精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级12月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 8. 平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ） A. 为部分圆 B. 为部分线段 C. 为部分抛物线 D. 为部分椭圆 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 为直角三角形 C. 的面积为6 D. 的面积为12 11. 如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角的正弦值为 D. 若，那么点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与圆相切，则实数________． 13. 如图所示多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形，点分别为棱的中点，则______. 14. 在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆和圆. （1）判断和的位置关系； （2）求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 16. 已知向量，，． （1）求在上的值域； （2）求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点. （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）求点A到平面EFG的距离. 18. 记内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）若为锐角三角形，求周长取值范围. 19. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高二年级12月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算化简至的形式，则虚部可知. 【详解】因为， 所以虚部， 故选：D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简求解，再进行交集运算即可. 【详解】， ，或， 故. 故选：A. 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案. 【详解】若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设与所成角的大小为，则，从而计算可得. 【详解】设与所成角大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 5. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 6. 椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆的定义及通径概念列出等式即可求解. 【详解】 由的周长为8，可得，即， 由弦长的最小值为3，通径长为3，即， 所以， 所以，即， 所以椭圆的焦距为2. 故选：A. 7. 已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，即可得方程. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性不妨令与平行的渐近线为， 直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，B，C， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 8. 平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ） A. 为部分圆 B. 为部分线段 C. 为部分抛物线 D. 为部分椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解. 【详解】如图， 由题意不妨设，则， 而，即， 又， 所以，即， 因为，所以，即为部分椭圆. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 为直角三角形 C. 的面积为6 D. 的面积为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角的正弦值为 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立坐标系，用空间坐标求解A, C选项；对B选项，结合图形即可直接求出三棱锥的外接球半径，再由球的表面积公式即可判断； 对D选项:设，根据条件求出满足的方程,判断其轨迹即可. 【详解】 以为坐标原点，以分别为轴建立坐标系， 则 设平面的法向量， 由 得，令得，所以取， 因为，故，所以直线平面，故A正确; 由题意得三棱锥的外接球半径为, 所以三棱锥的外接球表面积为，故B正确； 因为，所以， 所以，故C错误； 因为Q为正方形内一动点（含边界），设， 由得，即，在正方形内的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆周， 那么Q点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】对空间几何中的轨迹或最值问题求解时可以建立空间直角坐标系,几何关系转化为代数关系,可从方程上判断轨迹形状,从函数的角度求最值. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与圆相切，则实数________． 【答案】0或 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 13. 如图所示的多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形，点分别为棱的中点，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正八面体的性质得到，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可. 【详解】 由条件可知此多面体为正八面体，故，，则， . 故答案为：1 14. 在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决. 【详解】，∴，∴， ∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线， ∴．∴，∴， ，， ,∴，于是， ∴为正三角形，． 中，由余弦定理，. ∴. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据已知条件求得，由双曲线的定义推出为正三角形，在中，利用余弦定理得到，从而解出离心率. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆和圆. （1）判断和的位置关系； （2）求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 【答案】（1）相交 （2）， 【解析】 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案. 【小问1详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. 【小问2详解】 将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 16. 已知向量，，． （1）求在上的值域； （2）求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【答案】（1）； （2）对称中心，对称轴. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式及辅助角公式化简求得，再求出值域. （2）由（1）中函数式，结合正弦函数性质求出对称中心及对称轴. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，则， 所以的值域为. 【小问2详解】 由，得， 所以函数图象的对称中心坐标为； 由，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点. （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）求点A到平面EFG的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，根据线面垂直性质有，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离. 【小问1详解】 由是正三角形，为的中点，所以， 由CD⊥平面PAD，平面PAD，所以， 又都在面内，则PO⊥平面ABCD； 小问2详解】 如下图，构建空间直角坐标系，则， 所以，则， 若为面一个法向量，则， 令，则， 所以点A到平面EFG的距离为. 18. 记内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求解； （2）先应用正弦定理用角表示边长得，，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得. 【小问1详解】 因为，故原题干等式可转化为 由余弦定理得. 可得， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， ，， 则周长 因为， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 故. 故周长的取值范围为. 19. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知建立方程组联立即可求解； （2）设出直线的方程以及点的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为; 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 可设直线的方程为,, 联立方程,消去整理可得：， 则， 所以，所以点的坐标为， 在平行四边形中，有， 设点的坐标为，所以点的坐标为， 又因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $