数对可能为， 故②正确； ∵和都是偶数， ∴进行或或操作的结果都是偶数， ∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是，故③正确， 综上所述：正确的结论为①②③，共个， 故选：A． 题型精讲5图形类规律探索 【例题1】如图，是由大小相同的心形按照一定规律排列而成，第1个图形由5个心形组成，第2个图形由8个心形组成，第3个图形由11个心形组成……，按照这样的方式排列下去． (1)第5个图形由________个心形组成； (2)用含n的代数式表示第n个图形中心形的个数； (3)求第798个图形中心形的个数． 【答案】(1)17 (2) (3)第个图形中心形的个数为 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【详解】（1）解：第1个图形： 第2个图形： 第3个图形： 第4个图形： 第5个图形：． （2）由（1）可得：第个图形： （3）第798个图形中，即：时， 心形的个数为 【思维建模】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． （1）观察图形，找到前三个图形的规律，进而求解即可． （2）观察图形，根据（1）的规律即可写出代数式，表示第n个图形中心形的个数． （3）将代入n=298（2）的代数式求值即可. 【变式训练1】如图所示的是用长度相同的木棒按一定规律拼接而成的图案，图①需要8根木棒，图②需要15根木棒，……，那么图需要多少根木棒？ 【答案】根 【知识点】图形类规律探索 【详解】解：因为图①需要8根木棒； 图②需要（根）木棒； 图③需要（根）木棒； …… 所以图需要根木棒． 【变式训练2】合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【答案】(1)21 (2)用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． (3)此时三角形地砖的数量为202块． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【详解】（1）由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…， 由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， ∴图4中正方形地砖块数为21块． （2）由（1）发现的规律可知， 当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时， 用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． （3）当时，三角形地砖的块数为（块）． 答：此时三角形地砖的数量为202块． 【变式训练3】某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 【拓展培优】 【典例1】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 【变式训练1】数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】∵， ∴， ∴ ∴① ∵， ∴② 把②代入①得， ∴， ∴ ∴ ． 故答案是：-2． 【典例2】综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 【答案】(1)， (2)①平方米；②塑胶跑道的建造费用是元 (3)用时最少为分钟 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【详解】（1）解：圈 ∵第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100米． ∴米，两个半圆的长分别为米 ∴4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为米 ∴终点位于D区域，那么起点应在它的对面的点即点， 故答案为：，． （2）①∵足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆 ∴足球场和缓冲区的总面积是平方米； ②∵总占地面积为平方米， ∴塑胶跑道的面积为 当，时，总费用为：元 答：塑胶跑道的建造费用是元 （3）根据题意有以下九种方案: ①所有比赛项目均顺次进行 米接力 米 米 米 用时分钟 ②短跑比赛顺次进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ③短跑比赛顺次进行，米交替开始，米顺次开始 米接力 米 米交替 米 用时分钟 ④短跑比赛顺次进行，米和米交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时 分钟 ⑤短跑比赛同时进行，米和米顺次进行 米接力和 米米米 用时分钟 ⑥短跑比赛同时进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ⑦短跑比赛同时进行，米交普开始，米顺次开始 米接力和 米米交 米 用时分钟 ⑧短跑比赛同时进行，米和米分别交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时分钟 ⑨短跑比赛同时进行，米和米交替开始 米接力 米 米 米 用时分钟 因为，所以用时最少为分钟． 【典例3】观察下面算式： 解答下面的问题： (1)的结果为________． (2)若表示正整数，请用含的代数式表示的值为______； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细的解答过程，结果中可保留平方形式的数）． 【答案】(1)196 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【详解】（1）解：， 故答案为：196； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式训练1】数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解 (2) 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 【变式训练2】观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【详解】（1）解：； ； 故答案为：1，； （2）解：由题意，原数据可写成：， 即分子分母和为2的数有1个，和为3的数有2个，和为4的数有3个，每个组合中分子从1开始逐渐增大，分母逐渐减小至1， 故分子分母和为的数有个，分母从开始逐渐减小至1，分子从1开始逐渐增大到， ∵， ∴第29个数开始，分子分母的和为9，且第一个数为， ∴第30个数为； （3）解：由（2）可知：所在的组合的数的分子分母的和为，前一个组合中的数的分子分母的和为2028，共有2027个数， 故． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若，则（  ） A．6 B．2 C． D．0 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则的值为（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 将代入代数式进行求解即可． 【详解】解：将代入得，， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ） A．3 B．3或 C．4 D．3或4 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，以及绝对值的定义分别求出，以及m的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，或， 当时，原式； 当时，原式． 故选：A． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则多项式的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数、倒数的意义、代数式求值等知识点，由相反数、倒数的定义得到是解题的关键． 利用相反数、倒数的定义求出的值，再对所求多项式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是发现所求代数式与已知代数式的倍数关系，将作为整体进行计算． 由已知代数式，先求出的值；再观察到，代入的值计算出，最后减去3得到所求代数式的值，与选项匹配． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴． 故选：A． 6．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 7．（25-26七年级上·江苏·期中）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xₙ（n为正整数）表示第 n秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论： ；②；③；④；⑤，其中错误的是（　　） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律，数轴，找到规律是解题的关键． 根据该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步，得出，按照此规律逐项进行判断即可． 【详解】解：因为该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步． 所以 故①错误，②正确； 因为，所以第80秒是第20个运动周期的最后一步，为后退1步，即，因此．故③错误； 令，解得．所以．从101秒到104秒，该机器人先前进3步，再后退1步，所以，即．故④正确；同理，得．所以 故⑤正确． 综上，错误的是①③． 故选：C． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索． 根据题意可知，则，再求解即可． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和为同一个常数， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．将变形为，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）有规律的一组数列：，8，，，， ， ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．观察数字的变化发现规律即可得解． 【详解】解：观察一组数：，8，，，，…… 发现规律：第n个数是， ∴第6个数是， ∴第7个数是． 11．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，则，代入求解即可． 【详解】解析：∵ ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·山东·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得．所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①即可求出式子的值． 【详解】解：设，① 那么，② ②①，得． 所以． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·湖南郴州·开学考试）下图是晋商大院窗格的一部分．如图，用“十”分割法分割正方形，分割2025次，分成小正方形的个数为 个（不算组合，只算单个小正方形）． 【答案】6076 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律的探索，根据图中给出的前四次分割的方法以及数量，可以得出“十”分割法分割正方形的规律，分割n次，分成小正方形的个数为(个)，代入，即可得出答案． 【详解】解：分割一次，分成小正方形的个数为(个)， 分割二次，分成小正方形的个数为(个)， 分割三次，分成小正方形的个数为(个)， 分割四次，分成小正方形的个数为(个)， ， 分割n次，分成小正方形的个数为(个)， ∴分割2025次时，分成小正方形的个数为 （个）， 故答案为：6076． 三、解答题 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于4，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，代数式求值，先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义得出，，，再代入计算即可． 【详解】解：依题意得 ，，                                         原式    15．（24-25七年级上·河南商丘·期中）为做好儿童青少年近视的防治工作，国家印发了《近视防治指南（2024年版）》，其中根据近视度数分为三类：低度近视（50度至300度）、中度近视（300度至600度）和高度近视（超过600度）．小明到眼镜店调查到的近视眼镜的镜片度数和镜片焦距的关系如下表： 镜片度数（度） 100 200 400 … 1000 镜片焦距 1 … (1)根据上表体现出来的规律，请用式子表示镜片度数（度）与镜片焦距之间的关系，并判断与成什么比例关系； (2)若小明所戴眼镜镜片的焦距为，请根据该镜片的度数判断他属于哪一类近视． 【答案】(1)，与成反比例关系 (2)中度近视 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）计算的值，得到定值，由此判断与成反比例关系； （2）先将镜片的焦距为，后代入关系式，计算y值，解答即可． 本题考查了反比例关系的应用，根据解析式计算，熟练掌握反比例函数关系的确定和计算是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，． 根据题意，得与的积恒为100， 则与的关系用式子表示为． 与成反比例关系． （2）解：． 当镜片焦距为时，镜片度数为（度）． ， 故小明属于中度近视． 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）根据对话回答问题： 小红：我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 小明：在这个式子中，a的相反数是3，b是负数且绝对值是7，c与b的和是． (1)求a、b的值 (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据相反数，绝对值的定义即可得出答案； （2）先得出，求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a的相反数是3， ∴， ∵b是负数且绝对值是7， ∴； （2）解：∵c与b的和是 ∴， ∴， ∴ 17．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 【答案】(1)12 (2)24 (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律，找到规律是解题关键．（1）（2）（3）找到规律即可解答：左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍． 【详解】（1）解：3张桌子拼在一起可坐10人， 4张桌子拼在一起比3张时多坐2人，故可坐12人， 故答案为：12； （2）解：10张桌子拼在一起，左右两边共可坐4人，上下可坐（人）， 故共可坐24人， 故答案为：24； （3）解：从图片中可以看出，左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍， 故n张桌子拼在一起时，可坐人， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 第二节 代数式的值 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1代数式的值的概念 2 知识点2求代数式的值 2 知识点3 用公式进行计算 2 题型精讲1已知字母的值，求代数式的值 3 题型精讲2已知式子的值，求代数式的值 3 题型精讲3程序流程图与代数式求值 3 题型精讲4数字类规律探索 5 题型精讲5图形类规律探索 6 03拓展培优 9 04课堂检测 14 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解代数式的值的定义，能按 “代值（负数、分数加括号）— 运算（遵先乘方再乘除后加减）” 步骤准确计算，掌握字母取值需使代数式有意义的原则（如分式分母不为 0）。 2. 素养能力：体会字母取值与代数式值的关联，发展运算、推理能力，契合中考对代数运算规范、准确的要求。 3. 情感应用：结合商品总价、图形面积等实例，感受求值的实际意义，增强用数学解决问题的意识，夯实代数基础。 【新知学习】 【知识点1】代数式的值的概念 一般地，用 代替代数式中的 ，按照代数式中的运算关系计算得出结果，叫作 。 求代数式的值的注意事项： （1） 代数式中的运算符号和具体数字都不能改变，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原，如例1； （2） 字母在代数式中所处的位置必须搞清楚； （3） 若字母取值是分数，做乘方运算时必须加上括号，若字母取值是负数也必须加上括号； （4） 代数式若有现实背景，也不可取不符合实际意义的值，如李明买了n个足球，这里的n就不能取正整数以外的值. 边学边练当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【知识点2】求代数式的值 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“ ”.代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“ ”.代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同. 边学边练若，则 ． 【知识点3】用公式进行计算 用公式进行计算：在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 边学边练如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（    ） A． B． C． D． 题型精讲 题型精讲1已知字母的值，求代数式的值 【例题1】若，则 ． 【思维建模】将代入代数式求解即可． 【变式训练1】当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【变式训练2】设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则 ． 【思维建模】本题考查的是求解代数式的值，绝对值的含义，熟练的求解a、b、c的值是解本题的关键． 由是a最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数，可得的值，再代入计算即可． 【变式训练3】若，则代数式的值是 ． 题型精讲2已知式子的值，求代数式的值 【例题1】若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 【思维建模】把变形后整体代入求值即可． 【变式训练1】已知，则的值是 ． 【变式训练2】若，则 ． 【变式训练3】若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 题型精讲3程序流程图与代数式求值 【例题1】按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ） A．59 B．－1 C．1 D．0 【变式训练1】按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【变式训练2】按如图所示的运算程序，当输入x的值为1时，输出y的值为（   ） A． B． C．9 D．11 【思维建模】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中求出y的值， 若y的值大于等于0，则输出y的值，否则把y的值重新赋值给x再代入中计算，如此反复，直到计算出的y值大于等于0后输出即可． 【变式训练3】如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2024次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型精讲4数字类规律探索 【例题1】观察下列算式：…，则第n个算式的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则的值是（    ） A．257 B．258 C．508 D．509 【思维建模】本题主要考查数字规律，根据题意可得奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，每行4个数，通过观察第三列的数的排列规律，可得第三列的数为，从而得到应该在第254行第4列，即可求解．解题的关键是发现数字的规律． 【变式训练2】已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3】有两个整数把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（    ） ①若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为； ②三次操作后得到的整数对可能为； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型精讲5图形类规律探索 【例题1】如图，是由大小相同的心形按照一定规律排列而成，第1个图形由5个心形组成，第2个图形由8个心形组成，第3个图形由11个心形组成……，按照这样的方式排列下去． (1)第5个图形由________个心形组成； (2)用含n的代数式表示第n个图形中心形的个数； (3)求第798个图形中心形的个数． 【思维建模】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． （1）观察图形，找到前三个图形的规律，进而求解即可． （2）观察图形，根据（1）的规律即可写出代数式，表示第n个图形中心形的个数． （3）将代入n=298（2）的代数式求值即可. 【变式训练1】如图所示的是用长度相同的木棒按一定规律拼接而成的图案，图①需要8根木棒，图②需要15根木棒，……，那么图需要多少根木棒？ 【变式训练2】合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【变式训练3】某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【拓展培优】 【典例1】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【变式训练1】数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． 【典例2】根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 【典例3】观察下面算式： 解答下面的问题： (1)的结果为________． (2)若表示正整数，请用含的代数式表示的值为______； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细的解答过程，结果中可保留平方形式的数）． 【变式训练1】数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【变式训练2】观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若，则（  ） A．6 B．2 C． D．0 2．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则的值为（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ） A．3 B．3或 C．4 D．3或4 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则多项式的值为（　　） A． B． C．1 D．3 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 6．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏·期中）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xₙ（n为正整数）表示第 n秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论： ；②；③；④；⑤，其中错误的是（　　） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③④ 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 二、填空题 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若，则代数式的值是 ． 10．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）有规律的一组数列：，8，，，， ， ． 11．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为 ． 12．（25-26七年级上·山东·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得．所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 13．（25-26七年级上·湖南郴州·开学考试）下图是晋商大院窗格的一部分．如图，用“十”分割法分割正方形，分割2025次，分成小正方形的个数为 个（不算组合，只算单个小正方形）． 三、解答题 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于4，求的值． 15．（24-25七年级上·河南商丘·期中）为做好儿童青少年近视的防治工作，国家印发了《近视防治指南（2024年版）》，其中根据近视度数分为三类：低度近视（50度至300度）、中度近视（300度至600度）和高度近视（超过600度）．小明到眼镜店调查到的近视眼镜的镜片度数和镜片焦距的关系如下表： 镜片度数（度） 100 200 400 … 1000 镜片焦距 1 … (1)根据上表体现出来的规律，请用式子表示镜片度数（度）与镜片焦距之间的关系，并判断与成什么比例关系； (2)若小明所戴眼镜镜片的焦距为，请根据该镜片的度数判断他属于哪一类近视． 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）根据对话回答问题： 小红：我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 小明：在这个式子中，a的相反数是3，b是负数且绝对值是7，c与b的和是． (1)求a、b的值 (2)求的值． 17．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 18．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $